Esta entrada participa en la
XVIII Edición del
Carnaval de la Física organizada por
Daniel Martín Reina desde su blog ”
La Aventura de la Ciencia.”
El
arcoíris es uno de tantos estupendos regalos visuales de la naturaleza. En alguna ocasión el regalo es doble, como se observa en esta fotografía.
Además del arcoíris normal, o primario, por encima del mismo se observa el arcoíris secundario, menos intenso, más difuminado, y entre ambos una zona especialmente oscura, la llamada
franja de Alejandro.
Hay una espectacular página explicativa (en inglés) de los fenómenos atmósféricos,
incluidos los arcoíris, además de la wikipedia y otros muchos recursos, pero aún así aquí va otro "arcoíris", que de paso es una buena forma de aplicar
Geogebra, un "Software de matemática, libre, para enseñar y aprender".
La explicación del fenómeno óptico usa unos pocos conceptos básicos. La luz se propaga en línea recta, según haces de rayos. Las pequeñas gotas de lluvia en suspensión son esféricas. En estas esferas de agua los rayos incidentes se someten a las leyes de
refracción (la
ley de Snell) y de
reflexión. Como la luz del Sol está compuesta de muchos colores, también interviene el fenómeno de la
dispersión, por el que el índice de refracción del agua varía con el color de la luz.
El esquema explicativo se muestra en el siguiente applet 1 de
Geogebra.
applet 1: rayos primario y secundario del arcoíris
|
Consideramos una sección plana de la esfera de agua, de radio unidad, conteniendo su centro. Los haces de rayos llegan desde la izquierda, paralelos a la horizontal, eje X. Un rayo con parámetro de impacto h incide sobre la gota en el punto A, con ángulo α respecto a la normal, se refracta según un ángulo β, de acuerdo a la
ley de Snell, y sigue hasta el punto B. En B hay un rayo refractado, que sale de la gota, y no nos interesa, por lo que no se dibuja. Seguimos la pista al rayo reflejado en B, que llega a C. De nuevo aquí hay refracción, que origina un rayo que sale de la gota en dirección al punto P, y es el rayo que contribuye al arcoíris primario. Pero en C también hay un rayo reflejado, que camina hasta D, donde es refractado, saliendo hacia S y contribuyendo al arcoíris secundario.
En el applet 1 se puede mover el control que hace variar h entre sus extremos 1 y -1. Para valores entre 0 y 1 el rayo primario sale con un ángulo δ respecto al rayo incidente, hacia abajo; el rayo secundario sale hacia arriba. Para valores de h entre 0 y -1 se ve la simetría de la situación, el rayo primario va hacia arriba y es el secundario el que va hacia abajo. Otro control del applet, n, nos permite variar el índice de refracción usado al calcular el ángulo de refracción, que equivale a variar el color del rayo incidente. Aproximadamente para un rayo azul se tiene n=1.338 y para uno rojo n=1.332. El control permite una variación mayor para apreciar mejor el efecto. Los controles de GeoGebra admiten un menú desplegable al pulsar el botón derecho del ratón, y una de las opciones es "Animación Automática". Cuando se elige, se puede pausar o reiniciar la animación mediante un botón que aparece en la esquina inferior izquierda del applet.
El ángulo δ es el que interviene en la formación del arcoíris: es el formado entre la visual del observador a la gota (dirección en la que llega al ojo el rayo, ya sea principal o secundario) y la dirección de los rayos del Sol. En el siguiente applet 2 se esquematiza la situación del arcoíris.
applet 2: geometría externa del arcoíris
|
El observador está en el punto O, mirando hacia nuestra derecha. A su espalda los rayos del Sol inciden sobre el terreno formando un ángulo γ, la
altura del Sol. Si encuentran gotas en un punto como el N, los rayos (primarios o secundarios) que formen un ángulo δ llegan hasta el Observador con un ángulo θ respecto al terreno. Uno de los controles del applet permite variar la altura del Sol entre 0 y 90º. Se puede apreciar que un rayo refractado con ángulo δ no podrá verse si el Sol está demasiado alto, si γ > δ. Por eso los grandes arcoíris se ven con el Sol bajo, nunca al mediodía, al menos en latitudes medias como la de España. El esquema presenta una simetría de revolución respecto al eje SOS' determinado por el Sol y el Observador. Si giramos mentalmente la figura plana respecto a ese eje, el punto N describe una circunferencia, y la línea ON un cono, que da las direcciones en que se ven rayos refractados en el mismo ángulo δ. Es el terreno el que nos limita a un
arcoíris, pero volando alto bien podríamos ver un
circulíris, o bien un arcoíris inferior, en la línea ON' si sólo en esa zona hay lluvia.
El otro control del applet 2 nos permite variar δ aunque en un margen muy estrecho, aproximadamente el correspondiente al arcoíris primario. ¿Por qué se ven los vivos colores del arcoíris sólo en un margen estrecho de ángulos cuando en el applet 1 los posibles valores de δ al variar h entre 1 y -1 abarcan un amplio rango? Podemos hacernos una idea con la siguiente gráfica (izquierda; detalle ampliado a la derecha), que presenta el ángulo δ del rayo refractado, primario y secundario, en función del valor del parámetro de impacto del rayo incidente.
El ángulo δ varía bastante con h, salvo en el máximo de la curva del arcoíris primario (o el mínimo del secundario). Para el ángulo en que la curva del color rojo alcanza su máximo, no se encuentra ningún rayo azul, y sí una acumulación de rayos rojos con valores de h cercanos al correspondiente al máximo. Y para el ángulo en que se alcanza el máximo de la curva azul, los rayos rojos coincidentes corresponden a valores de h alejados del máximo rojo, que no "enturbian" la aportación del máximo azul. Por ello el ángulo δ
c con el que vemos un color del arcoíris es aquel en que se alcanza el máximo en la curva δ versus h para ese color. Es este ángulo el que se varía en el control del applet 2.
La gráfica muestra también el orden inverso de los colores del arcoíris secundario respecto al primario, y que en aquel la separación de colores es mayor, al haberse acumulado más refracción. Las mismas gotas que contribuyen al arcoíris primario con su mitad superior (h>0), contribuyen al secundario con su mitad inferior (h<0). También podemos ver el origen de la oscuridad en la franja de Alejandro: en el rango de ángulos entre el máximo del arcoíris primario y el mínimo del secundario no hay rayos primarios ni secundarios de ningún color. Sí los hay en cambio por debajo del primario y por encima del secundario.
Por cierto, el máximo (y el mínimo) de la anterior gráfica se pueden "ver" con el applet 1, seleccionando el control h y variando su valor poco a poco con las teclas de flecha arriba o abajo. En la zona de máximo el rayo principal apenas cambia su ángulo al cambiar h. La configuración geométrica del applet 1 permite deducir las fórmulas para el ángulo δ mostradas en la gráfica izquierda.
En el apartado "cómo se hizo", para obtener el par de gráficas anterior se ha usado, como no,
Octave, con el siguiente código
# h parametro de impacto
h=[0.0:0.001:1];
nazul=1.338
nrojo=1.332
#
function [fy] = deltaprimario(h,n)
fy = (4*asin(h/n)-2*asin(h))*180/pi;
endfunction
function [fy] = deltasecundario(h,n)
fy = (-6*asin(h/n)+2*asin(h)+pi)*180/pi;
endfunction
#
subplot(1,2,1)
plot(h,deltaprimario(h,nrojo),'-r',h,deltaprimario(h,nazul),'b',h,deltasecundario(h,nrojo),'-r',h,deltasecundario(h,nazul),'b')
hold on
set (gca (), "xlim", [0., 1]);
set (gca (), "ylim", [0, 180]);
cuadrox=[0.01,0.99,0.99,0.01,0.01]
cuadroy=[43, 43, 50,50,43]
plot(cuadrox,cuadroy,'-.k')
set(text(0.1,47,strcat('{\fontsize{12}FRANJA OSCURA DE ALEJANDRO}')),"color","black")
xlabel("parámetro de impacto h (primario) ó -h (secundario)");
ylabel(strcat('\delta (grados)'));
set(text(0.6,20,"arcoíris primario"),"color","black")
set(text(0.6,15,strcat('\delta = -2\alpha + 4\beta')),"color","black")
set(text(0.6,110,"arcoíris secundario"),"color","black")
set(text(0.6,115,strcat('\delta = 2\alpha - 6\beta +180')),"color","black")
set(text(0.1,85,strcat('\delta ángulo entre la visual al ')),"color","black")
set(text(0.1,80,strcat('arcoíris y la dirección del sol')),"color","black")
set(text(0.7,170,strcat('sen(\alpha) = |h|')),"color","black")
set(text(0.7,165,strcat('sen(\beta) = |h|/n')),"color","black")
set(text(0.7,160,strcat('n_{rojo} = 1.332')),"color","red")
set(text(0.7,155,strcat('n_{azul} = 1.338')),"color","blue")
subplot(1,2,2)
plot(h,deltaprimario(h,nrojo),'-r',h,deltaprimario(h,nazul),'b',h,deltasecundario(h,nrojo),'-r',h,deltasecundario(h,nazul),'b')
hold on
set (gca (), "xlim", [0.75, 1]);
set (gca (), "ylim", [20, 75]);
cuadrox=[0.76,0.99,0.99,0.76,0.76]
cuadroy=[43, 43, 50,50,43]
plot(cuadrox,cuadroy,'-.k')
set(text(0.78,47,strcat('{\fontsize{12}FRANJA OSCURA DE ALEJANDRO}')),"color","black")
xlabel("h ó -h");
ylabel(strcat('\delta (grados)'));
En cuanto a los applets de GeoGebra, con este programa se trabaja de forma interactiva usando las múltiples herramientas de que dispone, nada como experimentar libre y gratuitamente cada uno, eso sí, sin prisas. Se puede guardar el resultado en un archivo de formato binario con extensión ggb. Para publicar el applet en un blog hay que usar unas etiquetas específicas, <applet> y demás, como las que se ven al editar el código fuente de esta página web. El caso es que se tiene que incluir el código binario que se guarda en el fichero ggb, generado con el programa GeoGebra, pero codificado en
Base 64. Para hacer tal conversión es muy útil otro programa gratuito, el editor
Notepad++, usando el menú Plugins-MIME Tools - Base64 Encode.
La contemplación del colorido arcoíris no requiere applets ni refracción ni reflexión, sino el momento oportuno, usualmente fugaz, de la confluencia adecuada de Sol, lluvia y observador. Aunque no comparable, trastear con el "arcoíris" en GeoGebra o en Octave puede ser una experiencia entretenida ... y mucho, mucho más prolongada.
