¿Es la fuerza un vector o una 1-forma?

He dado con la pregunta en el libro "Explorations in Mahematical Physics. The concepts behind an elegant language" de Don Koks, que sigue (traducido) así:

Las 1-formas no son absolutamente necesarias en física, e insistir en su uso cuando esta presente una métrica puede dar lugar a problemas de interpretación. Un ejemplo es el del cálculo del trabajo infinitesimal dW realizado por una fuerza F que acelera una masa m a lo largo de un desplazamiento infinitesimal dr. Escrito como dW=F.dr, a veces se interpreta que la fuerza es una 1-forma que se combina con, o actua sobre, el vector dr para producir el escalar dW. Pero entonces, como Newton nos dice que F=ma, y la aceleración es un vector (derivado del vector dr), podemos concluir que la fuerza es un vector. De modo que la fuerza ¿es un vector o una 1-forma?
Para nosotros la pregunta no surge, pues siempre tomamos el punto de vista pragmático de que existe una métrica, y sólo hay vectores. Al fin y al cabo, ¡todo laboratorio tiene al menos una regla! Los físicos miden cosas, de modo que la métrica es un lugar natural donde empezar. Además, eventualmente siempre se introduce una métrica en cualquier libro de texto sobre teoría tensorial en física, y esta métrica tiene entonces el efecto de hacer la idea de 1-formas superflua.

Esto en esencia coincide con lo que recuerdo de mis lejanos tiempos de estudiante. No recuerdo haber oído hablar de 1-formas, al menos con ese nombre, pero sí de vectores y tensores. En general todas esas cosas con pinta de magnitud dirigida y semejantes a flechas, eran vectores. El trabajo era un escalar, el producto escalar de dos vectores, vector fuerza y vector desplazamiento, multiplicando sus magnitudes por el coseno del angulo que forman.

El trabajo "elemental" dW (escalar) producido por la fuerza F (vector) al desplazarse la partícula un desplazamiento infinitesimal dr (vector) era dW=F.dr, que empleando las coordenadas cartesianas de ambos vectores quedaba así: dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz

La cosa se complicaba algo cuando uno empezaba a hablar de componentes contravariantes, las "normales de toda la vida", y las covariantes, que se transformaban de otro modo. Se adoptaba una nomenclatura de índices arriba para las componentes contravariantes e índices abajo para las covariantes. Se podía pasar de una versión a otra subiendo y bajando índices con el tensor métrico y su inverso, y además en los casos sencillos ambas componentes de una y otra versión coincidían. Esto se generalizaba a los tensores. Además se usaba el convenio de sumación de Einstein. Pero no recuerdo haber tratado con las formas diferenciales o los tensores antisimétricos, aunque sí haber recibido demasiado pronto la versión tensorial de las ecuaciones de Maxwell y no saber por dónde me daba el aire.

Más recientemente he leído cosas de formas diferenciales y hay una tendencia a emplear cada vez más ese lenguaje, que algunos consideran más potente. Parece que desde el punto de vista matemático esa mayor potencia se traduce en que todos los teoremas usuales de integrales de línea, superficie y volumen en R3 pueden generalizarse y expresarse concisamente empleando el lenguaje de las formas, y demostrarse válidos aún sin necesidad de métrica. Y en un libro como “Clasical dynamics. A contemporary approach” de José y Saletan, se formula la mecánica clásica introduciendo las variedades diferenciales, el fibrado tangente (formado por vectores) y el fibrado cotangente (formado por 1-formas). La formulación Lagrangiana "actúa" en el fibrado tangente, mientras la Hamiltoniana "actúa" en el fibrado cotangente.

Así pues aunque normalmente podamos vivir sólo con vectores y nuestra regla, en aplicaciones avanzadas conviene poder distinguir vectores y 1-formas. Después de todo no es tan complicado :-).

Si se parte de un espacio vectorial V, a cuyos elementos llamamos vectores, como v, resulta que siempre se puede definir otro espacio vectorial llamado dual del anterior y denotado por V*, a cuyos elementos se les llama 1-formas e, porque son funciones e:V → R que a cada vector v de V le asocian un escalar e(v), de ahí lo de "forma", y el 1- porque sólo hay un vector como argumento. Una 2-forma sería una función bilineal de VxV → R, y antisimétrica respecto al intercambio de los dos factores.

En V puedo elegir una base y expresar cualquier vector v por sus componentes respecto a la misma. A esas componentes se las denomina contravariantes porque varían de cierto modo al cambiar de base.

A partir de cualquier base B de V se puede definir una base dual B* en V* de un modo tal que usando las componentes (v1,...,vn) de v respecto a B, y las (e1,...,en) de e respecto a B*, se pueda poner para todo v de V y todo e de V* que
e(v)=v1 e1+...+vn en

Las componentes (e1,...,en) se denominan covariantes porque varían de otro cierto modo al cambiar de base en V (sí, en V, no V*), modo un tanto contrario o inverso a cómo varían las componentes de v. De ahí la nomenclatura co- y contra- para significar los dos diferentes modos de variar al cambiar de base en V.

El cambio de una base B a otra B' en V lleva aparejado un cambio de la base B* a otra B'* (NO se considera un cambio de base en V* que sea independiente del realizado en V). Precisamente la forma “contraria” con la que cambian los v1,...,vn por un lado y los e1,...,en por otro, es tal que los dos productos dan un mismo escalar:
e(v)=v1 e1+...+vn en=v'1 e'1+...+v'n e'n
pues el valor de la función e sobre el vector v no depende de la base de V empleada.

¡Vaya!, esto es como un producto escalar de vectores pero usando ahora un vector y una 1-forma.

Entonces podría interpretar que dr es un vector infinitesimal, diferencia de dos vectores posición muy próximos, con componentes (dx, dy, dz) respecto de una base cartesiana {i,j,k}, y la fuerza F una 1-forma de componentes (Fx, Fy, Fz) respecto a la base dual {i*,j*,k*}. Su producto es el escalar dW, el trabajo infinitesimal.

Claro que podría ser al revés, F es un vector de componentes (Fx,Fy,Fz) y la 1-forma es dr con componentes (dx, dy, dz), y de nuevo dW un escalar. Al leer sobre formas diferenciales no es raro encontrar que dx es una 1-forma.

Pero también he visto por algún lado que una forma diferencial es algo como ¡dW! A ver si dW no es un escalar sino que es una 1-forma, que al integrar sobre cierto camino me da el trabajo del campo de fuerza, que no es sino la diferencia de la energía potencial (función escalar ) evaluada entre el punto inicial y el final del camino.

En fin, hay varias opciones:

1) F vector, dr vector, dW escalar sacado de F y dr con el producto escalar.
2) F 1-forma, dr vector, dW escalar igual a F(dr)
3) F vector, dr 1-forma, dW escalar igual a dr(F)
4) dW 1-forma, de componentes (Fx,Fy,Fz) respecto a una base B* de V* cuyas 1-formas base son dx, dy y dz, que ellas mismas son 1-formas, no componentes de vectores ni componentes de 1-formas.

No me extraña que Don Koks se quede con la regla y los vectores, y fuera líos, porque si no de las 4 posibilidades ¿cual es la buena?

Me atrevería osadamente a decir, con la regla en la mano, que ... todas.

La 1) es la más clásica y de toda la vida. F y dr son vectores, cogemos un sistema de referencia cartesiano con vectores básicos ortonormales de modo que F=Fx i + Fy j + Fz k, y dr=dx i + dy j+ dz k, y dW es su producto escalar.

La 2) y la 3) pueden valer si usamos la métrica, pues entonces hay una correspondencia unívoca entre los vectores v de V y las 1-formas e de V*: cada vector tiene un alter ego en forma de 1-forma, y viceversa. Esto nos puede fallar si perdemos la métrica, pero teniendo siempre una regla a mano no hay problema.

La 4) si que es un poco más rara, pero puede entenderse si consideramos que aquí dW, dx, dy y dz no indican un escalar, ni un incremento infinitesimal, sino funciones. Concretamente dx es la función que para cada vector v nos da el valor de su primera componente, la que multiplica al vector base i. Este si que es un lío de notación, pues uso signos idénticos para cosas muy diferentes. Incluso podría poner una igualdad como dx(dr)=dx en que la primera dx es una 1-forma, dr es el vector de componentes (dx,dy,dz) y este último dx, que aparece en el segundo miembro de la igualdad, un número indicando la componente x del vector dr.

En este caso para no confundirse habría que expresar las componentes del vector dr de otro modo, por ejemplo como (dr1, dr2, dr3). Entonces dx, dy y dz son 1-formas, y como pueden multiplicarse por escalares y sumarse, pues las 1-formas tienen estructura de espacio vectorial, resulta que
Fx dx + Fy dy + Fz dz
es una 1-forma, que aplicada a dr da precisamente
{Fx dx + Fy dy + Fz dz}(dr)=Fx dx(dr) + Fy dy(dr) + Fz dz(dr) =
Fx dr1 + Fy dr2 + Fz dr3.

Puede decirse que dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz es una 1-forma que representa una fuerza en un punto y permite calcular el trabajo de la misma para cualquier desplazamiento dr pequeño alrededor del mismo. Si la fuerza fuese constante, igual en todo punto, esa forma nos serviría para calcular el trabajo de ese campo de fuerza constante entre dos puntos cualesquiera ra y rb, aplicando dW al vector rb-ra. El trabajo sería pues dW(rb-ra). Este sería un caso de campo conservativo y podríamos ver la situación “al revés”, considerando la función “menos energía potencial” W, que asigna un escalar W(r) a todo punto r.

Resulta que una función escalar W es, por definición, una 0-forma, y su derivada es ... una 1-forma, designada por dW. En este caso la d a la izquierda de W significa “diferencial (o derivada) exterior de”.

Pero hay una sutileza. Al hablar de V y V*, de v y e, y tomar Fx, Fy, Fz como escalares, se adopta un punto de vista local, de un punto concreto ra: los vectores de V y las 1-formas de V* son locales, ligados al punto ra. Cogiendo en cada punto un vector “local” se llega a la idea de campo vectorial. Cogiendo en cada punto una 1-forma “local” se llega a la idea de forma diferencial, que podría ponerse como algo así

dW(r)=Fx(r) dx(r) + Fy(r) dy(r) +Fz(r) dz(r)

Ahora Fx(r), Fy(r) y Fz(r) son tres funciones escalares definidas para cada r, y tanto dW(r) como dx(r), dy(r) y dz(r) son formas diferenciales. Lo normal es ver esto puesto así
dW=Fx(r) dx + Fy(r) dy +Fz(r) dz
mostrando sólo la dependencia de r de las Fx, Fy y Fz. En este caso ya se sobreentiende que por ejemplo dx no es una 1-forma "puntual", sino una forma diferencial, que lleva implícitas una 1-forma dx "local" en cada punto. Las formas diferenciales dx, dy, dz sirven de base para expresar la más general dW usando funciones escalares como coeficientes o componentes en vez de simples escalares sin más.

Por cierto, la forma diferencial dx es la diferencial de la función escalar x. Sí, aquí x más que como variable o valor escalar se entiende como función que a cada punto r le asigna el valor de su primera coordenada. De nuevo podríamos poner algo como x(r)=x donde el significado de la x en cada caso es diferente.

Las formas diferenciales trabajan a escala global, no puntual. Dada una función escalar como la “menos energía potencial” W(r), su diferencial es una forma diferencial que tiene como componentes las derivadas parciales (denotando la parcial respecto a x por ",x"):
W,x(r)=Fx(r) ; W,y(r)=Fy(r) ; W,z(r)=Fz(r).

Es decir

dW(r)=W,x(r) dx + W,y(r) dy +W,z(r) dz

como nos decía el análisis de siempre aunque sin llamar a dx forma diferencial.

La claridad de todo lo referido a tensores, formas diferenciales y demás se puede palpar en el artículo de la wikipedia inglesa sobre covariancia y contravariancia de vectores, y en su página de discusión.

Saber si la fuerza es un vector o una 1-forma no lo sabremos, pero es seguro que para alcanzar el conocimiento nos deberá acompañar. Mucho.

lecturas de verano

Aprovechando las vacaciones estivales en la aventada playa de la Barrosa, he leído un par de novelas recomendables.

"El asombroso viaje de Pomponio Flato", de Eduardo Mendoza, es de lectura ligera y agradable, tanto por la corta extensión del libro como por el humor que rezuman las peripecias poco detectivescas del romano Pomponio, contratado por el niño Jesús para exculpar a su padre José de la acusación de asesinato. La única pega a tal brevedad es que dura a lo sumo un día de vacaciones.

Algo más extenso y con más enjundia es "La elegancia del erizo" de Muriel Barbery. Una incursión en la especificidad individual llevada en secreto y los problemas que ello comporta en el día a día del trato social con los demás y en el sentido de la vida. Las dos protagonistas a las que escuchamos alternativamente son una portera de inmueble de ricos, y una adolescente despierta y reflexiva, ambas ocultas en su verdadero yo a los ojos ajenos. Claro que siempre hay alguien que puede descubrir la tapadera.

Si las vacaciones se prolongan tras acabar un par de novelas como las anteriores, siempre se puede recurrir a libros que no se acaban, de lectura no tan ligera aunque puedan resultar también interesantes, como "Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences". La primera parte, con descripciones cualitativas y gran número de figuras, es "asequible".
En esencia se presenta la idea de oscilador autosostenido, la caracterización de su frecuencia y fase, y el hecho de que ambas pueden ser "atrapadas" y fijadas por el ritmo que marque una fuerza periódica externa u otro oscilador semejante que interactúe con el primero.
Precisamente el primer ejemplo de este fenómeno es el descubriminto por Huygens de la sincronización de dos relojes de péndulo colgados de dos vigas apoyadas en un soporte común.
En un apéndice del libro se incluye un extracto de una carta de Christiaan Huygens a su padre refiriendo su hallazgo, y otro con sus observaciones y experimentos para dar con la causa del fenómeno:

Mientras me vi obligado a guardar cama por unos días hice observaciones de mis nuevos relojes y me percaté de un maravilloso fenómeno que nadie hubiera imaginado. Los dos relojes, colgados uno al lado del otro a una distancia entre uno y dos pies, mantenían su marcha acompasada con una precisión tan grande que los dos péndulos oscilaban siempre a la vez. Mientras me admiraba de esto, al final encontré que ello ocurría por una especie de simpatía: cuando les hacía mover a distinta marcha, al cabo de una media hora siempre volvían a sincronizarse y mantenerse así mientras yo no interviniese.
...
Nunca antes han podido otros relojes hacer algo semejante como los de mi nueva invención, y de esto puede uno ver lo precisos que son, pues algo tan pequeño basta para mantenerlos en eterno acuerdo.

En efecto Huygens dedujo que la simpatía se debía a la interacción de ambos relojes a través del soporte común que compartían, cuyo movimiento era imperceptible. Que tal diminuta interacción permitiera la sincronización era posible por la gran proximidad de las frecuencias características de cada uno de los relojes.

El libro explica que la sincronización depende de dos factores principales: la intensidad de la interacción entre osciladores (o de la fuerza externa aplicada), y la diferencia de frecuencias (detuning). Para una interacción dada, la sincronización se pierde si las frecuencias "naturales" de cada oscilador son demasiado diferentes. Las explicaciones se van complicando al tratar factores adicionales como la presencia de ruido, o los sistemas caóticos. Y en el camino nos encontramos con un exponente de Lyapunov nulo, con lenguas de Arnold y con escaleras del diablo.

Todo ello explicado con numerosos ejemplos de la física, la biología o la química, pero sin matemáticas, en las primeras 170 páginas (la parte "asequible"), y con detalle matemático a continuación. Entonces ya es mejor refrescar los conceptos sobre sistemas dinámicos no lineales, y dejarlo para después de las vacaciones.

Ronsard

En medio del benéfico agua de mayo elevemos el ánimo con Pierre y su María. Es difícil explicar porqué algo te hace gracia, la suficiente para encontrar la sonrisa, pero así me pasa con algunas de las poesías de Ronsard (con la meritoria e inestimable tarea del traductor Carlos Pujol). Lo que no significa que carezcan de enjundia y hondura, claro, y de su lado trágico.

Aquí tenemos toda una declaración de principios, honesta y expresa

Me reñís , oh María, y soléis reprocharme
el que sea tan versátil, sin dejar de añadir
cuando a vos me aproximo: Retornad a Casandra.
¡Me llamáis tantas veces inconstante en amores!

La inconstancia me gusta. Toscos son esos hombres
a los que un nuevo amor no conquista jamás;
el que terco no quiere tener más que una amada
no merece que Venus se le muestre benigna.

El que nuevos amores no se atreve a buscar
pues le falta valor o le falta cerebro,
es que cree que no puede tener algo mejor.

Los enfermos o aquellos que la edad ha vencido
la constancia practican, pero necio es el joven
que avisado no ponga sus amores en muchas.

Pero la "versatilidad" no impide la entrega en cada ocasión que se presente, ni el encomiable empeño docente

Levantaos, María, mi pequeña holgazana,
que ya canta la alondra su alegría en el cielo,
y en su dulce lenguaje oigo que el ruiseñor
entre espinos proclama su amorosa querella.

¡En pie! Vamos a ver el rocío en la hierba
y el rosal coronado por los nuevos capullos,
y los bellos claveles a los cuales anoche
disteis agua con mano cuidadosa y solícita.

¿Recordáis cómo anoche me jurasteis segura
que hoy mucho antes que yo estaríais despierta?
Pero al sueño del alba las doncellas se rinden

y os mantiene los párpados dulcemente sellados.
Besaré vuestros ojos y estos bellos pezones
para ver si os enseño como yo a madrugar.

Mas fugaz es la dicha, efímera la lozanía, breve la vida

Aquí duermen los huesos de la bella María,
la que me hizo dejar Vendomois por Anjou,
que en mi edad más ardiente prendió fuego a mi sangre,
la que fuera mi bien, mi esperanza y deseo.

En su tumba reposan gentileza y honor,
y la joven beldad que llevaba en mi pecho,
y la llama de amor y su aljaba y sus flechas,
todo mi corazón, mi cordura y mi vida.

Eres, bella angevina, una estrella en el cielo,
extasiados los ángeles en tus ojos se miran,
y te añora la tierra, oh belleza sin par.

La que vive eres tú, y yo he muerto de pena.
¡Ay del que su esperanza haya puesto en amigos,
porque tres me engañaron: tú, el Amor y este mundo!

Qué grande Ronsard.

El láser

Este 16 de mayo el buscador Google presenta una de esas imágenes conmemorativas, recordando que tal día de 1960 se presentó el primer láser operativo. En la mayoría de los casos los resultados científicos son bastante ajenos al discurrir cotidiano, como ocurre con el importante descubrimiento astronómico que el otro día desvelaba la NASA, el hallazgo de los restos de la supernova más reciente de nuestra galaxia.

Pero hay resultados científicos que impactan de lleno en la vida cotidiana, tan intensamente como para olvidar qué hay detrás. La electricidad es quizá el ejemplo más claro: iluminación, refrigeración y calefacción, transporte, comunicaciones (incluyendo la televisión y los móviles), etc. Cuando nos falta la electricidad tenemos serios problemas. Es casi el elemento más necesario, aparte de los nutrientes biológicamente imprescindibles, entre los que ocupa el primer lugar el agua, ¡ah! precioso tesoro. Uno puede imaginar el futuro sin combustibles fósiles, pero no sin electricidad. Tampoco sin agua.

Pero hay mucha infraestructura científica, por ejemplo la que da soporte al mundo actual de electrónica de consumo, de la que vivimos ajenos. Que los discos duros aumenten más y más su capacidad es algo como natural, ocurre "mágicamente". Es la magia de, por ejemplo, la magnetorresistencia gigante, que estudiaron no hace mucho los receptores del premio nobel de física del año 2007.

Y una de las mejores magias del siglo pasado resultó ser la de esa luz intensa, concentrada, monocolor, que ya en dispositivos diminutos, ya en voluminosos aparatos, nos imprime páginas, nos opera la miopía, nos corta los patrones, nos acicala las fachadas, nos transmite por la fibra de vidrio todo tipo de datos, nos factura la cesta de la compra, o espera destrozar los satélites enemigos en órbita.

Y además lo que no trasciende en el día a día. En la investigación básica de la física y la química, y en el estudio de los materiales, el láser quizá sea el elemento más revolucionario en crear nuevas técnicas de análisis espectroscópico; también de manipulación, como el confinamiento o el enfriamiento de átomos; y de refinamientos increíbles en la metrología básica con los peines de frecuencias.

Pero esta aplicación tan generalizada hoy en día, no surgió tampoco de repente en 1960 por arte de magia instantánea. Antes del láser se consiguió el máser, que es realmente lo mismo pero en longitudes de onda más largas de las que resultan visibles a nuestros ojos. Y antes se estudiaron mucho los haces moleculares y las cavidades de radiofrecuencia. Y antes, a nivel más básico, la teoría cuántica permitió explicar con precisión el comportamiento de la luz y la materia, deduciendo que la luz la forman corpúsculos llamados fotones que tienden a comportarse muy gregariamente, por ser bosones. Tan gregariamente que si pasa un fotón cerca de un átomo excitado, hay una tendencia a que el átomo se relaje soltando esa energía de más en forma de otro fotón precisamente "clónico" del que pasaba por allí. También es de gran utilidad ese espíritu gregario para obtener el estado superconductor o los condensados de Bose-Einstein que han valido otro premio nobel.

Pero el espíritu gregario no basta. Uno puede ser muy gregario, pero vivir en el despoblado campo mesetario, o en una megalópolis con un sinfín de opciones, y no dar con nadie afín. Sin embargo si te limitas a recorrer unos pocos sitios es más fácil encontrar a esos amigos, formar un grupo, y según vas de tapas incrementar el número de integrantes de la ronda. Y si esa zona es elitista, y solo dejan pasear por ella a la gente con unas características concretas, más fácil es encontrarse en buena compañia. Bueno, pues a los fotones se les ayuda encerrándoles en una cavidad o resonador óptico. Los que no encajan se van, pero los que quedan limitan sus posibilidades de recorrido de tal manera que a la fuerza van a tener oportunidades de encontrarse con otras almas gemelas.

Claro que hay días en que vas con tu mejor espíritu gregario dando vueltas por la zona donde sólo van los tuyos y sueles encontrar alter egos, y no aparece ni uno. Y es que lo normal es llegar a casa cansado, pensando solo en relajarte y no mover un dedo, y claro, no sales. Para animarte a salir tienes que estar excitado, lleno de energía, con ganas de marcha y de encontrarte con los colegas. En el láser pasa algo parecido. En la cavidad por la que pueden circular los fotones hay un medio activo que puede emitir fotones, pero para eso tiene que estar en un estado excitado, con alguna energía sobrante, lo que no ocurre sin más. Debe conseguirse una inversión de población, que la habitual mayoría sedente se convierta en una mayoría marchosa.

Además esa energía tiene que ser la adecuada para poder crear fotones iguales a los muy selectos que pueden pulular por la cavidad. Lo que se trata de hacer para que funcione el láser es usar una bomba de energía para excitar el medio material, y que después éste se relaje emitiendo suficiente número de fotones de precisamente la clase que "encaja" en la cavidad, para que puedan encontrarse cuantas más almas gemelas mejor y consigan apandillarse. Es como repartir Red Bull para animar a la gente a salir de casa, pero repartirlo a ser posible selectívamente, a la gente del tipo adecuado para el ambiente de la zona. Por desgracia siempre habrá bastantes botes desperdiciados, pero conseguirás poner la zona a tope de fotones perfectamente sincronizados en el baile cuántico. ¡LAaaaaaSERrrr!

Bueno, lo anterior es una forma de ver las cosas que no siempre es exacta. Por ejemplo sería más adecuado decir que esa zona selectiva de bares que acogen sólo a un tipo de clientela puede ajustarse a las necesidades, poniendo la decoración y la música de rock, o de pop, o de blues, según convenga. En algunos láseres la cavidad puede variarse para sintonizar la emisión en una u otra frecuencia, incluso en cualquiera de un rango dado. También hay circunstancias en que podemos mantener las calles llenas de gente a base de Red Bull, con juerga permanente sin que cierren los garitos, lo que sería un láser de emisión continua. O bien las juergas (como ocurre en el género humano a partir de cierta edad) deben intercalarse con periodos de descanso para todos (hasta la siguiente remesa de Red Bull), como en los láseres pulsados. Cuanto mayores las juergas, más difícil el "modo continuo".

Pero con tanta juerga ¿son los bosones lo mejor? Bueno, la verdad es que tiene que haber de todo. Por ejemplo fermiones, que son la antítesis del espíritu gregario, el ejemplo palmario de comportamiento solitario y huidizo. Si los fotones fuesen fermiones no habría láser. Pero afortunadamente los electrones, como buenos fermiones, no quieren ni verse de cerca en el mismo estado, se rehuyen, marcan su territorio y forman las capas electrónicas que dan origen a todas las propiedades químicas de los átomos y moléculas. Su aceptada soledad contribuye a nuestra solidez; su sacrificado carácter esquivo, a poder besarnos.

Benditos pues, fotones y electrones, en la gracia de la magia cuántica. Láser.

A vueltas con la masa

En una reciente entrada de uno de mis blogs favoritos se hace referencia a una pregunta planteada en el New York Times, ¿un giróscopo pesa más cuando gira que cuando está quieto? En realidad se puede preguntar si el giróscopo aumenta de masa al girar, siendo el peso proporcional a la masa.

En el New York Times se responde no, no hay cambio. En el blog Sean Carroll, autor de uno de los textos recientes más valorados sobre Gravitación dice que sí. Y en el aluvión de comentarios a la entrada, entre otras divagaciones y desviaciones propias del fenómeno blog, se plantea la disyuntiva sobre el "viejo" uso y el uso "moderno" del término masa.

Digamos que en el uso "viejo" se llama masa en reposo a cierta característica de una partícula en un sistema de referencia respecto al que la partícula está en reposo. Respecto a otro sistema en que la partícula se mueva con velocidad v, se habla sin más de masa, que crece cuando lo hace la velocidad, y crece de hecho sin límite cuanto más se acerca la velocidad v a la de la luz, c.

En el uso "moderno" se prefiere usar masa siempre sin adjetivo calificativo alguno, y refiriéndose siempre a lo que en el uso "viejo" se llamaba masa en reposo. Y lo que crece sin límite al acercarse v hacia c es la energía. Las disquisiciones sobre qué uso es el mejor pueden seguir hasta el fin del universo, y más allá.

Sin ánimo de porfiar yo me atengo al uso "moderno", que emplea un sólo término y con un sentido absoluto: la masa de una partícula es el invariante relativista asociado al cuadrivector energía-momento.

Hace poco hablaba del recién fallecido John Archibald Wheeler y su libro (como coautor) Gravitation. Wheeler es un abanderado del uso "moderno" del término masa y de resaltar tanto en la Relatividad Especial como en la General la importancia esencial de lo NO relativo. Sorprendente fue descubrir que el espacio y el tiempo son "relativos", pero lo espectacular fue aclarar que no son arbitrarios sino que forman una unidad, y dan lugar conjuntamente a magnitudes físicas "absolutas", respecto de las cuales todos los observadores pueden estar de acuerdo (si no escriben respuestas a entradas de blogs).

Pues bien, Wheeler es el coautor, junto con Edwin F. Taylor de dos libros: Spacetime Physics, y Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. En el capítulo 7 de Spacetime Physics se explica lo que es el cuadrivector "Momenergía", palabro casi seguro de la cosecha de Wheeler. La energía E es la parte temporal del cuadrivector, y el momento (lineal) p es la parte espacial, con tres componentes. 1+3=4. Para una misma partícula, en diferentes sistemas de referencia en movimiento relativo se obtendrán diferentes valores de E y p, no coincidentes, pero con algo en común, la masa m que satisface



A veces por simplificar y dado que la velocidad de la luz c es constante se usa un sistema de unidades en que se iguala a la unidad, c = 1, y lo anterior queda como



En aquellos sistemas de referencia en que p es mayor, también es mayor E, lo justo para obtener la misma inalterable m. Claro que diferentes clases de partículas se caracterizan por diferentes valores de m, incluso por un valor nulo, m=0, como en el caso de los fotones, que no tienen masa pero siguen teniendo energía y momento.

Y en esto que en el capítulo 8 de Spacetime Physics se trata el problema de la masa de un sistema de partículas, como resulta ser nuestro giróscopo que no para de dar vueltas. Sin la complicación de este, se trata el caso más simple de dos partículas sin interacción entre ellas, pero que se mueven en sentidos opuestos, aunque con igual magnitud del momento igual a 6. La energía E de cada una es de 10 unidades. Eso lleva a una masa de 8 unidades para cada partícula, pues 8x8=10x10-6x6. (¡Qué números tan bien elegidos!)

¿Y el sistema de dos partículas? Pues resulta que se suman las energías, y también los momentos, que son vectoriales y al ser opuestos se cancelan. El momento del sistema es nulo (6-6=0), y el centro de masas del sistema está en reposo en el sistema de referencia elegido, con lo que la energía coincide con la masa, y esta es de 10+10=20 unidades, 4 unidades más que la suma de las masas de cada partícula.

De modo que Sean tiene razón. El giróscopo al girar tiene más energía que quieto, aunque su momento neto sea nulo, con lo que toda esa energía extra asociada al movimiento relativo de unas partes del sistema respecto a otras contribuye a la masa del sistema, superior por ello a la suma de las masas de las partes.

La clave pues es que en un sistema de partículas se suman los cuadrivectores de cada partícula, energías y momentos, que resultan ser aditivos componente a componente; pero el "módulo" del cuadrivector, la masa, no es aditivo. La masa del sistema es realmente una propiedad del sistema en su conjunto. Esas dos partículas del ejemplo tienen masa 4, pero el sistema de ambas tiene masa 10.

En el ejemplo de las dos partículas sin interacción el aporte extra a la masa total se debe a la energía asociada al movimiento relativo de ambas partículas, pero si estas además interaccionan, como los protones y neutrones ligados por la fuerza fuerte, esa interacción puede reducir la energía del sistema en vez de aumentarla. En tal caso puede ocurrir que la masa total del sistema sea menor que la suma de las masas de los componentes por separado. Eso justamente ocurre con los núcleos atómicos.

El núcleo de helio tiene la misma composición que dos núcleos de deuterio juntos: dos protones y dos neutrones. Pero en el caso del helio están más ligados. En ciertas unidades (en que un núcleo de carbono con 6 protones y 6 neutrones tiene una masa de 12 unidades), el helio tiene una masa de 4,0026 mientras que los dos núcleos de deuterio suman una masa de 4,0282. Al fusionar estos dos nucleos y obtener uno de helio se tiene un balance energético excedente (de 4,0282 antes pasamos a 4,0026 después) de 0,0256 unidades. Puede parecer poco, pero sirve para que el Sol nos de la luz, el calor y la vida... ¡gracias al ligue de los hadrones!

18 años de Hubble

Justo al alcanzar su mayoría de edad se puede decir que el telescopio espacial Hubble ha visto mucho mundo, o más adecuadamente mucho universo. La imagen de NGC 6090 es una de la colección de encuentros de galaxias que se nos regala.

NASA, ESA, the Hubble Heritage Team (STScI/AURA)-ESA/Hubble Collaboration and A. Evans (University of Virginia, Charlottesville/NRAO/Stony Brook University) and G. Ostlin (Stockholm University)

podcast de nature

Otra fuente interesante de podcast científicos en inglés, con la transcripción escrita como inestimable ayuda, es la de la prestigiosa nature.

En el podcast del 17 de abril nos enteramos de que a James Watson le han secuenciado su genoma en menos de un mes y barato, barato, por menos de un millón de dolares. Se va acercando la posibilidad de que cada uno obtenga por un módico precio todo su genoma. Pero más cerca aún está conformarse con partes escogidas, especialmente relevantes en cuanto a enfermedades relacionadas con uno o unos pocos genes.

Lo que no está claro es qué haremos con la información obtenida si esta es claramente negativa, y menos si es ambiguamente negativa, del estilo puede que vaya usted a saber, o todo lo contrario; o a qué engaños puede llevarnos un resultado plenamente positivo.

Pero la genética no descansa, especialmente con las células madre, plantillas genéricas de donde sacar lo que queramos, incluyendo copias suyas. O unas descendientes especiales llamadas células progenitoras multipotentes, que siguen siendo plantillas para dar lugar a muchos tipos de células, pero no de su propio tipo. Esta "pérdida de facultades" se debe a la acción de un complejo proteínico activado por tres genes, que sólo en las células madre no se expresan y por tanto permiten la copia de más células madre. Esto mismo también puede pasar en el cáncer, de ahí el máximo interés de la investigación.

Muy interesante también es el comentario sobre los siglos XII y XIII como arranque de la visión científica del mundo y de la confianza en poder hacer inteligibles los fenómenos naturales sin necesidad de recurrir a explicaciones teológicas o milagrosas. Unos siglos más tarde Newton ya no necesitaría fingir, en sus Principia, hipótesis alguna:

No he sido capaz hasta ahora de descubrir a partir de los fenómenos la razón de estas propiedades de la gravedad, y no finjo hipótesis. Pues todo lo que no se deduce de los fenómenos debe declararse como hipótesis; y las hipótesis, ya sean metafísicas o físicas, o basadas en cualidades ocultas, o mecánicas, no tienen cabida en la filosofía experimental. En esta filosofía las proposiciones particulares se infieren de los fenómenos, y después devienen generales por inducción.

Nada de ángeles, ni de Diseños Inteligentes de un Eterno Mirón que se entretenga en alcanzar concienzudamente el logro de esas "especiales" criaturillas cobardes del recóndito planeta Tierra, que siempre andan buscando justificaciones externas a sus actos, y diciendo "Dios" cuando realmente quieren decir "Yo".

En la parte final del podcast se habla del posible uso, para una computación cuántica más robusta, de un tipo de cuasipartículas con carga fraccionaria. Me acuerdo de una reciente conversación con alguien que argüía, en estilo newage, que ahora la ciencia descubría y corroboraba lo que ya conocía la sabiduría espiritual hace siglos.

En términos generales siempre se pueden hacer interpretaciones semejantes, pues el lenguaje y la semántica son treméndamente flexibles. Pero la Ciencia tiene ámbitos más estrictos y términos enteramente propios. Siendo admirable, y en muchos casos útil, todo el legado espiritual de la humanidad, creo que en ningún antiguo escrito se trataban las diferencias entre fermiones y bosones, especificando sus distintas estadísticas, ni se citaba la posibilidad de cuasipartículas en dos dimensiones que no fuesen bosones ni fermiones sino anyones. Claro que para eso al parecer hay que adentrarse en argumentos topológicos, y el Etrón (llamaré así al Eterno Mirón) no se preocupó mucho de introducir la topología en "El Diseño" hasta hace bien poco.

Bueno, lo que da de sí un podcast.