jueves, 16 de mayo de 2013

EMAS Geometry 7 - Teoría de lo imaginario

Ya me había tomado algún descanso de la lectura de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", cuando a la altura del final de la segunda parte me tuve que tomar unas vacaciones completas y ocuparme en lecturas más llevaderas.

Pero como dijo Euclides, al primero de los Ptolomeos, "no hay camino Real a la Geometría". La atribución de la cita la leo en la mejor historia concisa de las matemáticas, "A Concise History of Mathematics", de Dirk J. Struik, en la cuarta edición revisada editada por Dover Publications. Su gran valor bien merece el bajo precio de adquirir esta obra. Pero obviamente "concisa" indica que no es comparable a obras de otro calibre, como los tres tomos de "El Pensamiento Matemático desde la antigüedad a nuestros días", de Morris Kline, que ahora al parecer existe editada en un solo volumen.

El caso es que en la versión inglesa de Struik la frase de Euclides al rey Ptolomeo I es "there is no royal road to geometry"; por muy rey que sea, no hay acceso fácil. Pero queda muy bien el juego de palabras en la versión en castellano, para cambiar el sentido, tergiversar al pobre Euclides, y dar a entender que el camino a la geometría no es solamente Real, sino que tiene un sesgo Imaginario. Vamos, que es Complejo.

La geometría proyectiva, al incorporar elementos "impropios", como los puntos o la recta en el infinito, permite enunciar teoremas de una forma general, sin excepciones o casos particulares. Un beneficio similar se consigue en el álgebra, el análisis y la geometría analítica al incorporar los valores imaginarios, y trabajar con los números complejos en vez de simplemente con los reales. Se gana generalidad y una comprensión más profunda de muchos resultados, pero desde el punto de vista geométrico intuitivo perdemos pie. Aún así Klein intenta aplicar ambas incorporaciones a la vez y explicar algunos términos.

Seguimos empleando las coordenadas homogéneas ya conocidas, en el plano \(x:y:1 = \xi:\eta:\tau\), pero ahora se admiten para todas ellas valores complejos, no solo reales, aunque excluyendo como siempre la anulación simultánea de todas las coordenadas homogéneas. Un conjunto de puntos que satisfacen una ecuación cuadrática homogénea definen una curva de segundo grado, y si satisfacen una ecuación lineal definen una curva de primer grado. Una curva de primer grado y una de segundo siempre se intersecan en dos puntos, que pueden ser reales o complejos, a distancia finita o infinita, separados o coincidentes. De forma similar, en el espacio se definen de forma analítica las superficies de primer grado (un plano) o de segundo grado, y hay resultados generales sobre las intersecciones a las que dan lugar.

Un iniciador de tales resultados, en el caso concreto de círculos y esfera, fue Poncelet con su "Traité des propietés projectives des figures" de 1822. Empleó su fuerte sentido de continuidad geométrica, pero no las coordenadas homogéneas. Klein las emplea para expresar la ecuación del círculo
\begin{equation*}
(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2
\end{equation*}
en forma homogénea así
\begin{equation*}
(\xi - a \tau)^2 + (\eta - b \tau )^2 - r^2 \tau^2 = 0
\end{equation*}
La intersección de este círculo con la línea del infinito, \(\tau=0\), se describe por las dos ecuaciones
\begin{equation*}
\xi^2+\eta^2=0 \ \ , \ \ \tau=0
\end{equation*}
Las constantes \(a,b,r\) que caracterizan el círculo no aparecen, y por tanto todo círculo corta a la línea del infinito en los mismos dos puntos fijos, denominados puntos circulares imaginarios
\begin{equation*}
\xi : \eta = \pm i \ , \ \tau=0
\end{equation*}
Hay que recordar que las coordenadas homogéneas determinan un punto, salvo por un factor común, que ahora puede ser complejo. Coordenadas posibles de los puntos circulares imaginarios serían \((i,1,0)\) y \((-i,1,0)\), o cualquier múltiplo complejo.
En el espacio, por tanto con cuatro coordenadas homogéneas, una superficie de segundo grado se corta con otra de primer grado en una curva de segundo grado. Por ejemplo cualquier esfera corta el plano en el infinito en la misma cónica imaginaria, el círculo esférico imaginario
\begin{equation*}
\xi ^2 + \eta ^2 + \zeta ^2 = 0 \ \ , \ \ \tau=0
\end{equation*}
Aunque puede costar algo comprender el alcance de esta expresión analítica, más cuesta imaginar intuitivamente ese círculo, en el infinito, e imaginario. Pero sirve para cuadrar las cuentas: dos esferas, como superficies de segundo grado, deben cortarse en una curva de cuarto grado. En efecto siempre tenemos una intersección como un círculo, real o imaginario, y además el círculo esférico imaginario, el producto de esas dos curvas de segundo grado da la de cuarto.

Klein explica que una forma de hacer más reales los puntos circulares imaginarios (del plano) es someterles a la transformación imaginaria
\begin{equation*}
\xi' = \xi \ , \ \eta'=i \eta \ , \ \tau'=\tau
\end{equation*}
Entonces la ecuación \(\xi^2+\eta^2=0\) se convierte en \(\xi'^2-\eta'^2=0\) y convierte los puntos circulares imaginarios \(\xi : \eta = \pm i \ , \ \tau=0\) en los puntos reales en el infinito
\begin{equation*}
\xi' : \eta' = \pm 1 \ , \ \tau'=0
\end{equation*}
Estos puntos corresponden a las direcciones que hacen 45º con los ejes de coordenadas \(x', y'\). Todos los círculos se transforman en cónicas que "pasan" por estos puntos, es decir, en hipérbolas equilateras cuyas asíntotas hacen esos 45º con los ejes \(x'\) e \(y'\), aunque no pasan necesariamente por el origen de coordenadas.

¿Hay una forma puramente geométrica de expresar tales conceptos "imaginarios"? Poncelet y Steiner no fueron claros al respecto, pero von Staudt desarrolló ideas clave al respecto.
Por un lado, una curva dada por una ecuación con coeficientes reales determina un sistema polar, que proporciona una representación real, y puede usarse como objeto a investigar en vez de la curva. El sistema polar se define por la relación polo-polar asociada a una cónica. Si los coeficientes de ésta son reales, aún admitiendo para las coordenadas homogéneas valores complejos, siempre hay una relación para valores reales: un punto de coordenadas reales tiene asociada una polar real, incluso ¡aunque la cónica no tenga puntos reales! Además una cónica, al cortarse con una recta, determina en ésta una relación polar unidimensional, que es una involución. Esta involución tendrá dos puntos fijos, que pueden ser reales o imaginarios, pero en todo caso está definida perfectamente en base a su acción sobre puntos reales.

Un ejemplo, un círculo cualquiera se define en coordenadas homogéneas por
\begin{equation*}
\xi^2 + \eta^2- 2 a \xi \eta- 2 b \eta \tau + (a^2+b^2-r^2)=0
\end{equation*}
que se asocia a la relación polar
\begin{equation*}
\xi \xi' + \eta \eta' - a (\xi \tau' + \xi' \tau) - b(\eta \tau' + \eta' \tau) + (a^2+b^2-r^2) \tau \tau' =0
\end{equation*}
Esta relación polar induce, al considerar el corte del círculo con la recta en el infinito \(\tau=0=\tau'\), la relación polar unidimensional dada por

\begin{equation}\label{ec4bp123}
\xi \xi ' + \eta \eta' =0 \ , \ \tau = 0 \ , \ \tau'=0
\end{equation}
que como se ve es la misma para cualquier círculo, y es una involución. Esta relación está definida completamente en base a su comportamiento para valores reales. Las direcciones desde el origen hacia los dos puntos relacionados por la involución, \(P(\xi,\eta,0)\) y \(P'(\xi',\eta',0)\), son perpendiculares. Las tangentes a cualquier círculo (\(C_1\) o \(C_2\)) en una dirección dada, es decir, hacia un mismo punto del infinito \(P\), el polo, tienen asociadas polares (\(p'_1\), \(p'_2\)) que son perpendiculares a tal dirección, determinando por tanto otro punto \(P'\) en el infinito. Esta perpendicularidad geométricamente evidente, de las tangentes "reales" a los círculos y sus polares, ilustrada en la figura 92, página 122, de EMAS Geometry, es la plasmación de los dos puntos circulares imaginarios.

¡Puntos circulares imaginarios!

Estos son precisamente los puntos fijos de la involución definida por \eqref{ec4bp123}, aquellos que se relacionan consigo mismos. En efecto los puntos fijos deben cumplir \(\xi=\xi',\eta=\eta',\tau=\tau'=0\) y de \eqref{ec4bp123} se obtiene que \(\xi:\eta = \pm i\).

Da igual el punto \(P\) elegido sobre la recta del infinito como polo, la dirección de las tangentes, la polar siempre será perpendicular, y la involución definida en la recta del infinito será la misma, por lo que se denomina involución absoluta. Ésta es equivalente, en la idea de von Staudt, al concepto mismo de puntos circulares del infinito.

Toma ya moreno.

Pero para Klein esto es una forma de eludir lo imaginario más que una interpretación. Propiamente tal interpretación de los puntos, líneas y planos imaginarios la consiguió von Staudt en su "Beiträge" de 1856-60.
Empezamos asociando a un punto imaginario \(P\), dado por sus coordenadas homogéneas complejas

\begin{equation*}
\xi = \xi_1+ i \xi_2 \ , \ \eta = \eta_1+ i \eta_2 \ , \ \tau = \tau_1+ i \tau_2
\end{equation*}
los dos puntos reales \(P_1: \xi_1,\eta_1,\tau_1 \) y \(P_2: \xi_2,\eta_2,\tau_2 \), que no coinciden, no son proporcionales, si \(P\) es propiamente imaginario. Estos puntos determinan una recta real, que también contiene tanto al punto imaginario \(P\) como al conjugado \(\overline{P} : \xi_1- i \xi_2,\eta_1- i \eta_2,\tau_1- i \tau_2 \). Pero en la perspectiva proyectiva que hemos de mantener siempre, \(P\) se determina por sus coordenadas homogéneas salvo un factor común, complejo, como \(\rho = \rho_1 + i \rho_2\), y entonces podemos asociar a \(P\) otros pares de puntos reales \(P'_1, P'_2\).

Al dar todos los valores posibles a \(\rho_1, \rho_2\) se obtiene una variedad geométrica de puntos reales que representa al punto geométrico \(P\) de una forma netamente proyectiva. Dos pares de puntos igualmente representativos, como \(P_1,P_2\) y \(P'_1, P'_2\), están intercalados sobre la misma línea, es más, resulta que cada par se relaciona por una misma involución de dicha línea, y los puntos fundamentales o fijos de dicha involución son precisamente \(P\), el punto imaginario de partida, y su conjugado \(\overline{P}\). Se llega a una situación parecida a la alcanzada antes con los puntos circulares del infinito, relacionando un punto imaginario (y su conjugado) con una involución en una recta real. Para obtener una expresión propia sólo de \(P\) y no de su conjugado, se elige un sentido concreto de recorrido de la involución, el de movimiento del punto real \(P'_1\) cuando el parámetro \(\lambda = -\rho_2 / \rho_1\) varía desde \(0\) a \(\infty\) y de vuelta a \(0\) desde \(-\infty\). El sentido opuesto para igual variación de \(\lambda\) corresponde al \(\overline{P}\).

Recíprocamente, "cada figura real tal, consistente en una línea recta, dos pares de puntos intercalados sobre ella, \(P_1, P_2\) y \(P'_1, P'_2\) (o una involución sin puntos reales dobles, junto con una flecha de dirección, representa un único punto imaginario".

Acaba así Klein, requiriendo buenas dosis de imaginación para hacer real lo imaginario, la segunda parte de la obra.


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lunes, 13 de mayo de 2013

EMAS Geometry 6 - Transformaciones de contacto

Las transformaciones de contacto se asocian al matemático noruego Sophus Lie, con el que Klein compartió unos años de intenso intercambio de ideas.
Klein presenta estas transformaciones como "evolución" de las anteriores transformaciones dualísticas: la relación bilineal de \(x\) e \(y\) con \(x'\) e \(y'\),
\[
a_1 x x'+b_1 x y' + c_1 x + a_2 y x' + b_2 y y'+c_2 y - a_3 x' - b_3 y' - c_3=0
\]
se generaliza a cualquier relación expresada mediante la aequatio directrix, o ecuación directriz, denominación debida a Plücker:
\begin{equation}\label{eq1p111}
\Omega(x,y;x',y') = 0
\end{equation}
siendo \(\Omega\) una función de las coordenadas de los planos \(E\) y \(E'\), arbitraria salvo por cumplir unas mínimas condiciones de continuidad. La siguiente figura, esta vez una recreación de las figuras 79 y 80 de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", o de Geometría traducido por R. Fontanilla, es muy conveniente para entender la relación entre los dos planos.

A cada punto \(P\) del plano \(E\) se le asocia una curva \(C'_P\) en el plano \(E'\) determinada precisamente por esa ecuación (\ref{eq1p111}) tomando las coordenadas de \(P\) como constantes. A cada punto \(Q'\) del plano \(E'\) le corresponde una curva \(C_{Q'}\) en el plano \(E\). Si \(Q'\) pertenece a la curva \(C'_P\), entonces su curva asociada, \(C_{Q'}\), debe pasar por \(P\).

Al recorrer \(P\) una curva \(K\) en \(E\) se obtiene una familia de curvas en \(E'\) cuya envolvente es otra curva \(K'\) en \(E'\). Así se establece una relación entre las curvas de los planos \(E\) y \(E'\) obtenida de \(\Omega=0\) . En detalle, lo que se deduce es una relación entre elementos-de-línea entendidos como un punto \(P(x,y)\) y una dirección \(PP_1\), la de la tangente a \(K\) en \(P\) cuando \(P_1(x+dx,y+dy)\) se acerca a \(P\) sobre \(K\).

La curva \(C'_P\) asociada a \(P\) es \(\Omega(x,y;x',y')=0\) y la \(C'_{P_1}\) asociada a \(P_1\) en el límite hasta términos lineales puede ponerse como
\[
\Omega(x+dx,y+dy;x',y') = \Omega(x,y;x',y') + \frac{\partial\Omega}{\partial x}dx + \frac{\partial\Omega}{\partial y}dy= 0
\]
Usando \(p=dy/dx\), tangente del ángulo definido por \(PP_1\), la intersección de ambas curvas, en el límite, da el punto \(P'\) de tangencia a \(K'\). \(P'\) se obtiene por tanto de las dos ecuaciones
\begin{equation}\label{eq2p112}
\begin{aligned}
\Omega(x,y;x',y') &= 0 \\
\frac{\partial\Omega}{\partial x} + \frac{\partial\Omega}{\partial y} p &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
La tangente a \(K'\) en \(P'\) es la tangente a \(C'_P\) en ese mismo punto, que se expresa por
\[
\frac{\partial\Omega}{\partial x'}dx' + \frac{\partial\Omega}{\partial y'}dy'= 0
\]
y puede ponerse, empleando \(p'=dy'/dx'\), como
\begin{equation}\label{eq3p112}
\frac{\partial\Omega}{\partial x'} + \frac{\partial\Omega}{\partial y'} p'= 0
\end{equation}
Así, dados en \(E\) un punto \(P\) y una dirección \(p\) , mediante \(\Omega\) se les hace corresponder un punto \(P'\) y una dirección \(p'\) en \(E'\), que se determinan resolviendo las ecuaciones (\ref{eq2p112}) y (\ref{eq3p112}). Queda claro el nombre dado por Lie de transformaciones de contacto: dos curvas que se tocan en un punto \(P\), son tangentes una a la otra, se transforman en otras que también se tocan, son tangentes una a la otra en \(P'\). La tangencia de dos curvas es un invariante bajo una transformación de contacto.

Conviene no dejarse engañar por la notación, no hay una correspondencia entre los puntos \(P\) y \(P'\), pues \(P'\) depende tanto de \(P\) como de \(p\), o de la curva \(K\) que se considere.

En cuanto al excelente MathJax, que llevo usando hace ya bastantes entradas, hoy he practicado por primera vez con la numeración de ecuaciones y con la referencia a dichas ecuaciones. Nada como esas páginas de ejemplo para aprender. He tenido que actualizar la plantilla de blogger para incluir lo indicado sobre numeración automática de ecuaciones.

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domingo, 12 de mayo de 2013

EMAS Geometry 5 - Transformaciones dualisticas

Siguiendo en la segunda parte de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" (o en la versión Geometría traducido por R. Fontanilla), hay un cambio interesante. Klein pasa a considerar transformaciones con cambio del elemento geométrico. El primer caso es el de las transformaciones dualísticas.

Al hablar de la dualidad punto-línea ya se vio que la ecuación de una recta era
\[
ux + vy =1
\]
con \( (x,y) \) "coordenadas de punto" y \( (u,v) \) "coordenadas de línea" del plano, llamemoslo \(E\). Y no por capricho, sino porque las transformaciones a estudiar se entienden mejor considerando que son relaciones entre elementos geométricos de dos planos distintos \(E'\) y \(E\). Por ejemplo, relacionando puntos \( (x',y') \) de \(E'\) con líneas \( (u,v) \) de \(E\), en principio mediante funciones generales
\[
u=\phi(x',y') \ , \ v=\xi(x',y')
\]
Pero mejor estudiar un caso concreto y "sencillo"
\[
u=x' \ , \ v=y'
\]
Corresponde a la relación polo-polar respecto de la circunferencia de radio unidad, ilustrada en la siguiente figura, recreación de la figura 78 de la obra de Klein.

La polar en \(E\) asociada al polo \(P'(x',y')\) tiene por ecuación
\[
x' x + y' y = 1
\]
Por la simetría de la expresión, \(E\) y \(E'\) juegan un mismo papel en la relación "puntos de uno a líneas del otro", hay dualidad cruzada. Puede decirse tanto que la ecuación expresa la relación de un punto de \(E'\) a una línea de \(E\), como la relación de un punto de \(E\) a una línea de \(E'\). Además en este caso hay reciprocidad, pueden solaparse \(E\) y \(E'\), y es indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno o a otro, pues puntos \(P\) y \(P'\) coincidentes se relacionan con líneas coincidentes. En la figura pueden considerarse superpuestos los dos planos \(E'\) y \(E\).
Para entender esta diferencia de conceptos, dualidad cruzada y reciprocidad, un tanto sutil en este ejemplo, puede considerarse la relación dualística más general entre puntos de \(E'\) y líneas de \(E\) dada por
\[
\begin{aligned}
u & = \frac{a_1 x' + b_1 y' + c_1 }{a_3 x' + b_3 y' + c_3} \\
v & = \frac{a_2 x' + b_2 y' + c_2 }{a_3 x' + b_3 y' + c_3}
\end{aligned}
\]
que se reduce a la ecuación bilineal más general
\[
a_1 x x'+b_1 x y' + c_1 x + a_2 y x' + b_2 y y'+c_2 y - a_3 x' - b_3 y' - c_3=0
\]
Hay que hacer el ejercicio de pensar que las coordenadas primadas son constantes, un punto concreto de \(E'\), y entonces se tiene la ecuación de una recta en \(E\); pero que igualmente pueden considerarse las coordenadas sin primar como fijas, un punto concreto de \(E\), y esa misma ecuación indica una recta en \(E'\).
Sin embargo, aunque hay una dualidad entre puntos y líneas, en este caso no necesariamente hay reciprocidad, que puntos de \(E\) y \(E'\) con iguales coordenadas se transformen en las mismas líneas de \(E'\) y \(E\). La transformación es recíproca si \(b_1=a_2 \ ,\ c_1=-a_3 \ ,\ c_2 = -b_3\), y en tal caso puede ponerse, evidenciando la simetría, como

\[
Axx'+B(xy'+yx')+Cyy'+D(x+x')+E(y+y')+F=0
\]

Entonces esta relación, dual y recíproca, expresa la correspondencia de polo y polar respecto de la cónica cuya ecuación es

\[
A x^2+2 B x y + C y^2 + 2Dx+ 2Ey +F=0
\]


Ahí queda eso, como aperitivo antes de pasar al siguiente apartado, con tacto.


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EMAS Geometry 4 - Transformaciones proyectivas

Anteriores entradas: Felix Klein EMAS Geometry; EMAS Geometry 1 - Configuraciones Geométricas Simples; EMAS Geometry 2 - Dualidad; EMAS Geometry 3 - Transformaciones


Tras las transformaciones afines, Klein aborda las Transformaciones Proyectivas, que analíticamente se definen, en el espacio tridimensional, porque \(x', y', z'\) son funciones lineales fraccionales de \(x, y, z\), con la restricción de compartir todas ellas el mismo denominador
\[
\begin{aligned}
x' & = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4} \\
y' & = \frac{a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4} \\
z' & = \frac{a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4}
\end{aligned}
\]
Si ese denominador común no es cero, a cada punto corresponde otro punto finito Pero según los puntos se acercan al plano en que se anula el denominador, sus puntos imágenes se alejan al infinito, se "desvanecen", se fugan. Ese plano \(a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4=0\) es el plano de fuga (en inglés vanishing plane). Los puntos de fuga se corresponden mediante la transformación proyectiva con los puntos en el infinito.

Las ecuaciones anteriores en \(n\) variables ( \(n=3\) en nuestro caso) y un término inhomogeneo, pueden expresarse de forma equivalente empleando \(n+1\) coordenadas homogéneas \(\xi, \eta, \zeta , ..., \tau\) . Para el caso \(n=3\) la relación entre ambas es tal que
\[
x=\frac{\xi}{\tau}, \ \ \ y=\frac{\eta}{\tau}, \ \ \ z=\frac{\zeta}{\tau}
\]
Las cuatro coordenadas homogéneas pueden variar libremente, siempre que no se anulen todas a la vez. A una terna \((x,y,z)\) corresponden infinitas cuaternas \( (\xi,\eta,\zeta,\tau) \), todas ellas proporcionales y distintas por un factor \(\rho \neq 0\) arbitrario.
Con \(\tau=0\), y una o más de las otras tres coordenadas homogéneas distintas de cero, se representa un punto en el infinito, que se añade a los puntos finitos "normales" para los que \(\tau \neq 0\) . Las transformaciones proyectivas en dimensión \(n\) pueden expresarse entonces en términos de transformaciones afines en dimensión \(n+1\) dadas por las ecuaciones:
\[
\begin{aligned}
\rho' \xi' & = a_1 \xi + b_1 \eta + c_1 \zeta + d_1 \tau \\
\rho' \eta' & = a_2 \xi + b_2 \eta + c_2 \zeta + d_2 \tau \\
\rho' \zeta' & = a_3 \xi + b_3 \eta + c_3 \zeta + d_3 \tau \\
\rho' \tau' & = a_4 \xi + b_4 \eta + c_4 \zeta + d_4 \tau
\end{aligned}
\]
El significado de la relación entre coordenadas ordinarias y homogéneas se ilustra mejor con \(n=2\), transformaciones proyectivas del plano \(E\) de coordenadas \((x,y)\), y coordenadas homogéneas \((\xi,\eta,\tau)\) en un espacio tridimensional, en el que puede "colocarse" el plano \(E\) como el dado por \(\tau=1\).

Como se aprecia en la siguiente figura (recreación de la figura 64 en la obra que nos ocupa), las coordenadas espaciales de todos los puntos \(H\) del espacio sobre una misma recta que pase por \(O\) sirven como coordenadas homogéneas del punto \(P\) en que esa recta corta al plano \(E\) . En éste los "puntos en el infinito" tienen coordenadas homogéneas finitas, pues cada recta del plano \(\tau=0\) que pasa por \(O\) se corresponde con uno de tales puntos, y el conjunto de ellas se corresponde con la "recta en el infinito".

Una transformación proyectiva \(P \mapsto P'\) del plano \(E\) se corresponde con cierta transformación afín del espacio, que transforma un haz de rectas que pasan por \(O\) , y cortan a \(E\) en los puntos \(P\) origen, en otro haz distinto que también pasa por \(O\), cuyo corte con \(E\) determina los puntos \(P'\) imagen. Klein denomina este procedimiento como el principio de proyección y sección, que convierte relaciones complicadas en un espacio \(n\)-dimensional a una forma más fácil de entender pero en un espacio \((n+1)\)-dimensional.

La aplicación afín en coordenadas homogéneas transforma planos en planos. Para \(n=2\) , la "recta en el infinito" (el plano \(\tau=0\) ) se transforma en una recta "ordinaria" (el corte con \(E\) del plano en que se transforma \(\tau=0\) ). Toda transformación proyectiva es una colineación y, mucho más reseñable, toda colineación del espacio es una transformación proyectiva.

El efecto de las transformaciones proyectivas sobre las variedades geométricas fundamentales difiere de lo visto para las transformaciones afines en lo que respecta al concepto de paralelismo. Las líneas paralelas son las que se intersectan en el plano del infinito, pero este puede convertirse en un plano ordinario, y las rectas transformadas se cortan en este, dejando por tanto de ser paralelas. No se mantiene el paralelismo. Tampoco son invariantes frente a transformaciones proyectivas las variedades de Grassmann, salvo la línea recta ilimitada. No son invariantes distancias o ángulos, ni la razón simple, pero sí es invariante la razón doble.

Klein desarrolla varios ejemplos de aplicación de las tranformaciones proyectivas:
  • aplicar el espacio sobre un plano mediante perspectiva central.
  • perspectiva de relieve, que incluye el anterior como caso límite.
  • prueba de teoremas geométricos.

Recordatorio. Están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla.

sábado, 11 de mayo de 2013

EMAS Geometry 3 - Transformaciones

Siguiendo la "serie" sobre "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" , en la segunda parte se tratan toda una serie de transformaciones. Aquí se adopta un punto de vista "activo": fijando un sistema de ejes un punto \(P\) se transforma en otro distinto \(P'\) y sus respectivas coordenadas \( (x,y,z) \) y \( (x',y',z') \) se relacionan de cierta forma analítica, que define el tipo de transformación considerada. Pero no solo se trata este caso de "transformaciones puntuales" (de puntos a puntos); también otras más generales en que un elemento geométrico se transforma en otro de diferente tipo.
Pueden resumirse las transformaciones tratadas así:
  • Transformaciones puntuales
    • funciones lineales
      • Transformaciones Afines (funciones lineales enteras)
      • Transformaciones Proyectivas ( funciones lineales fraccionales)
    • funciones algebraicas racionales superiores, y funciones trascendentes.
      • Transformaciones "por radios recíprocos" (inversión), tipo particular de transf. biracional cuadrática. Ejemplo particular: Proyección estereográfica.
      • Proyecciones cartográficas.
      • Transformaciones topológicas (las transformaciones puntuales continuas e invertibles más generales).
  • Transformaciones con cambio del elemento de espacio.
    • Transformaciones dualísticas, un ejemplo de las cuales es la de polo-polar.
    • Transformaciones de contacto


Hay que "traducir" algo la nomenclatura de Klein. Función lineal entera (linear integral function) se refiere a un polinomio de primer grado en una o más variables. La palabra entera indica que no es racional, siendo aquí una función lineal fraccional (fractional linear function) lo mismo que función racional, el cociente entre dos polinomios, indicando el término lineal que ambos deben ser de primer grado. Cuando son de un grado más general se tienen las funciones algebraicas racionales superiores.

La presentación es en este orden de creciente generalización. Unos ejemplos.

Transformaciones Afines
\(x', y', z'\) son funciones lineales enteras de \( x, y, z\) :
\[
\begin{aligned}
x' & = a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 \\
y' & = a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 \\
z' & = a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3
\end{aligned}
\]
Puntos infinitamente distantes correspondes a otros infinitamente distantes. Son invertibles si el determinante \(\Delta\) de la parte lineal homogénea es distinto de cero. A partir de esta expresión analítica se puede estudiar el efecto de la transformación sobre distintos elementos geométricos.
Una aplicación afín transforma ...
  • un plano en otro plano.
  • una línea recta, dada por la intersección de dos planos, en otra línea recta, siendo por tanto un ejemplo de colineación.
  • una superficie de grado \(n\) en otra del mismo grado; por ejemplo una esfera, que tiene extensión acotada, se transforma en general en un elipsoide.
  • un vector libre en otro vector libre.
  • un sistema de líneas paralelas en otro sistema de líneas paralelas, aunque la longitud de segmentos y el ángulo entre dos líneas no paralelas sí cambian.
  • una línea recta en otra "similar", es decir, preservándose la razón simple de tres puntos colineales cualesquiera.
  • el volumen de espacio, por ejemplo el de un tetraedro, en otro multiplicándose por el factor \(\Delta\).
  • cada tripleta de planos diametrales de una esfera, mutuamente perpendiculares, en otra tripleta de planos diametrales de un elipsoide, llamados conjugados, con la propiedad de que cada uno de ellos biseca las cuerdas paralelas a la intersección de los otros dos. Una transformación afín "pura" (salvando una posible rotación y traslación) puede reducirse a una forma diagonal usando como coordenadas transformadas las de los ejes conjugados mutuamente perpendiculares del elipsoide, expresándose entonces \(x'=\lambda x , y' = \mu y, z' = \nu z\).

Las transformaciones afines tienen un importante papel en la física en campos como la teoría de la elasticidad, hidrodinámica y en general en la mecánica de los medios continuos.

Las transformaciones afines son relevantes para el dibujo en perspectiva usando la proyección paralela. En esa proyección el centro está en el infinito, y se usa un haz de rayos paralelos. Es aplicable lo estudiado en la geometría descriptiva. El resultado fundamental expuesto por Klein a este respecto es que "cualquier relación afín entre dos planos puede efectuarse de infinitas maneras diferentes mediante la combinación de una transformación de semejanza con una proyección paralela".

En cuanto al proceso de axonometría, la representación de todo el espacio sobre un plano mediante proyección paralela, permitiendo un alargamiento o encogimiento de la imagen por una transformación de semejanza, se corresponde analíticamente con una transformación homogénea afín de determinante nulo, cumpliéndose también la recíproca. Klein desarrolla la prueba con bastante detalle, haciendo uso al final del teorema de Pohlke. No es desde luego para una lectura rápida.

Pero ha sido aquí, gracias a buscar algo más sobre el tal Pohlke, que he encontrado que están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. ¡Albricias! Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla.

viernes, 10 de mayo de 2013

EMAS Geometry 2 - Dualidad

El final de la primera parte de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" contiene otra valiosa perspectiva histórica de Klein.

Hasta el siglo XVIII en la geometría se consideraron configuraciones basadas en el punto: curvas y superficies.
La instrucción elemental, basada en el legado de la Grecia antigua, se reducía a la línea recta, el plano, las secciones cónicas y las superficies de segundo grado.
A partir de la geometría analítica de Descartes y Fermat se distinguen las curvas geométricas, como las cónicas y otras llamadas luego algebraicas, y las curvas mecánicas, descritas por mecanismos, que en su mayoría se encuadran en las posteriormente llamadas curvas trascendentes.
Englobando las anteriores, surge luego la idea de curva analítica, aquella cuyos puntos tienen coordenadas \(x, y\) que se representan mediante funciones analíticas (desarrollables en serie de potencias) de un parámetro \(t\).
Luego se consideraran curvas no analíticas, en que las coordenadas se expresan por funciones más generales. Y más tarde el conjunto infinito de puntos en su forma más general.

A partir de 1800 hay un importantísimo impulso a la geometría con el desarrollo de la geometría proyectiva, que sigue dos corrientes a veces antagónicas, la sintética y la analítica. En palabras de Klein
La geometría sintética es la que estudia las figuras como tal, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica hace uso consistente de aquellas fórmulas que pueden establecerse tras adoptar un sistema de coordenadas apropiado. Con buen entendimiento sólo existe una diferencia de grado entre estas dos clases de geometría, según se de más prominencia a las figuras o a las fórmulas. La geometría analítica que prescinde por entero de la representación geométrica difícilmente puede llamarse geometría; la geometría sintética no llega muy lejos salvo que haga uso de un lenguaje de fórmulas adecuado para dar expresión precisa a sus resultados.
Claramente Klein aboga por una complementariedad de enfoques, quizá más de la mano del aparato analítico pero sin perder de vista el sentido geométrico, y critica la cerrazón de
las escuelas de puros sintéticos y las escuelas de puros analistas, que ponen su énfasis principal sobre la "pureza del método".

Frente a la pretensión de enseñar las matematicas dividas en disciplinas separadas, Klein promueve la mayor interacción posible entre todas aquellas ramas de las ciencias con intereses comunes.

En el ámbito concreto de la geometría proyectiva, J. Steiner y Ch. von Staudt representan la vía sintética, A. F. Möbius y J. Plücker la analítica. Pero el primer pionero en ese ámbito es J. V. Poncelet.

Poncelet es el primero en considerar como "elemental" un elemento geométrico distinto del punto. En el plano considera la línea recta infinita, y en el espacio el plano ilimitado, como elementos duales al punto. Por el principio de dualidad, en un gran número de teoremas geométricos puede reemplazarse la palabra "punto" por "linea" (o "plano" si se trata del espacio).

El desarrollo de estas ideas arranca de la teoría polar de las secciones cónicas. Empleando una sección cónica dada, a cada punto (el polo) del plano se le asocia una recta (la polar), determinada por los dos puntos de tangencia de la cónica con sendas rectas tangentes que pasan por el polo. Recíprocamente una recta que corta en dos puntos a la cónica permite trazar las rectas tangentes a la cónica por esos dos puntos, tangentes que se cortan en un punto, el polo. Hay una relación uno a uno entre puntos y rectas, dependiente de la cónica elegida. Esta relación permite por ejemplo dualizar el teorema de Pascal, sobre un hexágono (de puntos) inscrito en una cónica, obteniendo el teorema de Brianchon relativo a un hexágono de tangentes circunscritas en la cónica.

El principio de dualidad resultó tener un carácter más general que el de la teoría de polares, y ser una consecuencia del carácter peculiar de la geometría proyectiva, como aclararon Gergonne y Steiner con sus trabajos. Se emplean como configuraciones elementales sólo el punto y la recta infinita, en el plano, o el punto y el plano infinito en el espacio. Entre ellas rigen los axiomas de conexión:
Dos puntos determinan una línea, tres puntos no colineales determinan un plano; dos planos determinan una línea; tres planos no colineales determinan un punto. La validez sin excepciones de estos axiomas se consigue mediante la hábil introducción de elementos extraordinarios (infinitamente distantes).

La dualidad es una de las ideas clave de la obra. Pensar en una línea recta como algo no compuesto sino elemental, "atómico", y el punto como un objeto determinado por un conjunto (un haz) de rectas, en principio chirría. Pero en el ámbito proyectivo es lo que hay, dualidad, igualdad de punto y recta ante la ley de los teoremas geométricos. En el espacio tridimensional la igualdad dual es entre punto y plano.

Otra idea clave es el estatus especial de la geometría proyectiva y su uso de elementos extraordinarios, ideales, infinitamente distantes. Son estos los que posibilitan la validez general, sin excepciones, de los axiomas de conexión antes citados, y de la dualidad. Para que dos rectas cualesquiera siempre se corten en un punto, si no encontramos un punto "cerca", a mano, tendremos que introducir uno "extraordinario". Y si dados dos puntos extraordinarios debe pasar por ellos una recta, la habrá, aunque sea la recta del infinito.

Considerando el punto, la recta y el plano como configuraciones simples, Klein construye otras configuraciones lineales fundamentales, definidas analíticamente por ecuaciones lineales.
De primera clase, con \( \infty^1 \) elementos
( \( \alpha \) ) todos los puntos sobre una línea: un rango rectilíneo de puntos.
( \( \beta \) ) todos los planos conteniendo una línea: un haz axial de planos.
( \( \gamma \) ) en un plano, todas las líneas que pasan por un punto: un haz (plano) de líneas.
De segunda clase, con \( \infty^2 \) elementos
( \( \alpha \) ) el plano como lugar de sus puntos: un campo de puntos.
( \( \alpha' \) ) el plano como lugar de sus líneas: un campo de líneas.
( \( \beta \) ) los planos que pasan por un punto: un haz de planos.
( \( \beta' \) ) las líneas que pasan por un punto: un haz de líneas.
De tercera clase, con \( \infty^3 \) elementos
( \( \alpha \) ) el espacio como lugar de sus puntos: un espacio de puntos.
( \( \alpha' \) ) el espacio como lugar de sus planos: un espacio de planos.

En toda esta estructura, por doquier aparece una completa dualidad. Podemos exhibir el corpus de la geometría proyectiva en dos formas mutuamente duales si, usando los elementos fundamentales dados, empezamos por un lado desde los puntos, y por el otro desde las líneas, si de geometría del plano se trata, o desde los planos si pensamos en la geometría del espacio.

Klein dixit. Es entretenido visualizar que un plano es igualmente una doble infinidad de puntos y una doble infinidad de líneas. O que el espacio es una triple infinidad de puntos y también una triple infinidad de planos. Una de las visualizaciones me es más fácil que la otra.

La dualidad se aprecia directamente en la expresión analítica de una línea recta en el plano, cuyos puntos \( (x,y) \) satisfacen
\[
u x + v y + 1 = 0
\]
Una línea concreta corresponde a ciertos valores de \(u\) y \(v\) . Plücker considera \((u,v)\) como "coordenadas de línea", igual que \((x,y)\) son "coordenadas de punto". Tan justificado es tomar \((u,v)\) como fijos y considerar que la anterior ecuación describe todos los puntos sobre una recta, como lo es tomar \((x,y)\) como fijos y considerar que la anterior ecuación describe todas las rectas que pasan por un punto. La expresión analítica es completamente simétrica, dual, respecto a \((x,y)\) y \((u,v)\).

En el espacio pasa algo similar entre "coordenadas de punto" \((x,y,z)\) y "coordenadas de plano" \((u,v,w)\) con la ecuación
\[
u x + v y + w z + 1 = 0
\]
La dualidad se extiende a configuraciones "superiores", como ilustra el usar unas funciones \(\phi, \xi, \psi\) de un parámetro \(t\) para definir bien una curva, si esas funciones definen "coordenadas de punto"
\[
\begin{aligned}
x & = \phi(t) \\
y & = \xi(t) \\
z & = \psi(t)
\end{aligned}
\]
o bien una superficie desarrollable si definen "coordenadas de plano"
\[
\begin{aligned}
u & = \phi(t) \\
v & = \xi(t) \\
w & = \psi(t)
\end{aligned}
\]

Plücker generalizó la idea de considerar como coordenadas de una configuración geométrica las constantes que intervienen en su expresión analítica, investigando el significado de las ecuaciones entre ellas. Por ejemplo, en el espacio una recta puede darse mediante dos ecuaciones
\[
x = r z + \rho \ \ \ , \ \ \ y = s z + \sigma
\]
con las cuatro constantes o coordenadas de la línea en el espacio \((r,s,\rho,\sigma)\) describiendo \(\infty^4\) elementos. Una relación entre ellas de la forma \(f(r,s,\rho,\sigma)=0\) selecciona de entre los \(\infty^4\) elementos una triple infinidad, que Plücker llama un complejo de líneas, siendo el ejemplo más sencillo el complejo lineal si la relación dada por \(f\) es lineal. Con dos relaciones \(f=0, \ g=0\) se define una congruencia de líneas o sistema de rayos. Con tres, \(f=0, \ g=0 \ , h=0\) se determina una familia simplemente infinita de líneas rectas que forman una superficie reglada.

No, no es para leérselo de corrido.

miércoles, 8 de mayo de 2013

EMAS Geometry 1 - Configuraciones Geométricas Simples

Siguiendo con la entrada anterior sobre la obra de Felix Klein "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", entraré en algún detalle de la primera parte.

Klein aborda la geometría en forma analítica y general. Emplea coordenadas rectangulares para los puntos de un espacio de dos, tres, ..., o \(n\) dimensiones. Empezará con el plano y luego seguirá con el espacio tridimensional, pero aplicando un principio general atribuido a Grassmann . Se trata de emplear expresiones analíticas, basadas en las coordenadas de puntos, que tengan significado geométrico. La "receta" del principio de Grassmann se ve mejor en el caso más simple, un espacio bidimensional, el plano. Elegido un origen y un sistema rectangular de coordenadas, cada punto viene dado por dos coordenadas. Apliquemos la receta al caso en que elegimos dos puntos (dos como la dimensión del espacio considerado) el punto 1 \( (x_1,y_1)  \) y el punto 2 \(  (x_2,y_2) \). Se forma una matriz con tantas filas como puntos, y con tantas columnas como las coordenadas de cada punto, más una columna adicional de unos:
\[
\begin{pmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1
\end{pmatrix}
\]
A partir de esa matriz formamos todos los determinantes que se obtienen al eliminar una de las columnas.
\[
\begin{aligned}
Y  & =
\begin{vmatrix}
y_1 & 1_{\ } \\
y_2 & 1_{\ }
\end{vmatrix} = y_1 - y_2
\\
X & =
\begin{vmatrix}
x_1 & 1_{\ } \\
x_2 & 1_{\ }
\end{vmatrix} = x_1 - x_2
\\
N & =
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1
\end{aligned}
\]
Resulta que estas expresiones analíticas, estos números, \( Y, X, N \) , tienen un significado geométrico que desvela Klein, enfatizando que la existencia de un signo para el valor numérico dota de mayor calado a los elementos geométricos obtenidos que cuando estos se miran desde un punto de vista "clásico", digamos que de geometría a la Griega. La siguiente figura (basada en la figura 31 de EMAS Geometry) visualiza el significado geométrico.

\(X\) e \(Y\)son las proyecciones sobre el eje \(x\) y el eje \(y\) del segmento definido por los puntos \(1\) y \(2\) con la dirección del punto \(2\) al punto \(1\). En la figura \(X\) es negativo e \(Y\) positivo.
\(N\) representa el doble del área del triángulo definido por los puntos \(0, 1, 2\) recorrido en ese orden. En la figura \(N\) es negativo de acuerdo al convenio usual. Los tres valores numéricos \(Y, X, N\) se obtienen partiendo de dos puntos \(1\) y \(2\) , dados por cuatro coordenadas, lo que indica un grado de libertad de más. ¿Cuándo diferentes pares de puntos dan lugar a la misma terna numérica \(X\) , \(Y\) , \(N\) ?  Klein lo declara: "Obtenemos la misma terna de valores \(X\) , \(Y\) y \(N\) si, y sólo si, \(1\) es el punto final y \(2\) el punto inicial de un segmento, con longitud y dirección definidas, que es libre de moverse sobre una línea recta definida". Esa terna, que Grassmann denominó Linienteil (segmento de línea dirigido) se denomina ahora comúnmente vector ligado (a una recta). "Vector" sin más suele referirse a "vector libre", si el segmento puede moverse en paralelo a sí mismo. Precisamente las dos cantidades \(X\) e \(Y\) determinan un vector libre. Y las razones \(X:Y:N\) , equivalentes a dos cantidades (por ejemplo \(X:Y\) y \(Y:N\) ), determinan la línea recta, no la longitud de un segmento sobre ella.
En el lenguaje de la mecánica \(X\) e \(Y\) son las componentes de una fuerza, aplicada sobre una línea, y \(N\) es el momento de la fuerza respecto del origen, cambiado de signo.

Klein indaga en las características de estas expresiones analíticas mostrando cómo se transforman ante cuatro tipos de transformaciones de coordenadas:
Traslaciones:
\[
\begin{aligned}
x' & = x + a \\
y' & = y + b
\end{aligned}
\]
Rotaciones en torno al origen de coordenadas:
\[
\begin{aligned}
x' & = x \cos \phi + y \sin \phi \\
y' & = -x \sin \phi + y \cos \phi
\end{aligned}
\]
Reflexión en el eje \(x\):
\[
\begin{aligned}
x' & = x \\
y' & = -y
\end{aligned}
\]
Cambio en la unidad de medida en un factor \( \lambda \)
\[
\begin{aligned}
x' &= \lambda x ;\\
y' &= \lambda y
\end{aligned}
\]
Se adopta un punto de vista "pasivo". Los puntos \(1\) y \(2\) son los mismos, pero se cambian los ejes coordenados (su origen, orientación o escala) para determinar sus nuevas coordenadas \( (x'_1,y'_1) \) y \( (x'_2,y'_2) \). Hay que relacionar entonces los "nuevos" valores \( X', Y', N' \) con los "viejos".
Traslaciones:
\[
\begin{aligned}
X' &= X \\
Y' &= Y \\
N' &= N + b X - a Y
\end{aligned}
\]
Rotaciones en torno al origen de coordenadas:
\[
\begin{aligned}
X' & = X \cos \phi + Y \sin \phi \\
Y' & = -X \sin \phi + Y \cos \phi \\
N' &= N
\end{aligned}
\]
Reflexión en el eje \(x\):
\[
\begin{aligned}
X' &= X \\
Y' &= -Y \\
N' &= -N
\end{aligned}
\]
Cambio en la unidad de medida:
\[
\begin{aligned}
X' &= \lambda X \\
Y' &= \lambda Y \\
N' &= \lambda^2 N
\end{aligned}
\]
Vemos que \(X',Y',N'\) se expresan en todos los casos en función sólo de \(X, Y, N\) , luego esta terna forma una configuración geométrica, que corresponde al vector ligado. También vemos que \(X',Y'\) se expresan sólo en función de \(X,Y\) , por lo que determinan una configuración independiente del sistema de coordenadas, la de vector libre. No cambia en las traslaciones, y en el resto de transformaciones cambia como las coordenadas.
La forma homogénea en que se expresa la terna \(X',Y',N'\) en función de \(X,Y,N\) hace que las razones \(X':Y':N'\) dependan sólo de las razones \(X:Y:N\), con lo que tenemos otra configuración geométrica, la línea recta.
Para el caso específico del par de fuerzas, resulta que para traslaciones y rotaciones \(N'=N\) , para reflexión \(N'=-N\) y para cambio de unidad \(N'=\lambda^2 N\) , lo que puede llamarse un invariante, al no cambiar salvo un factor. En este caso el invariante es relativo, en vez de absoluto, al ser el factor diferente de la unidad. Klein muestra que el área de un triángulo se transforma en los cuatro tipos de transformaciones precisamente como el par de fuerzas, por lo que estas dos magnitudes son geométricamente equivalentes. Si en un sistema de coordenadas relacionamos un par de fuerzas con el área de una figura plana, esta relación se mantiene tras un cambio de coordenadas, pues ambas magnitudes se transforman de la misma manera.

Todo lo anterior es un ejemplo concreto, en el plano, de dos principios generales que enuncia Klein aproximadamente así:
  • Las propiedades geométricas de cualesquiera figuras deben ser expresables mediante fórmulas que no se modifican cuando se cambia el sistema de coordenadas. Recíprocamente, cualquier fórmula que, en este sentido, es invariante bajo el grupo de estas transformaciones de coordenadas debe representar una propiedad geométrica.
  • Dado un sistema de magnitudes analíticas que emplean las coordenadas de puntos 1, 2, ... , si el sistema de magnitudes formado a partir de las coordenadas "nuevas" de esos puntos se expresa exclusivamente en términos de las expresiones formadas a partir de las coordenadas "viejas", sin que aparezcan explícitamente las coordenadas mismas, entonces decimos que el sistema define una nueva configuración geométrica, es decir, independiente del sistema de coordenadas. De hecho, clasificaremos todas las expresiones analíticas de acuerdo al comportamiento bajo transformaciones de coordenadas, y definiremos como geométricamente equivalentes dos series de expresiones que se transformen de la misma forma.
Estos principios se ejercitan al pasar al espacio tridimensional y hacer Klein un desarrollo similar al del plano, pero más profuso, que tres dimensiones dan más de sí que dos. Usando la "receta" de Grassmann aplicada a conjuntos de dos, de tres y de cuatro puntos (ahora cada uno con 3 coordenadas), Klein define once expresiones analíticas y su comportamiento frente a cambios de coordenadas. 
Con dos puntos:

Con tres puntos:
determinando estas cuatro expresiones lo que puede llamarse segmento-de-plano o magnitud-de-plano.

Con cuatro puntos se tiene el "espato", denominación original de Grassmann, seis veces el "volumen" (con signo) del tetraedro formado por los cuatro puntos 1, 2, 3 y 4 en ese orden:

El comportamiento frente a cambios de coordenadas se resume en esta tabla

Un escalar de primera clase, o escalar sin más, es aquella magnitud numérica que no cambia con ninguna de las transformaciones citadas, salvo el cambio de unidad, mientras que el escalar de segunda clase cambia su signo con la inversión.

Llegamos así a un punto de interés histórico, pues Klein presenta otra nomenclatura derivada de los trabajos de Hamilton. Este fue quien introdujo el término "vector" para nuestro "vector libre", pero sin manejar el concepto de vector ligado, ni la distinción entre vector libre y magnitud-de-plano, pues no contempló como transformaciones la inversión ni el cambio de unidad. Más tarde al contemplar el efecto de una inversión se distinguió entre  "vector polar", con cambio de signo, y "vector axial", sin cambio de signo tras una inversión. Esta distinción se da también para los escalares, de segunda clase si cambian de signo, de primera si no lo hacen. Diversas combinaciones de las magnitudes sencillas tendrán distintos comportamientos. El producto escalar de dos vectores polares es un escalar de primera clase. Las componentes de tres vectores polares forman un determinante que es un escalar de segunda clase. 

Klein da a entender que el desarrollo del álgebra vectorial originado en Hamilton, que caló en la física gracias a Maxwell y sobre todo a Heaviside y J. W. Gibbs, era algo más "pobre" que el manejado por Grassmann, al ignorar diferencias que en este segundo caso eran patentes. Grassmann estudió en su "Lineale Ausdehnungslehre" la teoría de invariantes del grupo de transformaciones afines que dejan el origen fijo. Hamilton se limitó al grupo ortogonal. En ese ámbito son equivalentes vector polar y axial, o magnitud-de-plano. Grassmann en su "Vollständige Ausdehnungslehere" se limitó al grupo ortogonal, y representó la magnitud-de-plano libre mediante un vector, que llamó el complemento de la magnitud-de-plano, y corresponde a lo que en física se llama producto vectorial.

Estas pinceladas de las primeras cincuenta páginas pueden dar una idea del carácter "Elemental" y a la vez "Avanzado" de la obra que nos ocupa. Y eso que ni he mencionado cómo explica Klein la base matemática del funcionamiento del Planímetro Polar de Amsler. Apabullante.

viernes, 3 de mayo de 2013

Felix Klein EMAS Geometry

Andando últimamente a vueltas con la geometría, al fin he concluido la impresionante obra de Felix Klein "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" en edición de Dover. Es un segundo volumen tras el "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic Algebra Analysis".

Estas versiones inglesas derivan de la tercera edición de las "Elementarmathematik vom höheren Standpuntke aus" de Felix Klein, publicada en tres volúmenes por J. Springer entre 1924 y 1928. En el archivo de internet pueden encontrarse versiones en alemán con el original de puño y letra del propio Klein.

En español hay una traducción de estos dos volúmenes en la década de 1930, y en época más reciente,
junio de 2006, la editorial Nivola publicó el primer volumen, "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética. Álgebra. Análisis"  en el volumen nº 15 de la colección Ciencia Abierta. El nº 16 de esa colección está asignado al volumen sobre Geometría, pero a principios de 2013 aún no se había publicado.
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ACTUALIZACIÓN IMPORTANTE.
Tras varios días de publicar esta entrada, y de  lanzar unas cuantas entradas más sobre esta obra, buscando información sobre un tal Polhke, lo que son las cosas y los buscadores, he llegado a... que están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. ¡Albricias! Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla. Parece que estas traducciones son de una versión del original alemán de 1908, luego tendrán algunas diferencias respecto a las ediciones indicadas antes.
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Por tanto, como no entiendo bien la letra de Klein y no tengo ni idea de alemán, he empleado la versión inglesa de Dover, editorial a la que no se podrá elogiar nunca lo suficiente por la extensa oferta de excelentes obras a precios muy asequibles, y con ediciones muy dignas en cuanto a calidad de la encuadernación,  tipografía e ilustraciones. Dover, I really love you.


Felix Klein siempre tuvo un interés en la pedagogía de las matemáticas, y esta obra iba dirigida a maestros de escuelas de bachillerato. Era una audiencia bien formada, a la que no se pretendía enseñar los temas tratados, sino dar una visión amplia de la matemática, que pudiese beneficiar a su propia docencia. En el primer volumen está más presente la orientación pedagógica en aspectos concretos. En el segundo prevalece ante todo el ideal enciclopédico, ofrecer una visión global de la geometría, mostrando las interrelaciones entre sus partes y el desarrollo histórico "reciente", en el siglo XIX.

El "punto de vista superior (o avanzado)" del título hay que tomarlo completamente en serio. Indica que, no siendo un libro de texto, tampoco es divulgativo, ni fácil; es denso en contenido y su "digestión" requiere ciertos conocimientos previos, tiempo y esfuerzo. Y muy posiblemente descansos, e idas y venidas, pues al final las distintas partes están completamente relacionadas, y hay que alternar el acercamiento de cada parte por separado, con la distancia de ver la obra en su conjunto, lo que solo se consigue al alcanzar el tramo final.

En la introducción Felix Klein aboga por una presentación de la geometría en fusión con la aritmética, en su acepción más amplia e inclusiva del álgebra y el análisis. También aboga por superar la forma tradicional de enseñar por un lado la geometría del plano y por otro la del espacio, de forma un tanto independiente. Precisamente una de las aportaciones de la aritmética a la geometría es la generalización dimensional de la geometría, conjugar en un edificio único la geometría de una, dos, tres... y de un número arbitrario de n dimensiones, terreno éste en el que la intuición visual pierde pie.

El volumen sobre Geometría se divide en tres partes:

1. Las Variedades Geométricas más Simples.
  • Segmento de Línea, Área, Volumen como Magnitudes Relativas
  • El Principio del Determinante de Grassmann para el Plano
  • El Principio de Grassmann para el Espacio
  • Clasificación de las Configuraciones Elementales del Espacio de acuerdo a su Comportamiento bajo Transformaciones de Coordenadas Rectangulares
  • Variedades Derivadas

2. Transformaciones Geométricas.
  • Transformaciones Afines
  • Transformaciones Proyectivas
  • Transformaciones Puntuales Superiores
  • Transformaciones con Cambio del Elemento Espacial
  • Teoría de lo Imaginario

3. Discusión Sistemática de la Geometría y sus Fundamentos.
  • Discusión Sistemática
    • Repaso a la Estructura de la Geometría
    • Digresión sobre la Teoría de Invariantes de Sustituciones Lineales
    • Aplicación de la Teoría de Invariantes a la Geometría
    • Sistematización de las Geometrías Afín y Métrica en Base al Principio de Cayley
  • Fundamentos de la Geometría
    • Desarrollo de la Geometría Plana con Énfasis en los Movimientos
    • Otro Desarrollo de la Geometría Métrica - el Rol del Axioma de las Paralelas 
    • Los Elementos de Euclides

Rasgos principales del tratamiento de Klein en esta obra son:

  • Usa plenamente el aparato analítico para desarrollar la geometría, pero sin olvidar nunca la interpretación geométrica ("visual") de las expresiones analíticas. 
  • Emplea la idea de transformaciones para definir como elementos geométricos aquellos expresados mediante combinaciones analíticas que se transforman entre sí.
  • Generalidad respecto al número de dimensiones, usando la senda trazada por Grassmann.
  • Relaciona entre si los distintos tipos de transformaciones, afines, proyectivas, por radios inversos, dualísticas (polo-polar), de contacto. 
  • Realza el lugar preferente de la geometría proyectiva; la importancia de la dualidad, de considerar como conceptos igual de "elementales" el punto y la recta en el plano, o el punto y el plano en el espacio; la relación polo-polar; el papel especial de las curvas cónicas. 
  • Expone la importancia y significado de los "elementos infinitamente distantes".
  • Usa y explica el papel de las coordenadas homogéneas.
  • Aborda la "teoría de lo imaginario", cómo emplear en la maquinaria analítica los números complejos, y dar significado geométrico al resultado.  
  • Valiosos aportes de carácter histórico en cuanto a los protagonistas del  desarrollo de la geometría en el siglo XIX.
  • Aborda la teoría de invariantes de sustituciones lineales, y su aplicación a la geometría en el marco del principio de Cayley, para llegar a comprender qué significan las palabras de éste "la geometría proyectiva es toda la geometría", y sistematizar en ese marco conceptual las geometrías afín y métrica. 
  • Repasa modos alternativos de plantear el desarrollo fundacional de la geometría.
  • Discute el significado del postulado de las paralelas y de las geometrías no euclideas.
  • Y acaba Klein con un repaso crítico de la primera obra, los Elementos de Euclides.
En fin, una obra impresionante, única, de autor. Según la preparación de cada uno resultará más o menos ardua, pero preparación y ganas se necesitan. Yo fui más o menos bien en la primera parte y casi toda la segunda parte, pero al llegar a la teoría de lo imaginario me tomé unas vacaciones. Y en la tercera y última parte hay que ir especialmente con cuidado, repasando lo que hemos dejado atrás, releyendo, dando vueltas a qué nos quiere decir don Felix. Pero puede llegarse a apreciar el principio de Cayley, que Klein expresa así
la geometría afín, o la geometría métrica, surgen de la geometría proyectiva cuando adjuntamos a la variedad dada el plano en el infinito \( \tau=0 \), o este plano junto con el círculo esférico imaginario \( \tau=0, \xi^2+\eta^2+\zeta^2=0 \), respectivamente.
Pero aún pareciendo que esta subida se hace larga, y crece el agotamiento, y falta el aire, también se vislumbran paisajes espléndidos, caminos confluyentes, aromas únicos, susurros de gigantes desde tiempos legendarios.