Apolonio y el ángulo bisector

Tras la anterior entrada me surgió la duda sobre la demostración de que los puntos de la circunferencia de Apolonio que tiene por diámetro P y Q distan de A y B en una misma razón cuando P y Q son armónicos respecto de A y B. La demostración en la wikipedia se basa en el teorema de la bisectriz que resulta ser Euclides VI.3, que Euclides demuestra en el libro VI haciendo uso a su vez del teorema de Tales.

Así funcionan las cosas. No es para una prisa.

El caso es que en el profusamente ilustrado "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, hay una demostración alternativa del teorema del ángulo bisector, empleando la muy elemental propiedad de que el área de un triangulo es la mitad del producto de la base por la altura, junto con una preciosa habilidad para dar con las bases y las alturas adecuadas. Tanto me gustó esa demostración, que la transcribo aquí, junto con una figura adaptada de cara a su empleo posterior, figura obtenida a partir de geogebra, aunque en esta entrada no hay applet.

Partimos de un triángulo cualquiera ABC, trazamos la bisectriz interior del ángulo ACB, \(b_{int}\) que corta al lado AB en el punto P; y la correspondiente bisectriz exterior \(b_{ext}\) , que corta en el punto Q a la recta sobre la que está el lado AB. Ambas bisectrices son perpendiculares. Entonces debe deducirse que

\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]

Empezando por la bisectriz interior, se demuestra \( \overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) en dos pasos.

1.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AP}\)  es a \( \overline{PB}\) , pues AP es base del triángulo APC y PB es base del triángulo PBC compartiendo la misma altura, la trazada desde C en vertical, no mostrada en la figura.

Pero es que empleando esos mismos triángulos podemos ver otra combinación de base y altura, usando como alturas los segmentos mostrados (a punto y raya) desde P a los lados AC y BC. Estas alturas son iguales, pues P está sobre la bisectriz del ángulo ACB. Por tanto:

2.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AC}\)  es a \( \overline{BC}\) , pues AC es base del triángulo APC y BC es base del triángulo PBC con alturas de igual medida.

Con la razón de áreas como intermediaria, obtenemos la razón de distancias buscada. Qué elegancia.

Para la bisectriz externa los dos triángulos a los que aplicar el mismo método de dos pasos son el triángulo más grande, AQC , y el triángulo BQC. En el primer paso la altura común es la trazada desde C, y las bases   respectivas son AQ y BQ. En el segundo paso las alturas de igual longitud son las trazadas desde Q, que está sobre la bisectriz externa, y la respectivas bases son AC y BC. De nuevo con la razón entre áreas como intermediaria, se llega a que \( \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ} \).

En cuanto a la recíproca, si hubiese un punto X entre A y B cumpliendo que \( \overline{AX} : \overline{XB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) , procediendo con la construcción  indicada usando la bisectriz obtendríamos P con la misma "propiedad" de dividir el segmento AB en la misma proporción que lo hace X, lo que es imposible salvo que X y P coincidan.

Qué bonito.

Para remate, si fijamos A, P, B y Q, olvidándonos del punto C (que usamos para a partir de A y B obtener P y Q) , tracemos por P cualquier recta \(b_1\), y luego la recta \(b_2\) perpendicular a la anterior que pase por Q. Estas dos rectas se cortan en un punto D, que determina con P y Q un triángulo rectángulo. Al girar  \(b_1\) por todas las posibles direcciones alrededor de P, el punto D, obtenido como antes, va recorriendo... la circunferencia de Apolonio.

Y para ese D genérico situado sobre la circunferencia de Apolonio, ¿cual es la razón \( \overline{AD} : \overline{BD}  \)? Bueno, reagrupando la triple igualdad
\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]
podemos ver que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PB} : \overline{BQ} = \overline{AC} : \overline{BC}
\]
Con el punto D podemos emplear una construcción en que a partir del ángulo ADP forzamos que DP sea la bisectriz del ángulo ADX , para algún X adecuado sobre el segmento AQ. Eso sí, como por construcción P está en la bisectriz interna de ADX , Q está en la bisectriz externa, y por el ya famoso teorema se cumple que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PX} : \overline{XQ} = \overline{AD} : \overline{XD}
\]
De aquí deducimos primero que
\[
\overline{PB} : \overline{BQ}  = \overline{PX} : \overline{XQ}
\]

X y B dividen PQ en la misma proporción, lo que impone que realmente X coincide con B. Y entonces resulta que 

\[
\overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AD} : \overline{BD}
\]

Todos los puntos de la circunferencia de Apolonio con diámetro PQ distan de A y B en una misma razón. ¡Qué armonía!

razón simple, razón doble, puntos armónicos y circunferencia de Apolonio

Hace tiempo, no recuerdo la razón, me crucé con el "cross-ratio", que en castellano se denomina razón doble. Es curioso cómo cambia la perspectiva de una misma cosa según la forma en que se nos presenta. Mi primer encuentro fue, en el contexto de la geometría, con una definición parecida a esta:

Si P, Q, A y B son puntos situados sobre la misma recta, la razón doble (P, Q, A, B) del cuarteto ordenado de tales puntos es el número
\[
(P, Q, A, B) =  \frac{PA . QB}{ PB . QA}
\]
Sin embargo hace poco divisé, por otra razón, un "division ratio", que resultó ser la razón simple, en la que intervienen sólo 3 puntos. La wikipedia en español me remitió al DRAE donde con precisión se define la razón simple de tres números como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos;
p. ej., (6, 4, 3) = (6-4) / (6-3) = 2/3.

Y luego, a partir de la simple, se define la razón doble de cuatro números como el cociente de las razones simples formadas por cada uno de los dos primeros y los otros dos;
p. ej., (8, 6, 4, 3) = (8, 4, 3) / (6, 4, 3) = 6/5.

Esto es justo lo mismo, usando puntos, que definir la razón simple de un punto P con respecto a otros dos A y B como
\[
(P, A, B) = PA : PB
\]
y la razón doble de dos puntos P y Q respecto a otros dos A y B como la razón de las razones simples de P y de Q respecto a A y B
\[
(P, Q, A, B) = (P, A, B) : (Q, A, B)
\]
A y B son los puntos básicos que definen un segmento. Para cualquier punto P, la razón simple (P, A, B) indica en qué proporción, y cómo, P divide al segmento de A hasta B.

Hay que tener claro que siempre al hablar de puntos sobre una recta, elegimos una orientación que va a determinar el signo de los segmentos. Para una recta horizontal orientada de izquierda a derecha, AB es positivo si B está a la derecha de A, y negativo en caso contrario. Por tanto para D punto medio entre A y B,  \( (D, A, B) = DA:DB = -1 \) pues los segmentos orientados DA y DB tienen igual longitud pero orientación opuesta. Para puntos interiores, entre A y B, la razón simple es negativa; para los puntos exteriores ( a la izquierda de A o a la derecha de B) la razón simple es positiva.

Empezando por la razón simple, antes de la doble, se entiende mucho mejor la idea de conjunto de puntos armónicos: P y Q son armónicos con respecto a A y B si las razones simples de P y de Q , respecto de A y B, son iguales en magnitud pero de signos opuestos, lo que significa que P por un lado y Q por el otro dividen al segmento de A a B en la misma proporción, ora internamente, ora externamente. En términos de la razón doble, que P y Q sean armónicos respecto de A y B se expresa escuetamente así:
\[
(P, Q, A, B ) = -1
\]
La bella armonía en que se encuentran P y Q queda plasmada en una figura geométrica notable, donde aparece la circunferencia de Apolonio.

Partimos de dos puntos no coincidentes A y B, que determinan un segmento y la recta r que les contiene. Fuera de esta recta pero sin otra restricción, tomamos un punto C, que determina con A y B un triángulo. Desde el vértice C trazamos las dos bisectrices, la del ángulo interno ACB, y la del ángulo externo formado por el lado BC y la prolongación del lado AC. La bisectriz interna corta a la recta r en un punto P (interno, con razón simple negativa), y la bisectriz externa corta a la recta r en otro punto Q (exterior al segmento A B, con razón simple positiva).

Pues bien, resulta que P y Q son armónicos respecto de A y B.

El punto medio entre P y Q , M, es el centro de la círcunferencia de Apolonio, que pasa por C además de por P y por Q, siendo rectángulo el triángulo PCQ.

La razón simple en que P y Q dividen (interna y externamente) a A y B es igual a la razón de las longitudes de los lados AC y BC. ¿Qué puntos del plano tienen esa misma razón entre su distancia a A y a B? Pues precisamente todos los de la circunferencia de Apolonio.

Otro detallito, A y B son imagen cada uno del otro por la inversión en la circunferencia de Apolonio que pasa por P y Q. Otro más, dicen que el punto B pertenece a la polar del punto A (el polo) con respecto a la citada circunferencia.

La armonía es recíproca, A y B son armónicos con respecto a P y Q, en este orden, que siempre es esencial, pues puede comprobarse que
\[
(P, Q, A, B) = (A, B, P, Q) = (Q, P, B, A) = (B, A, Q, P)
\]

El caso es que con geogebra queda la construcción así:



Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
Se puede jugar moviendo los puntos "libres" A, B y C, que determinan P, Q y la circunferencia correspondiente. Cuando C se lleva a la mediatriz del segmento AB, P se aproxima al punto medio entre A y B, mientras que Q se aleja al infinito y más allá, tendiendo la circunferencia a convertirse en una recta, precisamente la mediatriz. Uno de los encantos de la razón doble es ser invariante ante transformaciones proyectivas, y el mundo proyectivo tiene el encanto de hacer del "infinito y más allá" un punto tan normal como los demás, poniendo una guinda a la abierta recta real para cerrarla en la recta proyectiva.

Pero ya proyectaré más, si acaso, otro día.

interferencias

Hay por la internet muchos ejemplos de suma de señales sinusoidales, que ilustran el efecto de las interferencias. Por ejemplo en el inagotable archivo de internet podemos encontrar escaneada "Light Waves and Their Uses" de Albert Abraham Michelson, que nos muestra la suma de ondas en fase o en oposición en las figuras 6 y 7 de esa obra, aclarando el autor (la cursiva es del original) que

El principio que ilustran estos dos casos es el mal llamado de interferencia; en realidad el resultado es que cada movimiento ondulatorio ocurre exactamente como si el otro no estuviese allí para interferir. El nombre tiene, no obstante, la sanción del largo uso, y a él nos atendremos.

Para sobrecargar un poco más la nube internetera aportaré mi contribución usando de paso Geogebra y su maravillosa definición de  funciones.

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Creado con GeoGebra

En el applet de Geogebra de entrada están seleccionadas las casillas para mostrar las dos señales variables en el tiempo de forma sinusoidal
\[
E_1(t) = A_1 cos(-2 \pi f_1 t) \;\; ; \;
E_2(t) = A_2 cos(-2 \pi f_2 t + \Phi)
\]
con colores azul y rojo, respectivamente, y la suma de ambas con color magenta. Mediante las casillas de selección podemos ocultar o mostrar esas señales, así como la intensidad instantánea y la intensidad media. También puede mostrarse un diagrama de fasores. Una serie de controles deslizantes permiten cambiar el valor de \( f_2 \), del desfase \( \Phi \) y de un valor concreto del parámetro tiempo, que es la variable representada en el eje de abscisas. La unidad de este eje es arbitraria, pero coincide con el periodo de la señal \( E_1 \). Si asimilamos esta señal al campo eléctrico de una onda de luz visible, podríamos considerar que cada unidad en el eje de tiempos equivale a \( 0,33 \; 10^{-14} \) s, siendo entonces la frecuencia de la señal \( f_1 = 3 \; 10^{14} \)Hz. Pulsando con el botón derecho del ratón sobre los controles deslizantes aparece un menú contextual con el que puede elegirse la opción "Animación automática" para que el parámetro correspondiente varíe al pulsar el botón "Marcha" o "Play", situado en la esquina inferior izquierda. Tras pulsarle se convierte en un botón "Pausa". Inicialmente el parámetro que se varía es el desfase \( \Phi \). Según cambia se ve de forma "animada" su efecto en la suma de las dos señales.

El caso más interesante para ver el efecto de la interferencia es el de señales de igual amplitud, \( A_1 = A_2 = A \), y de igual frecuencia, \(f_1 = f_2 = f \),donde lo que podamos cambiar sea únicamente un desfase constante, \( \Phi \) entre ellas. Para \( \Phi = 0 \) tenemos interferencia constructiva, la amplitud de la señal suma es \( 2A \). Para \( \Phi = \pi \) tenemos interferencia destructiva, en todo momento se anula la señal suma, su amplitud es 0. Pero más que ver la suma de las señales es interesante ver su cuadrado, siempre positivo, que es igual a la intensidad instantánea:
\[
\begin{aligned}
I(t) & = \left[ E_1(t) + E_2(t) \right] ^2 \\
\; & = A_1^2 cos^2(-2 \pi f_1 t)+A_2^2 cos^2(-2 \pi f_2 t)+ 2 A_1 A_2 cos(-2 \pi f_1 t) cos(-2 \pi f_2 t + \Phi) \\
\end{aligned}
\]
La intensidad media, promediando la señal en un intervalo temporal M dictado por el tiempo de respuesta del detector que se vaya a usar, será
\[
I_m(t') = \left< I(t) \right> = \frac{1}{M}\int_{t'-M}^{t'}{ I(t) dt}
\]
Supondremos que nuestro tiempo típico de promedio M contendrá muchos periodos de oscilación de la señal. Esto es totalmente cierto en el ámbito de las frecuencias ópticas, con periodos de poco más de \( 10^{-15} \)s, y tiempos de respuesta siempre varios ordenes de magnitud mayores. Para el ojo humano M sería de unos 20 milisegundos, pero incluso detectores ultrarápidos de estado sólido tendrán tiempos de respuesta muchísimo más largos que el periodo de la señal óptica. Entonces, teniendo en cuenta que el promedio del cuadrado del seno o del coseno es 1/2 , y que
\[
cos(x) cos(y) = {cos(x + y) + cos(x - y) \over 2}
\]
resulta que
\[
I_m = \frac{1}{2} \left( A_1^2 + A_2^2 \right) + A_1 A_2 \left< cos(2 \pi (f_2-f_1) t - \Phi) \right>
\]
donde falta el término que contiene \( (f_2 + f_1)t \) pues su promedio es cero patatero, y se ha dejado el de la diferencia de frecuencias para aplicarlo al caso en que ambas son iguales. Entonces la intensidad media es una función constante cuyo valor se relaciona con el desfase fijo \( \Phi \) por
\[
f_1 = f_2 \rightarrow I_m = \frac{1}{2} \left( A_1^2 + A_2^2 \right) + A_1 A_2 cos(\Phi)
\]
Puede haber casos en que las frecuencias difieran tan poco, tan poco, que en el tiempo típico del promedio, denotado arriba por M, se llegue a ver la evolución del término \( (f_2 -f_1)t \), lo que conlleva pulsaciones en la intensidad media. Pero en el caso que suponemos, de frecuencias ópticas, a muy poco que difieran las frecuencias el promedio \( \left< cos(2 \pi (f_2-f_1) t - \Phi) \right> \) es también cero patatero, con lo que
\[
f_1 \neq f_2 \rightarrow I_m = \frac{1}{2} \left( A_1^2 + A_2^2 \right)
\]
En pocas palabras, con frecuencias iguales la intensidad media es sensible al desfase \( \Phi \), podemos observar interferencias; con frecuencias distintas no podemos observar las interferencias, la intensidad media es requeteconstante en todo lugar y momento, indiferente a cualquier desfase constante \( \Phi \).

Volviendo al applet de Geogebra, si marcamos las casillas para ver solo la intensidad instantánea y la media (sin las señales iniciales y su suma, para no sobrecargarnos de curvas) vemos cómo al variar el desfase \( \Phi \) cambia la amplitud de la intensidad instantánea, y la recta horizontal de la intensidad media (constante para un desfase dado) sube y baja entre los valores máximo y mínimo
\[
\Phi = 0 \rightarrow I_{mMax} = \frac{1}{2} ( A_1 + A_2 )^2
\]
\[
\Phi = \pi \rightarrow I_{mMin} = \frac{1}{2} ( A_1 - A_2 )^2
\]
que para \( A_1 = A_2 = A \) son respectivamente \( 2A^2 \) y 0. El máximo de \( 2A^2 \) es el doble de la intensidad media cuando no hay interferencia, cuando \( f_1 \neq f_2 \). Para ver el caso de no interferencia, cambiamos en el deslizador del parámetro \(f_2\) su valor inicial 1 (valor asignado siempre a \(f_1\)) a otro distinto. En esta situación cambiar el desfase \( \Phi \) no afecta a la intensidad media.

A Geogebra se le ha instruido para que la función intensidad media sepa distinguir los casos de frecuencias iguales y distintas. Pueden verse las definiciones de las funciones empleadas en Geogebra eligiendo el menú "Vista" y marcando "Vista Algebraica". En esta vista se muestra para cada objeto definido su valor, o su definición, o el comando utilizado, según cómo se haya configurado en el menú "Opciones" la "Descripción de Álgebra". También puede seleccionarse el objeto y ver sus propiedades mediante la oportuna opción del menú contextual que aparece al pulsar el botón derecho del ratón.

De este modo podemos ver que se ha definido la función intensidad media así
I_m(t) = (A_1² + A_2²) / 2 + Si[f_1 ≟ f_2, A_1 A_2 cos(ϕ), 0]
En la definición se ha incrustado un operador lógico Si que comprueba si son iguales o no las frecuencias. Además lo que hace que I_m sea una función es haberle definido como I_m(t), con un argumento de relleno (dummy) t . Como a la derecha de la definición no parece ese argumento lo que se consigue es una función constante, pero con lógica incluida. Sin embargo en el caso de la intensidad instantánea tenemos
I_s(t) = E_s(t) E_s(t)
definida en términos de
E_s(t) = E_1(t) + E_2(t)
con
E_1(t) = A_1 cos(φ_1(t))
E_2(t) = A_2 cos(φ_2(t))
φ_1(t) = -ω_1 t
φ_2(t) = -ω_2 t + ϕ
siendo ω_1 un número igual a 2π f_1. El lenguaje a usar con Geogebra es por lo tanto muy cercano al empleado en matemáticas, cercanía facilitada también por el manejo directo de letras griegas y subíndices para definir los propios objetos de Geogebra. Ahora ya en la versión 4, Geogebra despliega todo un mundo de funcionalidades que explorar.

Cuando cambiamos con su deslizador la frecuencia \(f_2\) al siguiente valor más próximo, por encima o por debajo de 1, podemos apreciar lo que sería el caso más parecido a observar pulsaciones de la intensidad media. Puede verse (quizá alejando un poco con la opción "Zoom de Alejamiento" del menú "Herramientas", submenú "Herramientas Generales") para ese caso que la amplitud de la intensidad instantánea varía lentamente. Si tuviésemos un detector lo suficientemente rápido como para promediar tan solo unos 10 periodos de la señal, entonces sí se distinguirían en el tiempo las partes en que la amplitud es mayor de aquellas en que casi se anula, para un desfase dado. Al cambiar el desfase, se desplazan los instantes de tiempo de los máximos y mínimos de la amplitud de la intensidad instantánea, coincidentes con los máximos y mínimos de la intensidad media del detector ultrarápido. Las franjas serían "instantáneas", moviéndose periódicamente de sitio los claros y los oscuros. Para frecuencias más distintas la variación de la intensidad instantánea se da en agrupamientos o pulsos cada vez más breves en el tiempo, que no serían distinguidos incluso por ese hipotético detector ultrarápido.

Arcoíris con GeoGebra

Esta entrada participa en la XVIII Edición del Carnaval de la Física organizada por Daniel Martín Reina  desde su blog ”La Aventura de la Ciencia.”

El arcoíris es uno de tantos estupendos regalos visuales de la naturaleza. En alguna ocasión el regalo es doble, como se observa en esta fotografía.

Además del arcoíris normal, o primario, por encima del mismo se observa el arcoíris secundario, menos intenso, más difuminado, y entre ambos una zona especialmente oscura, la llamada franja de Alejandro.

Hay una espectacular página explicativa (en inglés) de los fenómenos atmósféricos, incluidos los arcoíris, además de la wikipedia y otros muchos recursos, pero aún así aquí va otro "arcoíris", que de paso es una buena forma de aplicar Geogebra, un "Software de matemática, libre, para enseñar y aprender".

La explicación del fenómeno óptico usa unos pocos conceptos básicos. La luz se propaga en línea recta, según haces de rayos. Las pequeñas gotas de lluvia en suspensión son esféricas. En estas esferas de agua los rayos incidentes se someten a las leyes de refracción (la ley de Snell) y de reflexión. Como la luz del Sol está compuesta de muchos colores, también interviene el fenómeno de la dispersión, por el que el índice de refracción del agua varía con el color de la luz.

El esquema explicativo se muestra en el siguiente applet 1 de Geogebra.

applet 1: rayos primario y secundario del arcoíris No se ha podido arrancar el applet de GeoGebra. Se necesita tener en el navegador, instalado y activo, Java 1.4.2 (o posterior)Pulsar aquí para instalar Java ahora)

Consideramos una sección plana de la esfera de agua, de radio unidad, conteniendo su centro. Los haces de rayos llegan desde la izquierda, paralelos a la horizontal, eje X. Un rayo con parámetro de impacto h incide sobre la gota en el punto A, con ángulo α respecto a la normal, se refracta según un ángulo β, de acuerdo a la ley de Snell, y sigue hasta el punto B. En B hay un rayo refractado, que sale de la gota, y no nos interesa, por lo que no se dibuja. Seguimos la pista al rayo reflejado en B, que llega a C. De nuevo aquí hay refracción, que origina un rayo que sale de la gota en dirección al punto P, y es el rayo que contribuye al arcoíris primario. Pero en C también hay un rayo reflejado, que camina hasta D, donde es refractado, saliendo hacia S y contribuyendo al arcoíris secundario.
En el applet 1 se puede mover el control que hace variar h entre sus extremos 1 y -1. Para valores entre 0 y 1 el rayo primario sale con un ángulo δ respecto al rayo incidente, hacia abajo; el rayo secundario sale hacia arriba. Para valores de h entre 0 y -1 se ve la simetría de la situación, el rayo primario va hacia arriba y es el secundario el que va hacia abajo. Otro control del applet, n, nos permite variar el índice de refracción usado al calcular el ángulo de refracción, que equivale a variar el color del rayo incidente. Aproximadamente para un rayo azul se tiene n=1.338 y para uno rojo n=1.332. El control permite una variación mayor para apreciar mejor el efecto. Los controles de GeoGebra admiten un menú desplegable al pulsar el botón derecho del ratón, y una de las opciones es "Animación Automática". Cuando se elige, se puede pausar o reiniciar la animación mediante un botón que aparece en la esquina inferior izquierda del applet.

El ángulo δ es el que interviene en la formación del arcoíris: es el formado entre la visual del observador a la gota (dirección en la que llega al ojo el rayo, ya sea principal o secundario) y la dirección de los rayos del Sol. En el siguiente applet 2 se esquematiza la situación del arcoíris.

applet 2: geometría externa del arcoíris No se ha podido arrancar el applet de GeoGebra. Se necesita tener en el navegador, instalado y activo, Java 1.4.2 (o posterior)Pulsar aquí para instalar Java ahora)

El observador está en el punto O, mirando hacia nuestra derecha. A su espalda los rayos del Sol inciden sobre el terreno formando un ángulo γ, la altura del Sol. Si encuentran gotas en un punto como el N, los rayos (primarios o secundarios) que formen un ángulo δ llegan hasta el Observador con un ángulo θ respecto al terreno. Uno de los controles del applet permite variar la altura del Sol entre 0 y 90º. Se puede apreciar que un rayo refractado con ángulo δ no podrá verse si el Sol está demasiado alto, si γ > δ. Por eso los grandes arcoíris se ven con el Sol bajo, nunca al mediodía, al menos en latitudes medias como la de España. El esquema presenta una simetría de revolución respecto al eje SOS' determinado por el Sol y el Observador. Si giramos mentalmente la figura plana respecto a ese eje, el punto N describe una circunferencia, y la línea ON un cono, que da las direcciones en que se ven rayos refractados en el mismo ángulo δ. Es el terreno el que nos limita a un arcoíris, pero volando alto bien podríamos ver un circulíris, o bien un arcoíris inferior, en la línea ON' si sólo en esa zona hay lluvia.

El otro control del applet 2 nos permite variar δ aunque en un margen muy estrecho, aproximadamente el correspondiente al arcoíris primario. ¿Por qué se ven los vivos colores del arcoíris sólo en un margen estrecho de ángulos cuando en el applet 1 los posibles valores de δ al variar h entre 1 y -1 abarcan un amplio rango? Podemos hacernos una idea con la siguiente gráfica (izquierda; detalle ampliado a la derecha), que presenta el ángulo δ del rayo refractado, primario y secundario, en función del valor del parámetro de impacto del rayo incidente.

El ángulo δ varía bastante con h, salvo en el máximo de la curva del arcoíris primario (o el mínimo del secundario). Para el ángulo en que la curva del color rojo alcanza su máximo, no se encuentra ningún rayo azul, y sí una acumulación de rayos rojos con valores de h cercanos al correspondiente al máximo. Y para el ángulo en que se alcanza el máximo de la curva azul, los rayos rojos coincidentes corresponden a valores de h alejados del máximo rojo, que no "enturbian" la aportación del máximo azul. Por ello el ángulo δ_c con el que vemos un color del arcoíris es aquel en que se alcanza el máximo en la curva δ versus h para ese color. Es este ángulo el que se varía en el control del applet 2.

La gráfica muestra también el orden inverso de los colores del arcoíris secundario respecto al primario, y que en aquel la separación de colores es mayor, al haberse acumulado más refracción. Las mismas gotas que contribuyen al arcoíris primario con su mitad superior (h>0), contribuyen al secundario con su mitad inferior (h<0). También podemos ver el origen de la oscuridad en la franja de Alejandro: en el rango de ángulos entre el máximo del arcoíris primario y el mínimo del secundario no hay rayos primarios ni secundarios de ningún color. Sí los hay en cambio por debajo del primario y por encima del secundario.

Por cierto, el máximo (y el mínimo) de la anterior gráfica se pueden "ver" con el applet 1, seleccionando el control h y variando su valor poco a poco con las teclas de flecha arriba o abajo. En la zona de máximo el rayo principal apenas cambia su ángulo al cambiar h. La configuración geométrica del applet 1 permite deducir las fórmulas para el ángulo δ mostradas en la gráfica izquierda.

En el apartado "cómo se hizo", para obtener el par de gráficas anterior se ha usado, como no, Octave, con el siguiente código

# h parametro de impacto

h=[0.0:0.001:1];

nazul=1.338

nrojo=1.332

#

function [fy] = deltaprimario(h,n)

fy = (4*asin(h/n)-2*asin(h))*180/pi;

endfunction

function [fy] = deltasecundario(h,n)

fy = (-6*asin(h/n)+2*asin(h)+pi)*180/pi;

endfunction

#

subplot(1,2,1)

plot(h,deltaprimario(h,nrojo),'-r',h,deltaprimario(h,nazul),'b',h,deltasecundario(h,nrojo),'-r',h,deltasecundario(h,nazul),'b')

hold on

set (gca (), "xlim", [0., 1]);

set (gca (), "ylim", [0, 180]);

cuadrox=[0.01,0.99,0.99,0.01,0.01]

cuadroy=[43, 43, 50,50,43]

plot(cuadrox,cuadroy,'-.k')

set(text(0.1,47,strcat('{\fontsize{12}FRANJA OSCURA DE ALEJANDRO}')),"color","black")

xlabel("parámetro de impacto h (primario) ó -h (secundario)");

ylabel(strcat('\delta (grados)'));

set(text(0.6,20,"arcoíris primario"),"color","black")

set(text(0.6,15,strcat('\delta = -2\alpha + 4\beta')),"color","black")

set(text(0.6,110,"arcoíris secundario"),"color","black")

set(text(0.6,115,strcat('\delta = 2\alpha - 6\beta +180')),"color","black")

set(text(0.1,85,strcat('\delta ángulo entre la visual al ')),"color","black")

set(text(0.1,80,strcat('arcoíris y la dirección del sol')),"color","black")

set(text(0.7,170,strcat('sen(\alpha) = |h|')),"color","black")

set(text(0.7,165,strcat('sen(\beta) = |h|/n')),"color","black")

set(text(0.7,160,strcat('n_{rojo} = 1.332')),"color","red")

set(text(0.7,155,strcat('n_{azul} = 1.338')),"color","blue")

subplot(1,2,2)

plot(h,deltaprimario(h,nrojo),'-r',h,deltaprimario(h,nazul),'b',h,deltasecundario(h,nrojo),'-r',h,deltasecundario(h,nazul),'b')

hold on

set (gca (), "xlim", [0.75, 1]);

set (gca (), "ylim", [20, 75]);

cuadrox=[0.76,0.99,0.99,0.76,0.76]

cuadroy=[43, 43, 50,50,43]

plot(cuadrox,cuadroy,'-.k')

set(text(0.78,47,strcat('{\fontsize{12}FRANJA OSCURA DE ALEJANDRO}')),"color","black")

xlabel("h ó -h");

ylabel(strcat('\delta (grados)'));

En cuanto a los applets de GeoGebra, con este programa se trabaja de forma interactiva usando las múltiples herramientas de que dispone, nada como experimentar libre y gratuitamente cada uno, eso sí, sin prisas. Se puede guardar el resultado en un archivo de formato binario con extensión ggb. Para publicar el applet en un blog hay que usar unas etiquetas específicas, <applet> y demás, como las que se ven al editar el código fuente de esta página web. El caso es que se tiene que incluir el código binario que se guarda en el fichero ggb, generado con el programa GeoGebra, pero codificado en Base 64. Para hacer tal conversión es muy útil otro programa gratuito, el editor Notepad++, usando el menú Plugins-MIME Tools - Base64 Encode.

La contemplación del colorido arcoíris no requiere applets ni refracción ni reflexión, sino el momento oportuno, usualmente fugaz, de la confluencia adecuada de Sol, lluvia y observador. Aunque no comparable, trastear con el "arcoíris" en GeoGebra o en Octave puede ser una experiencia entretenida ... y mucho, mucho más prolongada.