Pero como dijo Euclides, al primero de los Ptolomeos, "no hay camino Real a la Geometría". La atribución de la cita la leo en la mejor historia concisa de las matemáticas, "A Concise History of Mathematics", de Dirk J. Struik, en la cuarta edición revisada editada por Dover Publications. Su gran valor bien merece el bajo precio de adquirir esta obra. Pero obviamente "concisa" indica que no es comparable a obras de otro calibre, como los tres tomos de "El Pensamiento Matemático desde la antigüedad a nuestros días", de Morris Kline, que ahora al parecer existe editada en un solo volumen.
El caso es que en la versión inglesa de Struik la frase de Euclides al rey Ptolomeo I es "there is no royal road to geometry"; por muy rey que sea, no hay acceso fácil. Pero queda muy bien el juego de palabras en la versión en castellano, para cambiar el sentido, tergiversar al pobre Euclides, y dar a entender que el camino a la geometría no es solamente Real, sino que tiene un sesgo Imaginario. Vamos, que es Complejo.
La geometría proyectiva, al incorporar elementos "impropios", como los puntos o la recta en el infinito, permite enunciar teoremas de una forma general, sin excepciones o casos particulares. Un beneficio similar se consigue en el álgebra, el análisis y la geometría analítica al incorporar los valores imaginarios, y trabajar con los números complejos en vez de simplemente con los reales. Se gana generalidad y una comprensión más profunda de muchos resultados, pero desde el punto de vista geométrico intuitivo perdemos pie. Aún así Klein intenta aplicar ambas incorporaciones a la vez y explicar algunos términos.
Seguimos empleando las coordenadas homogéneas ya conocidas, en el plano \(x:y:1 = \xi:\eta:\tau\), pero ahora se admiten para todas ellas valores complejos, no solo reales, aunque excluyendo como siempre la anulación simultánea de todas las coordenadas homogéneas. Un conjunto de puntos que satisfacen una ecuación cuadrática homogénea definen una curva de segundo grado, y si satisfacen una ecuación lineal definen una curva de primer grado. Una curva de primer grado y una de segundo siempre se intersecan en dos puntos, que pueden ser reales o complejos, a distancia finita o infinita, separados o coincidentes. De forma similar, en el espacio se definen de forma analítica las superficies de primer grado (un plano) o de segundo grado, y hay resultados generales sobre las intersecciones a las que dan lugar.
Un iniciador de tales resultados, en el caso concreto de círculos y esfera, fue Poncelet con su "Traité des propietés projectives des figures" de 1822. Empleó su fuerte sentido de continuidad geométrica, pero no las coordenadas homogéneas. Klein las emplea para expresar la ecuación del círculo
\begin{equation*}
(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2
\end{equation*}
en forma homogénea así
\begin{equation*}
(\xi - a \tau)^2 + (\eta - b \tau )^2 - r^2 \tau^2 = 0
\end{equation*}
La intersección de este círculo con la línea del infinito, \(\tau=0\), se describe por las dos ecuaciones
\begin{equation*}
\xi^2+\eta^2=0 \ \ , \ \ \tau=0
\end{equation*}
Las constantes \(a,b,r\) que caracterizan el círculo no aparecen, y por tanto todo círculo corta a la línea del infinito en los mismos dos puntos fijos, denominados puntos circulares imaginarios
\begin{equation*}
\xi : \eta = \pm i \ , \ \tau=0
\end{equation*}
Hay que recordar que las coordenadas homogéneas determinan un punto, salvo por un factor común, que ahora puede ser complejo. Coordenadas posibles de los puntos circulares imaginarios serían \((i,1,0)\) y \((-i,1,0)\), o cualquier múltiplo complejo.
En el espacio, por tanto con cuatro coordenadas homogéneas, una superficie de segundo grado se corta con otra de primer grado en una curva de segundo grado. Por ejemplo cualquier esfera corta el plano en el infinito en la misma cónica imaginaria, el círculo esférico imaginario
\begin{equation*}
\xi ^2 + \eta ^2 + \zeta ^2 = 0 \ \ , \ \ \tau=0
\end{equation*}
Aunque puede costar algo comprender el alcance de esta expresión analítica, más cuesta imaginar intuitivamente ese círculo, en el infinito, e imaginario. Pero sirve para cuadrar las cuentas: dos esferas, como superficies de segundo grado, deben cortarse en una curva de cuarto grado. En efecto siempre tenemos una intersección como un círculo, real o imaginario, y además el círculo esférico imaginario, el producto de esas dos curvas de segundo grado da la de cuarto.
Klein explica que una forma de hacer más reales los puntos circulares imaginarios (del plano) es someterles a la transformación imaginaria
\begin{equation*}
\xi' = \xi \ , \ \eta'=i \eta \ , \ \tau'=\tau
\end{equation*}
Entonces la ecuación \(\xi^2+\eta^2=0\) se convierte en \(\xi'^2-\eta'^2=0\) y convierte los puntos circulares imaginarios \(\xi : \eta = \pm i \ , \ \tau=0\) en los puntos reales en el infinito
\begin{equation*}
\xi' : \eta' = \pm 1 \ , \ \tau'=0
\end{equation*}
Estos puntos corresponden a las direcciones que hacen 45º con los ejes de coordenadas \(x', y'\). Todos los círculos se transforman en cónicas que "pasan" por estos puntos, es decir, en hipérbolas equilateras cuyas asíntotas hacen esos 45º con los ejes \(x'\) e \(y'\), aunque no pasan necesariamente por el origen de coordenadas.
¿Hay una forma puramente geométrica de expresar tales conceptos "imaginarios"? Poncelet y Steiner no fueron claros al respecto, pero von Staudt desarrolló ideas clave al respecto.
Por un lado, una curva dada por una ecuación con coeficientes reales determina un sistema polar, que proporciona una representación real, y puede usarse como objeto a investigar en vez de la curva. El sistema polar se define por la relación polo-polar asociada a una cónica. Si los coeficientes de ésta son reales, aún admitiendo para las coordenadas homogéneas valores complejos, siempre hay una relación para valores reales: un punto de coordenadas reales tiene asociada una polar real, incluso ¡aunque la cónica no tenga puntos reales! Además una cónica, al cortarse con una recta, determina en ésta una relación polar unidimensional, que es una involución. Esta involución tendrá dos puntos fijos, que pueden ser reales o imaginarios, pero en todo caso está definida perfectamente en base a su acción sobre puntos reales.
Un ejemplo, un círculo cualquiera se define en coordenadas homogéneas por
\begin{equation*}
\xi^2 + \eta^2- 2 a \xi \eta- 2 b \eta \tau + (a^2+b^2-r^2)=0
\end{equation*}
que se asocia a la relación polar
\begin{equation*}
\xi \xi' + \eta \eta' - a (\xi \tau' + \xi' \tau) - b(\eta \tau' + \eta' \tau) + (a^2+b^2-r^2) \tau \tau' =0
\end{equation*}
Esta relación polar induce, al considerar el corte del círculo con la recta en el infinito \(\tau=0=\tau'\), la relación polar unidimensional dada por
\begin{equation}\label{ec4bp123}
\xi \xi ' + \eta \eta' =0 \ , \ \tau = 0 \ , \ \tau'=0
\end{equation}
que como se ve es la misma para cualquier círculo, y es una involución. Esta relación está definida completamente en base a su comportamiento para valores reales. Las direcciones desde el origen hacia los dos puntos relacionados por la involución, \(P(\xi,\eta,0)\) y \(P'(\xi',\eta',0)\), son perpendiculares. Las tangentes a cualquier círculo (\(C_1\) o \(C_2\)) en una dirección dada, es decir, hacia un mismo punto del infinito \(P\), el polo, tienen asociadas polares (\(p'_1\), \(p'_2\)) que son perpendiculares a tal dirección, determinando por tanto otro punto \(P'\) en el infinito. Esta perpendicularidad geométricamente evidente, de las tangentes "reales" a los círculos y sus polares, ilustrada en la figura 92, página 122, de EMAS Geometry, es la plasmación de los dos puntos circulares imaginarios.
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| ¡Puntos circulares imaginarios! |
Estos son precisamente los puntos fijos de la involución definida por \eqref{ec4bp123}, aquellos que se relacionan consigo mismos. En efecto los puntos fijos deben cumplir \(\xi=\xi',\eta=\eta',\tau=\tau'=0\) y de \eqref{ec4bp123} se obtiene que \(\xi:\eta = \pm i\).
Da igual el punto \(P\) elegido sobre la recta del infinito como polo, la dirección de las tangentes, la polar siempre será perpendicular, y la involución definida en la recta del infinito será la misma, por lo que se denomina involución absoluta. Ésta es equivalente, en la idea de von Staudt, al concepto mismo de puntos circulares del infinito.
Toma ya moreno.
Pero para Klein esto es una forma de eludir lo imaginario más que una interpretación. Propiamente tal interpretación de los puntos, líneas y planos imaginarios la consiguió von Staudt en su "Beiträge" de 1856-60.
Empezamos asociando a un punto imaginario \(P\), dado por sus coordenadas homogéneas complejas
\begin{equation*}
\xi = \xi_1+ i \xi_2 \ , \ \eta = \eta_1+ i \eta_2 \ , \ \tau = \tau_1+ i \tau_2
\end{equation*}
los dos puntos reales \(P_1: \xi_1,\eta_1,\tau_1 \) y \(P_2: \xi_2,\eta_2,\tau_2 \), que no coinciden, no son proporcionales, si \(P\) es propiamente imaginario. Estos puntos determinan una recta real, que también contiene tanto al punto imaginario \(P\) como al conjugado \(\overline{P} : \xi_1- i \xi_2,\eta_1- i \eta_2,\tau_1- i \tau_2 \). Pero en la perspectiva proyectiva que hemos de mantener siempre, \(P\) se determina por sus coordenadas homogéneas salvo un factor común, complejo, como \(\rho = \rho_1 + i \rho_2\), y entonces podemos asociar a \(P\) otros pares de puntos reales \(P'_1, P'_2\).
Al dar todos los valores posibles a \(\rho_1, \rho_2\) se obtiene una variedad geométrica de puntos reales que representa al punto geométrico \(P\) de una forma netamente proyectiva. Dos pares de puntos igualmente representativos, como \(P_1,P_2\) y \(P'_1, P'_2\), están intercalados sobre la misma línea, es más, resulta que cada par se relaciona por una misma involución de dicha línea, y los puntos fundamentales o fijos de dicha involución son precisamente \(P\), el punto imaginario de partida, y su conjugado \(\overline{P}\). Se llega a una situación parecida a la alcanzada antes con los puntos circulares del infinito, relacionando un punto imaginario (y su conjugado) con una involución en una recta real. Para obtener una expresión propia sólo de \(P\) y no de su conjugado, se elige un sentido concreto de recorrido de la involución, el de movimiento del punto real \(P'_1\) cuando el parámetro \(\lambda = -\rho_2 / \rho_1\) varía desde \(0\) a \(\infty\) y de vuelta a \(0\) desde \(-\infty\). El sentido opuesto para igual variación de \(\lambda\) corresponde al \(\overline{P}\).
Recíprocamente, "cada figura real tal, consistente en una línea recta, dos pares de puntos intercalados sobre ella, \(P_1, P_2\) y \(P'_1, P'_2\) (o una involución sin puntos reales dobles, junto con una flecha de dirección, representa un único punto imaginario".
Acaba así Klein, requiriendo buenas dosis de imaginación para hacer real lo imaginario, la segunda parte de la obra.
