EMAS Geometry 9: Fundamentos

La última parte de la obra de Klein aborda los principios, o fundamentos de la Geometría. Matemáticamente se quiere, partiendo de unas nociones y enunciados (axiomas) simples, deducir mediante el razonmaiento lógico todo el contenido de la geometría, sin emplear argumentos basados en la percepción. Más concretamente, Klein quiere deducir los teoremas de la geometría analítica, empleando el análisis desde el principio, a diferencia de la ancestral aversión de los geómetras al empleo de los números.

Una posibilidad es partir de unas nociones básicas y unos axiomas, agrupados en teoremas de conexión, teoremas de orden y propiedades de continuidad, con los que derivar lógicamente toda la geometría proyectiva del espacio. Después, desde ella, pasar a la geometría métrica al introducir el plano en el infinito y el círculo esférico imaginario. Pero aunque este sea para Klein el camino más simple, pues empieza operando con variedades lineales en el ámbito proyectivo, y sólo después en la métrica se adjunta una variedad cuadrática, reconoce su carácter abstracto y tedioso. Para la enseñanza en general es preferible otro método, que pasa a exponer.

Desarrollo de la geometría plana con énfasis en los Movimientos

Partimos de la noción de punto y recta, y axiomas de conexión, orden y continuidad. Respecto a los de conexión, a través de dos puntos siempre pasa una y sólo una recta, mientras que dos rectas tienen uno o ningún punto en común.
Se evita el rodeo por las proyectividades introduciendo de principio el grupo de \(\infty ^3\) movimientos en el plano, que han de definirse mediante una serie de axiomas guiados por nuestra experiencia con cuerpos rígidos. Un movimiento debe transformar todo punto en otro del espacio finito. Debe transformar toda recta en otra, sin excepciones, luego debe ser una colineación.

Dados dos puntos \(A\) y \(A'\), y rayos \(a\) y \(a'\) que pasan por tales puntos, siempre hay un único movimiento que transforma \(A\) en \(A'\) y \(a\) en \(a'\).

Es de especial relevancia que el grupo de los movimientos cuenta con un subgrupo, el de las \(\infty ^2\) traslaciones del plano. Una traslación que aplique \(A\) en \(A'\), aplica la línea que pasa por ambos puntos en sí misma. Aplicando repetidamente una traslación, un punto \(A\) se aplica sucesivamente en otros puntos \(A'\), \(A''\), etc., de la misma línea. Con las traslaciones convenientemente definidas aún no puede hablarse de coordenadas rectangulares, pero sí de coordenadas paralelas generales. Empleando dos rectas \(x\) e \(y\) que se cortan, y una traslación "unidad" según cada una de esas direcciones, el punto de intersección puede llevarse a cualquier otro de coordenadas enteras componiendo tales traslaciones unidad repetidas cierto número de veces. Pero también es factible definir las traslaciones "fraccionarias" sobre cada eje. La traslación que lleva el punto \(2\) del eje \(y\) sobre el punto \(1\) del eje \(x\) resulta que también lleva el punto \(1\) del eje \(y\) al que podemos definir como punto \(1/2\) del eje \(x\). Aunque parezca obvio, que esa traslación en efecto llegue a un punto del eje \(x\) debe asegurarse mediante un axioma de "entresidad": una línea que entre en un triángulo por un lado debe abandonarle atravesando por otro lado. Las coordenadas no se asignan midiendo segmentos, sino en base al grupo de traslaciones. Y una vez obtenidas las racionales, para conseguir las irracionales hay que emplear los axiomas de continuidad, que establecen la correspondencia única entre los puntos de una recta y los números reales. En este sentido Klein habla del trayecto (path curve) descrito por un punto \(A\) trasladado en cierta direccción, trayecto que es una línea recta. Al moverse el punto en una dirección dada recorre una línea recta, y va pasando de forma continua por los puntos de la recta en que \(A\) se aplica por las traslaciones en esa dirección.

Tras todo lo anterior se consigue relacionar todo punto del plano con su par de coordenadas numéricas. Podemos emplear el aparato analítico y expresar que toda línea recta viene dada por una ecuación de primer grado \(\alpha x + \beta y + \gamma =0\), que por ello se llama ecuación lineal.

Hasta aquí, usando el subgrupo de \(\infty ^2\) traslaciones podriamos también deducir la geometría afín y la proyectiva. En el ámbito de esta se citó el teorema de Möbius de que cada colineación es una transformación proyectiva, dada por tanto por una sustitución lineal integral o lineal fracional. Como en el caso métrico que nos ocupa los movimientos son colineaciones, pero transforman puntos finitos en puntos finitos, todo movimiento corresponderá a una sustitución lineal integral de las coordenadas \(x,y\).

Para llegar a introducir la noción de métrica y de ángulo entre líneas ya no bastan las traslaciones, hemos de usar el grupo entero de movimientos, como las rotaciones en torno a un punto \(O\) que dejan al mismo fijo. Por el axioma anterior, solo hay un movimiento que lleve un rayo \(a\) a otro \(a'\), ambos pasando por \(O\). Al igual que en las traslaciones se asumía una continuidad, y un punto trazaba un trayecto rectilíneo, las rotaciones de forma continua llevan un punto \(A\) distinto a \(O\) según un trayecto cerrado, comunmente llamado circunferencia de centro \(O\). Los segmentos \(OA\), \(OA'\), etc., para cada punto del trayecto de \(A\) por las rotaciones en torno a \(O\), son congruentes.

También la repetición de rotaciones puede establecer una escala numérica para las mismas, como pasaba con las traslaciones. Como hay una rotación que debe equivaler a la identidad, podría tomarse como unidad, pero por tradición Klein elige la rotación de ángulo recto, aquella que repetida cuatro veces equivale a la identidad. En tal caso las rotaciones se parametrizan por el intervalo desde \(0\) a \(4\).

Las traslaciones permiten llevar la escala de las rotaciones respecto a un punto \(O\) para usarla en las rotaciones respecto a otro punto \(O_1\). Para ello se emplea el carácter de grupo que tienen los movimientos. Se consigue así el equivalente a "todos los ángulos rectos son congruentes" de los elementos de Euclides.

Las rotaciones permiten llevar la escala sobre una línea \(x\) a otra \(y\) que la corte, dando sentido al concepto de distancia entre dos puntos. Y con el ángulo recto disponible, podemos emplear las coordenadas rectangulares en lugar de las coordenadas paralelas generales.

Para determinar las expresiones analíticas de las rotaciones en coordenadas rectangulares, Klein apela al conocimiento de la exponencial compleja. Por esa vía, sin apelar a noción geométrica alguna, se llega a la conveniencia de usar como escala de rotaciones no 1 para el ángulo recto, sino \(\pi/2\), con lo que una rotación de parámetro o ángulo \(\omega\) se expresa por las fórmulas habituales. Entonces, interpretando geometricamente los resultados analíticos, se deduce el teorema de pitágoras, y el significado geométrico de las funciones trigonométricas. Se tienen las expresiones analíticas de la distancia entre dos puntos, o del ángulo entre dos direcciones.

Finalmente se introduce el concepto de área, llegando a la expresión del área de un triángulo mediante el determinante con los tres pares de coordenadas, expresión con la que se empezó la obra. También trata la noción de curva plana en general, la de longitud del arco de una curva, y la de área del sector entre la curva y dos radiovectores a puntos sobre la misma.

En resumen,

este primer desarrollo de la geometría se caracteriza por situar en primer plano la existencia y la estructura de un grupo triparamétrico de movimientos, introduciendo coordenadas para hacer las subsiguientes inferencias exclusivamente dentro del campo de la aritmética.

Otro desarrollo de la geometría métrica - El rol del axioma de las paralelas

La alternativa al primer desarrollo expuesto sigue la senda empleada desde Euclides, evitando escrupulosamente usar la idea de movimiento, pues ello conllevaría usar la noción de tiempo, ajena a la geometría.
Primero se parte como antes de los puntos, líneas y axiomas de conexión, orden y continuidad. En segundo lugar se introducen de principio la distancia entre dos puntos y el ángulos entre dos líneas, junto con los axiomas que permitan su medida mediante números. En tercer lugar, a falta de movimientos, se llega al primer teorema de congruencia: si dos triángulos tienen iguales dos lados y el ángulo incluido, entonces son congruentes, iguales en todas sus partes. Después puede proseguirse con la presentación tradicional del teorema de pitágoras y otros resultados.

Pero resulta necesario introducir un último axioma referido a la teoría de las paralelas. En el primer desarrollo, el carácter del grupo de traslaciones establecía las paralelas como caminos trazados a resultas de las traslaciones en la misma dirección. Pero ahora, considerando una línea \(g\) y un punto exterior \(O\), los rayos desde \(O\) a puntos distintos de \(g\) que se alejan de \(O\) en uno u otro sentido llegan a definir en el límite de alejamiento infinito dos rayos, candidatos a ser llamados "paralela a \(g\) que pasa por \(O\)". El axioma necesario viene a decir que esas dos posibiliddes son una misma y única línea, la paralela a \(g\) por \(O\).

Cita Klein los intentos, desde la antigüedad, de convertir este hecho intuitivamente cierto en teorema deducible del resto de axiomas precedentes, y que sólo en el siglo XIX se llegó a establecer que otra geometría sin ese axioma de las paralelas era posible. Artífices principales fueron Gauss, en secreto, y el ruso Lobatschefsky y el húngaro Bolyay. Pero a continuación cita Klein a otro protagonista, Riemann, y su famoso "Über die Hypothesen welche der Geometrie zugrunge liegen". Ahí Riemann cuestiona la suposición de que la línea recta haya de ser de longitud infinita, y diferencia entre los conceptos de espacio infinito y espacio ilimitado. La superficie de una esfera no es infinita, pero es ilimitada. En ella la línea recta puede ser una curva cerrada, similar al círculo. Los rayos desde un punto exterior \(O\) a los puntos de una recta tal, al alejarse por ambos lados de la cercanía de \(O\) pueden "dar la vuelta" y retornar a las cercanías de \(O\), resultando que ¡no hay paralela alguna a \(g\) pasando por \(O\)! Aparece pues con Riemann una segunda clase de geometría no euclídea, en contraste con la descubierta por Gauss, Bolyai y Lobatschefsky.

Esto puede al principio parecer paradójico, pero el matemático observa pronto aquí una relación con la teoría ordinaria de las ecuaciones cuadráticas, que apunta una mejor comprensión del asunto. De hecho, una ecuación cuadrática tiene dos raices reales diferentes, o ninguna (siendo ambas imaginarias), o bien, como caso de transición, una raíz real doble. Esto es enteramente análogo a las dos paralelas diferentes de Gauss, a la ausencia de paralelas en Riemann, y finalmente al caso de transición de una paralela contada en dos formas, como la misma posición límite, en la geometría euclídea.

Tras lo cual Klein entra en unas breves consideraciones "filosóficas". La aparición de alternativas geometrías no euclídeas con soporte lógico igual de válido que la euclídea indica la insuficiencia de nuestra percepción para establecer la validez de un postulado como el de las paralelas.

En vista del hecho de que nuestra percepción espacial está adaptada solo a una parte limitada de espacio, y solo con un limitado grado de precisión, puede obviamente ser satisfecha tanto por una de las geometrías no euclídeas como por la euclídea.

Después entra Klein en el tratamiento matemático de la geometría no euclídea a través de la geometría proyectiva. Desde esta se había llegado a la geometría métrica adjuntando una forma cuadrática especial, \(\Phi_0=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\), en coordenadas de plano, y que igualada a cero representaba el círculo esférico imaginario. Las expresiones para el ángulo entre dos planos y la distancia entre dos puntos eran invariantes simultáneos de la figura dada (los dos planos o los dos puntos) y la forma \(\Phi_0\).
Pues bien, a la geometría no euclídea se llega por el mismo camino pero empleando otra forma cuadrática "próxima" a la anterior, \(\Phi =\alpha^2+\beta^2+\gamma^2- \epsilon \delta^2\), siendo \(\epsilon\) un parámetro que puede llegar a ser arbirariamente pequeño, positivo (caso no euclideo de Gauss), negativo (caso no euclideo de Riemann), o nulo (caso euclideo precedente con \(\Phi_0\)).

La adaptación para encontrar la expresión no euclídea del ángulo entre planos es bastante directa. Para la distancia no euclídea entre dos puntos hay más detalles, pero juega un papel esencial la forma \(f=\epsilon(\xi^2+\eta^2+\zeta^2) - \tau^2\).

Si buscamos el significado geométrico de la forma \(f\), y de las expresiones analíticas alcanzadas, resulta que tenemos, para \(\epsilon>0\), la geometría no euclídea de la primera clase, para \(\epsilon<0\) la de la segunda clase, y para \(\epsilon=0\) por supuesto la geometría euclídea. Desde luego no puedo dar aquí el argumento completo. Para ello he de referirles a mi artículo en el volumen 4 del Mathematische annalen. Entonces propuse para estas tres geometrías los nombres hiperbólica, elíptica, y parabólica, pues la existencia de dos paralelas reales, dos imaginarias, o dos coincidentes, corresponde precisamente con el comportamiento de las asíntotas de estas tres cónicas, respectivamente. Encontrará estos nombres frecuentemente en la literatura.

Volviendo a la primera forma de desarrollar la geometría euclídea, basada en los movimientos, la configuración del grupo de traslaciones llevaba ya implícita el axioma euclideo de las paralelas. Pero la geometría no euclídea puede desarrollarse también así.

Una ecuación homogénea general de segundo grado tiene diez términos y por tanto nueve constantes esenciales. En la colineación espacial más general hay quince parámetros arbitrarios, de modo que hay una sextuple infinidad de colineaciones que transforman una forma cuadrática dada, por ejemplo nuestra forma \(\Phi\), en sí misma. De hecho, esta es la condición de que las relaciones de medida que hemos introducido deban permanecer sin cambio. Así pues, también en cada geometría no euclídea hay un grupo sextuple-infinito de "movimientos" que dejan inalterados \(\omega\) y \(r\). (ángulo entre planos y distancia entre puntos)

Pero en el caso no euclideo no hay un subgrupo de los "movimientos" que pueda jugar el papel de las traslaciones en el caso euclideo.

Concluye Klein esta parte con varias observaciones: el reconocimiento de la geometría no euclídea y su relación con otras ramas de la matemática; la necesidad de que los maestros conozcan algo sobre la geometría no euclídea, pero que esta no se incluya en la docencia normal de la escuela. Sobre la influencia de la geometría no euclídea, destaca su impulso para estudiar el papel de cada uno de los axiomas y su dependencia lógica, en especial los de continuidad, y cita como fruto ejemplar de tales esfuerzos los "Grundlagen del Geometrie" de Hilbert. Pueden desarrollarse "pseudogeometrías" discretas, prescindiendo de los axiomas de continuidad, o una geometría no arquimediana. Lejos queda con esto la pretensión de una, la geometría, acorde con nuestra percepción.

Pero Klein se opone, no obstante, a una corriente nominalista en que todo se reduzca a un juego lógico con axiomas establecidos "por capricho"

Los axiomas de la geometría, de acuerdo a mi forma de pensar, no son arbitrarios, sino asertos razonables, inducidos en general por la percepción, y determinados en cuanto a su contenido preciso por su conveniencia.

El remate final del libro aborda consideraciones sobre las matemáticas griegas y sobre su obra principal, los Elementos de Euclides. Klein discrepa con la idea general de que los griegos de la antigüedad se esmeraron en unos pocos campos de saber en los que alcanzaron los mayores logros, como el de la geometría en el caso de las matemáticas, y con la excesiva consideración por los Elementos:

Los Griegos trabajaron fructíferamente no solo en geometría, sino en los más variados campos de las matemáticas; sin embargo hoy hemos ido más allá que ellos en todos los campos y ciertamente también en geometría.

No es una postura arrogante de Klein, sino tratar con justicia los Elementos. Esta obra de Euclides tiene un caracter muy específico, es un compendio o recolección pensada como una introducción, útil como preparación para los estudios filosóficos en general, interesada en construir un sistema lógico cerrado. Para tal fin Euclides prescindió de gran cantidad de conocimiento matemático existente en la época, como el referente a las cónicas sobre las que el mismo Euclides escribió una obra hoy perdida. Tampoco son representativos los Elementos de la forma de entender la matemática de los Griegos. Representa una corriente despectiva con los aspectos prácticos, o de matemática aplicada, como algo inferior. En contraste Klein cita la obra de Arquímedes y el carácter más global, incluyendo aspectos genéticos (como en el Método, los aspectos de génesis de las ideas que luego se plasman con rigor), práctivos y de cómputo, como la aproximación de \(22/7\) para \(\pi\). Como al parecer de Klein esa visión despectiva de los aspectos prácticos persiste en su tiempo, en la docencia de algunas universidades, deja clara su posición al respecto:

Debemos valorar con alta estima cualquier logro admirable, ya sea en el campo teórico o en el práctico, y debemos permitir que cada individuo se dedique a aquello a lo que sienta mayor inclinación. De esta forma cada persona se sentirá más versatil cuantos más talentos posea. Los más eminentes matemáticos, como Arquímedes, Newton, Gauss, siempre han incluido uniformemente tanto la teoría como las aplicaciones.

Tambien señala Klein algunas de las carencias de las matemáicas Griegas que se remediaron sólo con el Renacimiento: no tenían una aritmética o análisis independientes, ni fracciones decimales, ni una notación con el uso de letras, ni números negativos o imaginarios, su cálculo era geométrico, con operaciones que habían de interpretarse como segmentos u otras magnitudes geométricas y no con números.

En el repaso de los 13 libros de Euclides elogia especialmente el quinto, al parecer debido a Eudoxo, en que se establece en forma geométrica el equivalente del número real positivo, equiparable al desarrollo moderno de Dedekind.

Lo que se hace en el libro V es definir la igualdad entre dos razones \(a/b\) y \(c/d\)
de segmentos cualesquiera \(a,b,c,d\). La razón \(a/b\) la llama Euclides logos, y la igualdad de las dos razones, analogía, pero el significado de esta palabra ha sufrido una deriva, salvo en trigonometría al citar las analogías de Neper. Son agradables estos toques léxicos de Klein.


La igualdad de las razones se establece si resulta que para cualesquiera enteros \(m,n\), resulta que si \(m a > n b\) entonces \(m c > n d\), y si \(m a = n b\) entonces \(m c = n d\), y si \(m a < n b\) entonces \(m c < n d\).


Lo que no le gusta a Klein es que pueda seguirse enseñando en las escuelas esta exposición euclídea cuando los alumnos han tenido ya una presentación moderna del mismo tema, lo que puede conducir más a confusión que a otra cosa.

Los libros 7, 8 y 9 dedicados a la teoría de enteros y las fracciones racionales, en forma parcialmente geométrica, se muestra ajeno por completo al libro 5. En la actualidad, las fracciones racionales son un tipo especial de número real. El libro 10 es "especialmente tedioso y difícil de entender debido a su forma geométrica de expresión". Ya en el libro 11 empieza la estereometría, pero separada completamente de la planimetría. EL libro 12 aplica el método de exhaución. El 13 contiene la teoría de los sólidos regulares.

Con los Elementos la intención de Euclides era "la derivación lógica de todos los teoremas geométricos a partir de un conjunto de premisas establecidas de antemano". La nobleza del ideal ha dotado de una autoridad a los Elementos que hace que algunos (en Inglaterra especialmente) les consideren como insuperable exposición de los fundamentes de la geometría. Klein no discute el mérito e importancia histórica de los Elementos, pero hace un examen de los mismos desde la modernidad.


Y aquí concluye el repaso a la Geometría de La Matemática Elemental desde un punto de vista superior, de Felix Klein.

EMAS Geometry 8 - Discusión sistemática

Klein presenta su visión de la estructura de la geometría, desarrollada en el famoso Erlanger Programm de 1872. Los elementos geométricos se representan por coordenadas. Se admite un cierto grupo de transformaciones que cambian las coordenadas. La geometría se ocupa de aquellas relaciones entre coordenadas que no cambian ante tales transformaciones, es la teoría de sus invariantes.

Distintos grupos de transformaciones dan lugar a distintos tipos de geometría. Los movimientos (traslaciones, rotaciones , reflexiones) dan lugar a la geometría métrica, donde tienen sentido conceptos como distancia entre puntos y ángulo entre rectas, o que una cónica tiene determinados focos y ejes principales. Con las más amplias transformaciones afines se pierde el concepto invariante de distancia, ángulo, o la distinción entre círculo y elipse; pero se mantienen conceptos como el paralelismo entre rectas, centro y diámetros conjugados de una cónica, y la clasificación de las mismas en tres clases, o la diferencia entre finito e infinito.

Más generales que las afines son las transformaciones proyectivas. Ahora desaparece toda barrera entre las cónicas, o entre lo finito y el infinito. Pero persiste la relación entre polo y polar respecto de una cónica.

Otro tipo de transformaciones como las de radios recíprocos dan lugar a una geometría en que línea y círculo, o plano y esfera, son miembros de un mismo colectivo.

Los grupos de transformaciones pueden depender de un número finito, o incluso infinito, de parámetros. En el espacio, las transformaciones proyectivas dependen de 16 coeficientes, pero como es inesencial un factor multiplicador, su grupo depende de 15 parámetros independientes; un subgrupo del anterior es el de las transformaciones afines, que depende de 12 parámetros; y un subgrupo de este es el llamado grupo principal, que depende de 7 parámetros: los movimientos comportan 6, y el cambio de escala 1.

A partir de la geometría de un grupo, imponiendo ciertas condiciones restrictivas, se obtiene la geometría de un subgrupo. Del más general grupo proyectivo se pasa al afín imponiendo que el plano en el infinito permanezca inalterado, lo que se plasma en 3 ecuaciones, que reducen el número de parámetros de 15 a 12. Y si a las transformaciones afines se les impone dejar invariante, además del plano del infinito, el círculo esférico imaginario, entonces se obtiene el grupo principal con 7 parámetros. Este círculo es una cónica con 6 constantes homogéneas, es decir, su invariancia impone 5 condiciones, que hacen pasar los parámetros "libres" de 12 a 7.

Esta forma de ver las cosas se debe a A. Cayley, en 1859, que declaró "la geometría proyectiva es toda la geometría", dado que la geometría afín y la métrica pueden presentarse como casos concretos englobables dentro del marco proyectivo. Por ejemplo, que métricamente una recta sea perpendicular a un plano se corresponde con que el punto en que la recta corta al plano en el infinito, y la recta en que el plano corta al plano en el infinito, son polo y polar respecto del círculo esférico imaginario, toma proyección.

En este punto se abre una digresión para entender cómo el principio de Cayley "hace posible una estructura sistemática completa de la geometría sobre una base analítica", gracias al desarrollo de la teoría de invariantes de las sustituciones lineales.

Tenemos unas variables \(\xi,\eta,\zeta,\tau\) , que podemos someter a sustituciones lineales generales

\begin{equation}\label{ec1p136}
\begin{aligned}
\xi' & = a_1 \xi + \ldots + d_1 \tau\\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\tau' & = a_4 \xi + \ldots + d_4 \tau
\end{aligned}
\end{equation}

¿Cómo afectan estas sustituciones a posibles expresiones que dependan de uno o más conjuntos de tales variables?

Por ejemplo, pueden considerarse funciones enteras racionales homogéneas, llamadas formas. Concretamente una forma lineal se define por

\begin{equation}
\phi = \alpha \xi + \ldots + \delta \tau
\end{equation}
y una forma cuadrática por

\begin{equation}
f = A \xi^2 + \ldots + 2G\xi \tau + \ldots + K \tau^2
\end{equation}
Nos preguntamos cómo se transforman los coeficientes de tales formas al someter las variables a las sustituciones \eqref{ec1p136}. Resulta que para la forma lineal \(\phi\) tenemos que los antiguos coeficientes \(\alpha,\ldots,\delta\) se expresan en términos de los nuevos \(\alpha',\ldots,\delta'\) igual que las variables nuevas \(\xi',\ldots,\tau'\) se expresaban por \eqref{ec1p136} en términos de las variables viejas \(\xi,\ldots,\tau\), salvo por una transposición de la matriz de los coeficientes
\begin{equation}\label{ec2p137}
\begin{aligned}
\alpha & = a_1 \alpha' + \ldots + a_4 \delta' \\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\delta & = d_1 \alpha' + \ldots + d_4 \delta'
\end{aligned}
\end{equation}
Esta sustitución \eqref{ec2p137} transpuesta y con los roles de nuevo y viejo cambiados se llama contragrediente de la original \eqref{ec1p136}, y se dice que los coeficientes \(\alpha,\ldots,\delta\) on contragredientes a las variables \(\xi,\ldots,\tau\). Cualquier conjunto de valores similar a estos, \(\xi_1,\ldots,\tau_1\), \(\xi_2,\ldots,\tau_2\), ... que se someta a la sustitución \eqref{ec1p136} se llaman variables cogredientes.

En cuanto a las formas cuadráticas como \(f\), al realizar la sustitución \eqref{ec1p136} a cada factor de los productos \(\xi^2,\ldots,\xi\tau,\ldots,\tau^2\) que aparecen en ellas, se obtiene una relación lineal entre estos y \(\xi'^2,\ldots,\xi'\tau',\ldots,\tau'^2\).

\begin{equation}\label{ec3p138}
\begin{aligned}
\xi'^2 & = a^2_1 \xi^2 + \ldots + 2 a_1 d_1 \xi \tau + \ldots + d^2_1 \tau^2\\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\xi'^2 & = a^2_1 \xi^2 + \ldots + (a_1 d_4 + a_4 d_1) \xi \tau + \ldots + d^2_1 \tau^2\\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\tau'^2 & = a^2_4 \xi^2 + \ldots + 2 a_4 d_4 \xi \tau + \ldots + d^2_4 \tau^2\\
\end{aligned}
\end{equation}


También hay una relación lineal, precisamente cogrediente respecto de la anterior, entre los coeficientes "viejos" \(A,\ldots,G,\ldots,K\) y los "nuevos" \(A',\ldots,G',\ldots,K'\).

Con estos prolegómenos, Klein formula así el problema general de la teoría de invariantes:

Dado cualquier conjunto de puntos \(1,2,\ldots\), y también ciertas formas lineales, cuadráticas, o superiores, \(\phi_1,\phi_2,\ldots,f_1,f_2,\ldots\), llamamos invariante a una función de las coordenadas \(\xi_1,\ldots,\tau_1; \xi_2,\ldots,\tau_2; \ldots\) y de los coeficientes
\(\alpha_1,\ldots, \delta_1\) ; \(\alpha_2, \ldots, \delta_2\) ; ... ; \(A_1,\ldots,K_1\) ; \(A_2,\ldots; K_2\) ; ... que permanece inalterada bajo las sustituciones lineales \eqref{ec1p136} de las variables y las sustituciones asociadas del sistema de coeficientes que acabamos de determinar. Se ha de estudiar el agregado de todos los posibles invariantes.

A continuación aparecen unos términos tan conocidos como potencialmente confusos

Las palabras covariante y contravariante se usan a veces para tipos particulares de lo que en general se llaman invariantes. Si en la expresión invariante aparecen las propias variables \(\xi_1,\ldots,\tau_1; \xi_2,\ldots,\tau_2; \ldots\) , hablamos de covariantes; si aparecen los coeficientes de las formas lineales \(\alpha_1,\ldots, \delta_1;\alpha_2,\ldots, \delta_2;\ldots\), hablamos de contravariantes. Si unas sufren una sustitución lineal, las otras experimentan la sustitución contragrediente, ya empecemos con las variables, ya con los coeficientes. En cuanto a la interpretación geométrica, aquí estamos obviamente ante una expresión del principio de dualidad, pues \(\alpha,\ldots,\delta\) devienen coordenadas homogéneas de líneas o planos si consideramos \(\xi,\ldots,\tau\) como coordenadas de puntos.

La cita esta abreviada y un tanto editada. Actualmente, si partimos de un vector \(\mathbf{v} \in V\), a sus coordenadas \(v^i\), equivalentes a las \(\xi,\ldots,\tau\), se las llama contravariantes. Una forma es un vector del espacio dual, \(\boldsymbol{\sigma} \in V^*\), y a sus coordenadas \(\sigma_i\), equivalentes a las \(\alpha,\ldots,\delta\), se las llama covariantes. Cuando se define un producto escalar en \(V\), de dimensión finita, hay un isomorfismo canónico que asocia a cada vector de \(V\) una forma de \(V^*\), y las coordenadas de ésta pueden considerarse las coordenadas covariantes \(v_i\) del vector \(\mathbf{v}\). Lo que no se ha perdido es la idea de dualidad.

Klein concreta aún más la noción de invariante, circunscribiendose a las funciones racionales de las coordenadas y los coeficientes que sean homogéneas en las coordenadas de cada punto y los coeficientes de cada forma. Entonces tal invariante puede ponerse como cociente de dos funciones enteras racionales homogéneas, que pueden no ser invariantes en sí mismas, llamándose en tal caso invariantes relativos. Cada uno de ellos, numerador y denominador, puede transformarse cual invariante, salvo por un factor, que necesariamente ha de ser una potencia del determinante \(r\) de los términos que definen la transformación \eqref{ec1p136}. Si el factor es \(r^\lambda\) el invariante es relativo de peso \(\lambda\). Para que el cociente sea un invariante absoluto, numerador y denominador deben ser invariantes relativos con el mismo peso. Los invariantes relativos más sencillos son los polinomios de menor grado posible formados con las variables. A partir de ellos pueden formarse los de grado mayor. Mediante productos y sumas de invariantes relativos de igual peso pueden deducirse nuevos invariantes. Uno de los grandes logros de Hilbert fue demostrar que para todo número finito de cantidades dadas siempre hay un "sistema completo de invariantes", finito, a partir del cual todos los demás pueden construirse racional e integralmente, es decir, mediante cocientes de polinomios. No está de más recordar la nomenclatura de Klein.

El ejemplo más sencillo descrito por Klein es el de los invariantes formados con las coordenadas \(\xi_i,\tau_i\) de \(n\) puntos en el plano. Las transformaciones a considerar son
\begin{equation*}
\begin{split}
\xi' & = a_1 \xi + d_1 \tau \\
\tau' & = a_4 \xi + d_4 \tau
\end{split}
\end{equation*}

Entonces

\begin{equation}
\Delta'_{ik} = \left\lvert
\begin{array}{lcl}
\xi'_i & \tau'_i \\
\xi'_k & \tau'_k
\end{array} \right\rvert = \left\lvert
\begin{array}{lcl}
a_1 \xi_i+ d_1 \tau_i & a_4 \xi_i+ d_4 \tau_i \\
a_1 \xi_k + d_1 \tau_k & a_4 \xi_k+d_4 \tau_k
\end{array} \right\rvert = \left\lvert
\begin{array}{lcl}
a_1 & d_1 \\
a_4 & d_4
\end{array} \right\rvert \cdot \left\lvert
\begin{array}{lcl}
\xi_i & \tau_i \\
\xi_k & \tau_k
\end{array} \right\rvert = r \Delta_{ik}
\end{equation}
Los \(n(n-1)/2\) invariantes \(\Delta_{ik}\) de peso \(1\) forman el sistema completo de invariantes. A partir de ellos cualquier invariante relativo puede ponerse como suma de términos \( C \cdot \Delta^s_{ik} \cdot \Delta^t_{lm}\) que tengan igual peso \(s+t\). Cualquier invariante absoluto puede ponerse como cociente de dos inavriantes relativos de igual peso. Un invariante absoluto bien sencillo sería por ejemplo \(\Delta_{ik} / \Delta_{lm}\).

De paso Klein nos explica qué es un syzygy, una identidad entre invariantes del sistema completo, que indica un "acoplamiento" entre invariantes. En el caso del plano, y de los invariantes formados con las coordenadas de \(4\) puntos, resulta que un syzygy es
\begin{equation}\label{ecCp141}
\Delta_{12} \Delta_{34} + \Delta_{13} \Delta_{42} +\Delta_{14} \Delta_{23} =0
\end{equation}
Si se tienen varios syzygys, pueden combinarse para dar otros, y resulta que también hay un sistema completo de los mismos a partir de los que se obtienen todos los demás. En el caso de los \(4\) puntos del plano el anterior es el único syzygy.

El "inciso invariante" cobra sentido cuando Klein aplica la teoría de invariantes a la geometría. Si se toman las variables \(\xi,\ldots,\tau\) como coordenadas rectangulares ordinarias (no homogéneas) en un espacio \(n\)-dimensional, las sustituciones lineales homogéneas \eqref{ec1p136} de la teoría de invariantes representan las transformaciones afines de tal espacio que mantienen el origen fijo. Un invariante relativo, salvo por una constante, no se altera por esas transformaciones, luego tiene un significado geométrico en la geometría afín. Recíprocamente, toda magnitud geométrica afín debe poder expresarse mediante el sistema completo de invariantes.

En el caso de dos dimensiones, el invariante relativo \(\Delta_{12}\) representa dos veces el área del triángulo determinado por el origen \(0\) y los puntos \(1,2\), lo que se denotó al principio del libro mediante \((012)\). El cociente \(\Delta_{12}/\Delta_{34}\) es un invarante absoluto, como absoluto es el carácter de la ecuación \(\Delta_{12}=0\) que indica que los tres puntos son colineales.

Para un conjunto de puntos bidimensionales \(1,2,3,4,\ldots\) el sistema completo de invariantes son los \(\Delta_{ik}\). Recordando lo visto en la primera parte, el área del polígono formado por cuatro puntos era

\begin{equation}
(1,2,3,4) = \Delta_{12} +\Delta_{23} +\Delta_{34} +\Delta_{41}
\end{equation}
ejemplo de que una carácterística geométrica se expresa polinómicamente en términos del sistema completo de invariantes. El syzygy \eqref{ecCp141} representa, geométricamente, una identidad entre las áreas de los seis triángulos formados por cuatro puntos arbitrarios y el origen, un teorema general de la geometría afín. Y todo teorema, como relación expresable entre invarientes, conllevará un syzygy. Es decir

la teoría de los invariantes permite la enumeración sistemática de todas las posibles magnitudes y teoremas, sin excepción, pues suministra el sistema completo de invariantes y syzygys

Pero hay otra forma de interpretar las variables \(\xi,\ldots,\tau\): como \(n\) coordenadas homogéneas de un espacio proyectivo \(n-1\) dimensional. Dos transformaciones como \eqref{ec1p136} que difieran en un factor constante serán equivalentes. Como las coordenadas que interesan son los cocientes \(\xi/\tau,\ldots\), en el marco de la geometría proyectiva de entre todos los invariantes hay que considerar solo aquellos que sean homogéneos de orden cero en las variables \(\xi,\ldots,\tau\).

En el caso de dos variables \(\xi,\tau\), tenemos la recta proyectiva cuyos puntos se indican por la coordenada \(x= \xi/\tau\). Que un invariante \(\Delta_{12}\) tome un valor concreto no tiene sentido proyectivamente, salvo que se anule, lo que indica simplemente la obviedad que \(1\) y \(2\) coinciden.

Para tener un invariante numérico hay que considerar al menos cuatro puntos, para poder formar el cociente
\begin{equation}\label{ecBp146}
\frac{\Delta_{12}\Delta_{34}}{\Delta_{14}\Delta_{32}}
\end{equation}
que es homogéneo de dimensión cero en cada uno de los cuatro pares de variables \((\xi_1,\tau_1),\ldots,(\xi_4,\tau_4)\), luego es un invariante absoluto, el más simple posible, y que no es otra cosa que... ¡la razón doble!.

El syzygy fundamental \eqref{ecCp141} cobra ahora otra interpretación. Dividiendo por el último sumando y teniendo en cuenta \(\Delta_{23}=-\Delta_{32}, \Delta_{24}=-\Delta_{42}\)
\begin{equation}
\frac{\Delta_{12}\Delta_{34}}{\Delta_{14}\Delta_{32}}=1-\frac{\Delta_{13}\Delta_{24}}{\Delta_{14}\Delta_{23}}
\end{equation}
que relaciona la razón doble de \(1,2,3,4\) definida por \eqref{ecBp146} con la formada por los mismos puntos al permutar \(2\) con \(3\). Con otras formas de manipular el syzygy \eqref{ecCp141} se deducen las relaciones entre los seis valores distintos que surgen de la razón doble de cuatro puntos con todas las permutaciones posibles en su orden.

Tras indicar la relación de la teoría de invariantes con las magnitudes y teoremas de las geometrías afín y proyectiva, Klein remata con la sistematización de la geometría afín y métrica basada en el principio de Cayley:

la geometría afín, o la geometría métrica, surgen de la geometría proyectiva cuando adjuntamos a la variedad dada el plano en el infinito \(\tau=0\), o este plano junto con el círculo esférico imaginario \(\tau=0, \xi^2+\eta^2+\zeta^2=0\), respectivamente.

En el caso más sencillo de la geometría afín, de entre todas las transformaciones proyectivas nos quedamos con el subgrupo que deja invariante el plano del infinito, de modo que toda transformación de dicho subgrupo siempre transforma un punto de ese plano en otro punto del mismo plano \(\tau=0\). Recordemos que en el espacio \(4\)-dimensional todo plano que pasa por el origen viene dado por
\begin{equation}
\alpha \xi +\beta \eta + \gamma \zeta + \delta \tau = 0
\end{equation}
siendo las coordenadas de plano \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) , y \((\xi,\eta,\zeta,\tau)\) las coordenadas de punto. Esa expresión analítica muestra la dualidad punto-plano. Pues bien, también podemos considerar las coordenadas de plano como los coeficientes de una forma \(\phi\). El plano del infinito se describe por las coordenadas de plano \((0,0,0,1)\). Podemos considerar que viene representado por la forma \(\phi_\infty = 1 \cdot \tau\), que se anula precisamente para todo punto del plano del infinito.

Klein no usa la notación \(\phi_\infty\). Más bien habla de la forma \(\tau\) usando la misma letra que se emplea para la última de las coordenadas \(\xi,\eta,\zeta,\tau\), lo que me resultaba confuso.

Esta forma concreta es la que, en la teoría de invariantes, hemos de considerar adjunta al sistema de cantidades (coordenadas de puntos, formas, etc) que se quiera considerar. El valor de esa forma (como de cualquiera) es un escalar, por propia definición de lo que entendemos por forma. El adjuntar la forma \(\phi_\infty\) quiere decir que los invariantes relativos de la geometría afín necesitarán emplear esa forma. Por ejemplo el volumen del tetraedro determinado por \(4\) puntos \(P_i(x_i,y_i,z_i)\) se expresa por
\begin{equation*} T =
\left\lvert \begin{array}{cccc}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}\right\rvert =
\frac{1}{\tau_1 \tau_2 \tau_3 \tau_4}
\left\lvert \begin{array}{cccc}
\xi_1 & \eta_1 & \zeta_1 & \tau_1 \\ \xi_2 & \eta_2 & \zeta_2 & \tau_2 \\ \xi_3 & \eta_3 & \zeta_3 & \tau_3 \\ \xi_4 & \eta_4 & \zeta_4 & \tau_4
\end{array}\right\rvert
\end{equation*}
El determinante de la derecha es un invariante relativo fundamental de \(4\) puntos, lineal en las coordenadas de cada punto. En el denominador tenemos los valores de la forma \(\phi_\infty\) para cada uno de los cuatro puntos, es decir, podriamos haber puesto más exactamente \(\phi_\infty (P_i)\) en lugar de cada \(\tau_i\). La clave es que el cociente \(T\) es un invariante relativo homogéneo de dimensión cero en la coordenadas de cada punto. Esta era la condición expresada antes, para interpretar la teoría de invariantes con \(n\) variables en un marco proyectivo de dimensión \(n-1\). Tenemos que las \(4\) coordenadas homogéneas \((\xi,\eta,\zeta,\tau)\) correponden a un espacio proyectivo tridimensional, y el espacio afín tridimensional ( y sus invariantes relativos) se obtiene al hacer intervenir la forma \(\phi_\infty\). En el caso general proyectivo para conseguir un invariante relativo homogéneo de grado cero puede usarse cualquier forma. En el caso específico afín nos limitamos a lo que pueda conseguirse con \(\phi_\infty\).

La restricción a la geometría métrica se consigue adjuntando una forma cuadrática en coordenadas de plano. El círculo esférico imaginario, que se describe en coordenads de punto por el par de ecuaciones \(\tau=0\) y \(\xi^2+\eta^2+\zeta^2=0\), puede expresarse en coordenadas de plano mediante una sola ecuación \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0\), que es la que cumplen todos los planos envolventes del círculo esférico imaginario.

Un plano tangente a uno de los puntos \((\xi_P,\eta_P,\zeta_P,0)\) debe tener coordenadas \((\alpha_P,\beta_P,\gamma_P,\delta_P)\) que cumplan \(\alpha_P \xi_P +\beta_P \eta_P + \gamma_P \zeta_P + \delta_P 0 = 0 \), lo que se consigue con \(\alpha_P=\xi_P,\beta_P=\eta_P,\gamma_P=\zeta_P\) y entonces también se anula la suma de los cuadrados de estas coordenadas de plano, excluyendo la irrelevante \(\delta_P\). 

Se considera la forma cuadrática en coordenadas de plano \(\Phi_0=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\), definida por unos coeficientes \((1,1,1,0)\). Esta es la forma a adjuntar (al sistema de magnitudes de las que obtener los invariantes) para conseguir la geometría métrica, empleando la dualización punto-plano cuando sea menester. Por ejemplo, en la expresión del ángulo entre dos planos (o dos formas) \(\phi_1=(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1)\) y \(\phi_2=(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2,\delta_2)\)
\begin{equation}
\omega = arc cos \left( \frac{\alpha_1 \alpha_2 +\beta_1 \beta_2 +\gamma_1 \gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2}\sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}} \right)
\end{equation}
aparecen los valores de la forma cuadrática \(\Phi_0\) para cada forma: \(\Phi_0(\phi_1)\) y \(\Phi_0(\phi_1)\), y su versión bilineal, la denominada por Klein forma polar
\begin{equation}
\Phi_{0b}(\phi_1,\phi_2) = \alpha_1 \alpha_2 +\beta_1 \beta_2 +\gamma_1 \gamma_2
\end{equation}
Entonces " \(cos(\omega)\) es homogéneo de dimensión cero en cada uno de los dos sistemas \(\alpha_1,\ldots,\delta_1\) y \(\alpha_2,\ldots,\delta_2\) así como en los coeficientes \(1,1,1,0\) de la forma cuadrática dada, de modo que la expresión tiene un significado independiente en la geometría métrica".

En el caso de la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dualmente la forma cuadrática \(\Phi_0\) aplicada a coordenadas de punto, en vez de a coordenadas de plano. El determinante de los coeficientes de la forma es un invariante, del que pueden obtenerse otros cuando se flanquea el determinante con columna(s) y fila(s) (a la derecha y abajo) con las coordenadas de un punto (o de varios). Flanqueando con las coordenadas de cada punto \(P_1\) o \(P_2\), o con las de ambos, se llega a expresar la distancia entre ambos mediante tales invariantes, en un cociente homogéneo de dimensión cero. Pero la distancia así obtenida resulta ser un invariante de peso \(-2\), y por tanto no es un invariante absoluto. El invariante absoluto se consigue adjuntando un segmento arbitrario, tomado como unidad, y usando el cociente entre la distancia de dos puntos cualesquiera y la distancia entre los extremos del segmento.

En el marco de la teoría de invariantes cobra más sentido el principio del determinante de Grassmann, empleado al principio de la obra para definir las magnitudes geométricas elementales. También se desprende que "el principio del determinante de Grassmann es algo especial, y no da por sí mismo todas las variedades de la geometría afín". A esta conclusión llega Klein tras estudiar el ejemplo de geometría tridimensional afín con centro fijo, y cómo se transforman los nueve términos obtenidos al multiplicar cada coordenada \(\xi_1,\eta_1,\tau_1\) de un punto por las de otro \(\xi_2,\eta_2,\tau_2\).

\begin{equation}
\xi_1\xi_2, \ \ \xi_1\eta_2, \ \ \xi_1\tau_2, \ \ \eta_1\xi_2, \ \ \eta_1\eta_2, \ \ \eta_1\tau_2, \ \ \tau_1\xi_2, \ \ \tau_1\eta_2, \ \ \tau_1\tau_2
\end{equation}
Con esos nueve términos pueden formarse seis combinaciones simétricas respecto de las coordenadas de los dos puntos, y tres combinaciones antisimétricas.

\begin{equation}
\begin{split}
2\xi_1\xi_2, \ \ \xi_1\eta_2+\eta_1\xi_2, \ \ \xi_1\tau_2+&\tau_1\xi_2, \ \ 2\eta_1\eta_2 , \ \ \eta_1\tau_2+\tau_1\eta_2, \ \ \tau_1\tau_2 \\
\xi_1\eta_2-\eta_1\xi_2, \ \ \xi_1\tau_2-&\tau_1\xi_2, \ \ \eta_1\tau_2-\tau_1\eta_2
\end{split}
\end{equation}

Las combinaciones simétricas por un lado, y las antisimétricas por otro, se transforman entre sí, sin mezclarse con las de simetría diferente. Las nueve cantidades definen un tensor, que puede expresarse como suma de una parte simétrica y otra antisimétrica. Las tres componentes de la parte antisimétrica son las que pueden asociarse a una magnitud geométrica definida mediante el principio del determinante de Grassmann . Pero ajeno a este principio, en el "marco invariante" tenemos como significativos geométricamente el propio tensor general de nueve componentes, así como su parte simétrica.


En fin, esta es una parte especialmente "dura" de la obra de Klein, para leer (y releer) con calma y atención.

EMAS Geometry 7 - Teoría de lo imaginario

Ya me había tomado algún descanso de la lectura de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", cuando a la altura del final de la segunda parte me tuve que tomar unas vacaciones completas y ocuparme en lecturas más llevaderas.

Pero como dijo Euclides, al primero de los Ptolomeos, "no hay camino Real a la Geometría". La atribución de la cita la leo en la mejor historia concisa de las matemáticas, "A Concise History of Mathematics", de Dirk J. Struik, en la cuarta edición revisada editada por Dover Publications. Su gran valor bien merece el bajo precio de adquirir esta obra. Pero obviamente "concisa" indica que no es comparable a obras de otro calibre, como los tres tomos de "El Pensamiento Matemático desde la antigüedad a nuestros días", de Morris Kline, que ahora al parecer existe editada en un solo volumen.

El caso es que en la versión inglesa de Struik la frase de Euclides al rey Ptolomeo I es "there is no royal road to geometry"; por muy rey que sea, no hay acceso fácil. Pero queda muy bien el juego de palabras en la versión en castellano, para cambiar el sentido, tergiversar al pobre Euclides, y dar a entender que el camino a la geometría no es solamente Real, sino que tiene un sesgo Imaginario. Vamos, que es Complejo.

La geometría proyectiva, al incorporar elementos "impropios", como los puntos o la recta en el infinito, permite enunciar teoremas de una forma general, sin excepciones o casos particulares. Un beneficio similar se consigue en el álgebra, el análisis y la geometría analítica al incorporar los valores imaginarios, y trabajar con los números complejos en vez de simplemente con los reales. Se gana generalidad y una comprensión más profunda de muchos resultados, pero desde el punto de vista geométrico intuitivo perdemos pie. Aún así Klein intenta aplicar ambas incorporaciones a la vez y explicar algunos términos.

Seguimos empleando las coordenadas homogéneas ya conocidas, en el plano \(x:y:1 = \xi:\eta:\tau\), pero ahora se admiten para todas ellas valores complejos, no solo reales, aunque excluyendo como siempre la anulación simultánea de todas las coordenadas homogéneas. Un conjunto de puntos que satisfacen una ecuación cuadrática homogénea definen una curva de segundo grado, y si satisfacen una ecuación lineal definen una curva de primer grado. Una curva de primer grado y una de segundo siempre se intersecan en dos puntos, que pueden ser reales o complejos, a distancia finita o infinita, separados o coincidentes. De forma similar, en el espacio se definen de forma analítica las superficies de primer grado (un plano) o de segundo grado, y hay resultados generales sobre las intersecciones a las que dan lugar.

Un iniciador de tales resultados, en el caso concreto de círculos y esfera, fue Poncelet con su "Traité des propietés projectives des figures" de 1822. Empleó su fuerte sentido de continuidad geométrica, pero no las coordenadas homogéneas. Klein las emplea para expresar la ecuación del círculo
\begin{equation*}
(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2
\end{equation*}
en forma homogénea así
\begin{equation*}
(\xi - a \tau)^2 + (\eta - b \tau )^2 - r^2 \tau^2 = 0
\end{equation*}
La intersección de este círculo con la línea del infinito, \(\tau=0\), se describe por las dos ecuaciones
\begin{equation*}
\xi^2+\eta^2=0 \ \ , \ \ \tau=0
\end{equation*}
Las constantes \(a,b,r\) que caracterizan el círculo no aparecen, y por tanto todo círculo corta a la línea del infinito en los mismos dos puntos fijos, denominados puntos circulares imaginarios
\begin{equation*}
\xi : \eta = \pm i \ , \ \tau=0
\end{equation*}
Hay que recordar que las coordenadas homogéneas determinan un punto, salvo por un factor común, que ahora puede ser complejo. Coordenadas posibles de los puntos circulares imaginarios serían \((i,1,0)\) y \((-i,1,0)\), o cualquier múltiplo complejo.
En el espacio, por tanto con cuatro coordenadas homogéneas, una superficie de segundo grado se corta con otra de primer grado en una curva de segundo grado. Por ejemplo cualquier esfera corta el plano en el infinito en la misma cónica imaginaria, el círculo esférico imaginario
\begin{equation*}
\xi ^2 + \eta ^2 + \zeta ^2 = 0 \ \ , \ \ \tau=0
\end{equation*}
Aunque puede costar algo comprender el alcance de esta expresión analítica, más cuesta imaginar intuitivamente ese círculo, en el infinito, e imaginario. Pero sirve para cuadrar las cuentas: dos esferas, como superficies de segundo grado, deben cortarse en una curva de cuarto grado. En efecto siempre tenemos una intersección como un círculo, real o imaginario, y además el círculo esférico imaginario, el producto de esas dos curvas de segundo grado da la de cuarto.

Klein explica que una forma de hacer más reales los puntos circulares imaginarios (del plano) es someterles a la transformación imaginaria
\begin{equation*}
\xi' = \xi \ , \ \eta'=i \eta \ , \ \tau'=\tau
\end{equation*}
Entonces la ecuación \(\xi^2+\eta^2=0\) se convierte en \(\xi'^2-\eta'^2=0\) y convierte los puntos circulares imaginarios \(\xi : \eta = \pm i \ , \ \tau=0\) en los puntos reales en el infinito
\begin{equation*}
\xi' : \eta' = \pm 1 \ , \ \tau'=0
\end{equation*}
Estos puntos corresponden a las direcciones que hacen 45º con los ejes de coordenadas \(x', y'\). Todos los círculos se transforman en cónicas que "pasan" por estos puntos, es decir, en hipérbolas equilateras cuyas asíntotas hacen esos 45º con los ejes \(x'\) e \(y'\), aunque no pasan necesariamente por el origen de coordenadas.

¿Hay una forma puramente geométrica de expresar tales conceptos "imaginarios"? Poncelet y Steiner no fueron claros al respecto, pero von Staudt desarrolló ideas clave al respecto.
Por un lado, una curva dada por una ecuación con coeficientes reales determina un sistema polar, que proporciona una representación real, y puede usarse como objeto a investigar en vez de la curva. El sistema polar se define por la relación polo-polar asociada a una cónica. Si los coeficientes de ésta son reales, aún admitiendo para las coordenadas homogéneas valores complejos, siempre hay una relación para valores reales: un punto de coordenadas reales tiene asociada una polar real, incluso ¡aunque la cónica no tenga puntos reales! Además una cónica, al cortarse con una recta, determina en ésta una relación polar unidimensional, que es una involución. Esta involución tendrá dos puntos fijos, que pueden ser reales o imaginarios, pero en todo caso está definida perfectamente en base a su acción sobre puntos reales.

Un ejemplo, un círculo cualquiera se define en coordenadas homogéneas por
\begin{equation*}
\xi^2 + \eta^2- 2 a \xi \eta- 2 b \eta \tau + (a^2+b^2-r^2)=0
\end{equation*}
que se asocia a la relación polar
\begin{equation*}
\xi \xi' + \eta \eta' - a (\xi \tau' + \xi' \tau) - b(\eta \tau' + \eta' \tau) + (a^2+b^2-r^2) \tau \tau' =0
\end{equation*}
Esta relación polar induce, al considerar el corte del círculo con la recta en el infinito \(\tau=0=\tau'\), la relación polar unidimensional dada por

\begin{equation}\label{ec4bp123}
\xi \xi ' + \eta \eta' =0 \ , \ \tau = 0 \ , \ \tau'=0
\end{equation}
que como se ve es la misma para cualquier círculo, y es una involución. Esta relación está definida completamente en base a su comportamiento para valores reales. Las direcciones desde el origen hacia los dos puntos relacionados por la involución, \(P(\xi,\eta,0)\) y \(P'(\xi',\eta',0)\), son perpendiculares. Las tangentes a cualquier círculo (\(C_1\) o \(C_2\)) en una dirección dada, es decir, hacia un mismo punto del infinito \(P\), el polo, tienen asociadas polares (\(p'_1\), \(p'_2\)) que son perpendiculares a tal dirección, determinando por tanto otro punto \(P'\) en el infinito. Esta perpendicularidad geométricamente evidente, de las tangentes "reales" a los círculos y sus polares, ilustrada en la figura 92, página 122, de EMAS Geometry, es la plasmación de los dos puntos circulares imaginarios.

¡Puntos circulares imaginarios!

Estos son precisamente los puntos fijos de la involución definida por \eqref{ec4bp123}, aquellos que se relacionan consigo mismos. En efecto los puntos fijos deben cumplir \(\xi=\xi',\eta=\eta',\tau=\tau'=0\) y de \eqref{ec4bp123} se obtiene que \(\xi:\eta = \pm i\).

Da igual el punto \(P\) elegido sobre la recta del infinito como polo, la dirección de las tangentes, la polar siempre será perpendicular, y la involución definida en la recta del infinito será la misma, por lo que se denomina involución absoluta. Ésta es equivalente, en la idea de von Staudt, al concepto mismo de puntos circulares del infinito.

Toma ya moreno.

Pero para Klein esto es una forma de eludir lo imaginario más que una interpretación. Propiamente tal interpretación de los puntos, líneas y planos imaginarios la consiguió von Staudt en su "Beiträge" de 1856-60.
Empezamos asociando a un punto imaginario \(P\), dado por sus coordenadas homogéneas complejas

\begin{equation*}
\xi = \xi_1+ i \xi_2 \ , \ \eta = \eta_1+ i \eta_2 \ , \ \tau = \tau_1+ i \tau_2
\end{equation*}
los dos puntos reales \(P_1: \xi_1,\eta_1,\tau_1 \) y \(P_2: \xi_2,\eta_2,\tau_2 \), que no coinciden, no son proporcionales, si \(P\) es propiamente imaginario. Estos puntos determinan una recta real, que también contiene tanto al punto imaginario \(P\) como al conjugado \(\overline{P} : \xi_1- i \xi_2,\eta_1- i \eta_2,\tau_1- i \tau_2 \). Pero en la perspectiva proyectiva que hemos de mantener siempre, \(P\) se determina por sus coordenadas homogéneas salvo un factor común, complejo, como \(\rho = \rho_1 + i \rho_2\), y entonces podemos asociar a \(P\) otros pares de puntos reales \(P'_1, P'_2\).

Al dar todos los valores posibles a \(\rho_1, \rho_2\) se obtiene una variedad geométrica de puntos reales que representa al punto geométrico \(P\) de una forma netamente proyectiva. Dos pares de puntos igualmente representativos, como \(P_1,P_2\) y \(P'_1, P'_2\), están intercalados sobre la misma línea, es más, resulta que cada par se relaciona por una misma involución de dicha línea, y los puntos fundamentales o fijos de dicha involución son precisamente \(P\), el punto imaginario de partida, y su conjugado \(\overline{P}\). Se llega a una situación parecida a la alcanzada antes con los puntos circulares del infinito, relacionando un punto imaginario (y su conjugado) con una involución en una recta real. Para obtener una expresión propia sólo de \(P\) y no de su conjugado, se elige un sentido concreto de recorrido de la involución, el de movimiento del punto real \(P'_1\) cuando el parámetro \(\lambda = -\rho_2 / \rho_1\) varía desde \(0\) a \(\infty\) y de vuelta a \(0\) desde \(-\infty\). El sentido opuesto para igual variación de \(\lambda\) corresponde al \(\overline{P}\).

Recíprocamente, "cada figura real tal, consistente en una línea recta, dos pares de puntos intercalados sobre ella, \(P_1, P_2\) y \(P'_1, P'_2\) (o una involución sin puntos reales dobles, junto con una flecha de dirección, representa un único punto imaginario".

Acaba así Klein, requiriendo buenas dosis de imaginación para hacer real lo imaginario, la segunda parte de la obra.

EMAS Geometry 6 - Transformaciones de contacto

Las transformaciones de contacto se asocian al matemático noruego Sophus Lie, con el que Klein compartió unos años de intenso intercambio de ideas.
Klein presenta estas transformaciones como "evolución" de las anteriores transformaciones dualísticas: la relación bilineal de \(x\) e \(y\) con \(x'\) e \(y'\),
\[
a_1 x x'+b_1 x y' + c_1 x + a_2 y x' + b_2 y y'+c_2 y - a_3 x' - b_3 y' - c_3=0
\]
se generaliza a cualquier relación expresada mediante la aequatio directrix, o ecuación directriz, denominación debida a Plücker:
\begin{equation}\label{eq1p111}
\Omega(x,y;x',y') = 0
\end{equation}
siendo \(\Omega\) una función de las coordenadas de los planos \(E\) y \(E'\), arbitraria salvo por cumplir unas mínimas condiciones de continuidad. La siguiente figura, esta vez una recreación de las figuras 79 y 80 de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", o de Geometría traducido por R. Fontanilla, es muy conveniente para entender la relación entre los dos planos.

A cada punto \(P\) del plano \(E\) se le asocia una curva \(C'_P\) en el plano \(E'\) determinada precisamente por esa ecuación (\ref{eq1p111}) tomando las coordenadas de \(P\) como constantes. A cada punto \(Q'\) del plano \(E'\) le corresponde una curva \(C_{Q'}\) en el plano \(E\). Si \(Q'\) pertenece a la curva \(C'_P\), entonces su curva asociada, \(C_{Q'}\), debe pasar por \(P\).

Al recorrer \(P\) una curva \(K\) en \(E\) se obtiene una familia de curvas en \(E'\) cuya envolvente es otra curva \(K'\) en \(E'\). Así se establece una relación entre las curvas de los planos \(E\) y \(E'\) obtenida de \(\Omega=0\) . En detalle, lo que se deduce es una relación entre elementos-de-línea entendidos como un punto \(P(x,y)\) y una dirección \(PP_1\), la de la tangente a \(K\) en \(P\) cuando \(P_1(x+dx,y+dy)\) se acerca a \(P\) sobre \(K\).

La curva \(C'_P\) asociada a \(P\) es \(\Omega(x,y;x',y')=0\) y la \(C'_{P_1}\) asociada a \(P_1\) en el límite hasta términos lineales puede ponerse como
\[
\Omega(x+dx,y+dy;x',y') = \Omega(x,y;x',y') + \frac{\partial\Omega}{\partial x}dx + \frac{\partial\Omega}{\partial y}dy= 0
\]
Usando \(p=dy/dx\), tangente del ángulo definido por \(PP_1\), la intersección de ambas curvas, en el límite, da el punto \(P'\) de tangencia a \(K'\). \(P'\) se obtiene por tanto de las dos ecuaciones
\begin{equation}\label{eq2p112}
\begin{aligned}
\Omega(x,y;x',y') &= 0 \\
\frac{\partial\Omega}{\partial x} + \frac{\partial\Omega}{\partial y} p &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
La tangente a \(K'\) en \(P'\) es la tangente a \(C'_P\) en ese mismo punto, que se expresa por
\[
\frac{\partial\Omega}{\partial x'}dx' + \frac{\partial\Omega}{\partial y'}dy'= 0
\]
y puede ponerse, empleando \(p'=dy'/dx'\), como
\begin{equation}\label{eq3p112}
\frac{\partial\Omega}{\partial x'} + \frac{\partial\Omega}{\partial y'} p'= 0
\end{equation}
Así, dados en \(E\) un punto \(P\) y una dirección \(p\) , mediante \(\Omega\) se les hace corresponder un punto \(P'\) y una dirección \(p'\) en \(E'\), que se determinan resolviendo las ecuaciones (\ref{eq2p112}) y (\ref{eq3p112}). Queda claro el nombre dado por Lie de transformaciones de contacto: dos curvas que se tocan en un punto \(P\), son tangentes una a la otra, se transforman en otras que también se tocan, son tangentes una a la otra en \(P'\). La tangencia de dos curvas es un invariante bajo una transformación de contacto.

Conviene no dejarse engañar por la notación, no hay una correspondencia entre los puntos \(P\) y \(P'\), pues \(P'\) depende tanto de \(P\) como de \(p\), o de la curva \(K\) que se considere.

En cuanto al excelente MathJax, que llevo usando hace ya bastantes entradas, hoy he practicado por primera vez con la numeración de ecuaciones y con la referencia a dichas ecuaciones. Nada como esas páginas de ejemplo para aprender. He tenido que actualizar la plantilla de blogger para incluir lo indicado sobre numeración automática de ecuaciones.

EMAS Geometry 5 - Transformaciones dualisticas

Siguiendo en la segunda parte de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" (o en la versión Geometría traducido por R. Fontanilla), hay un cambio interesante. Klein pasa a considerar transformaciones con cambio del elemento geométrico. El primer caso es el de las transformaciones dualísticas.

Al hablar de la dualidad punto-línea ya se vio que la ecuación de una recta era
\[
ux + vy =1
\]
con \( (x,y) \) "coordenadas de punto" y \( (u,v) \) "coordenadas de línea" del plano, llamemoslo \(E\). Y no por capricho, sino porque las transformaciones a estudiar se entienden mejor considerando que son relaciones entre elementos geométricos de dos planos distintos \(E'\) y \(E\). Por ejemplo, relacionando puntos \( (x',y') \) de \(E'\) con líneas \( (u,v) \) de \(E\), en principio mediante funciones generales
\[
u=\phi(x',y') \ , \ v=\xi(x',y')
\]
Pero mejor estudiar un caso concreto y "sencillo"
\[
u=x' \ , \ v=y'
\]
Corresponde a la relación polo-polar respecto de la circunferencia de radio unidad, ilustrada en la siguiente figura, recreación de la figura 78 de la obra de Klein.

La polar en \(E\) asociada al polo \(P'(x',y')\) tiene por ecuación
\[
x' x + y' y = 1
\]
Por la simetría de la expresión, \(E\) y \(E'\) juegan un mismo papel en la relación "puntos de uno a líneas del otro", hay dualidad cruzada. Puede decirse tanto que la ecuación expresa la relación de un punto de \(E'\) a una línea de \(E\), como la relación de un punto de \(E\) a una línea de \(E'\). Además en este caso hay reciprocidad, pueden solaparse \(E\) y \(E'\), y es indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno o a otro, pues puntos \(P\) y \(P'\) coincidentes se relacionan con líneas coincidentes. En la figura pueden considerarse superpuestos los dos planos \(E'\) y \(E\).
Para entender esta diferencia de conceptos, dualidad cruzada y reciprocidad, un tanto sutil en este ejemplo, puede considerarse la relación dualística más general entre puntos de \(E'\) y líneas de \(E\) dada por
\[
\begin{aligned}
u & = \frac{a_1 x' + b_1 y' + c_1 }{a_3 x' + b_3 y' + c_3} \\
v & = \frac{a_2 x' + b_2 y' + c_2 }{a_3 x' + b_3 y' + c_3}
\end{aligned}
\]
que se reduce a la ecuación bilineal más general
\[
a_1 x x'+b_1 x y' + c_1 x + a_2 y x' + b_2 y y'+c_2 y - a_3 x' - b_3 y' - c_3=0
\]
Hay que hacer el ejercicio de pensar que las coordenadas primadas son constantes, un punto concreto de \(E'\), y entonces se tiene la ecuación de una recta en \(E\); pero que igualmente pueden considerarse las coordenadas sin primar como fijas, un punto concreto de \(E\), y esa misma ecuación indica una recta en \(E'\).
Sin embargo, aunque hay una dualidad entre puntos y líneas, en este caso no necesariamente hay reciprocidad, que puntos de \(E\) y \(E'\) con iguales coordenadas se transformen en las mismas líneas de \(E'\) y \(E\). La transformación es recíproca si \(b_1=a_2 \ ,\ c_1=-a_3 \ ,\ c_2 = -b_3\), y en tal caso puede ponerse, evidenciando la simetría, como

\[
Axx'+B(xy'+yx')+Cyy'+D(x+x')+E(y+y')+F=0
\]

Entonces esta relación, dual y recíproca, expresa la correspondencia de polo y polar respecto de la cónica cuya ecuación es

\[
A x^2+2 B x y + C y^2 + 2Dx+ 2Ey +F=0
\]


Ahí queda eso, como aperitivo antes de pasar al siguiente apartado, con tacto.

EMAS Geometry 4 - Transformaciones proyectivas

Anteriores entradas: Felix Klein EMAS Geometry; EMAS Geometry 1 - Configuraciones Geométricas Simples; EMAS Geometry 2 - Dualidad; EMAS Geometry 3 - Transformaciones


Tras las transformaciones afines, Klein aborda las Transformaciones Proyectivas, que analíticamente se definen, en el espacio tridimensional, porque \(x', y', z'\) son funciones lineales fraccionales de \(x, y, z\), con la restricción de compartir todas ellas el mismo denominador
\[
\begin{aligned}
x' & = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4} \\
y' & = \frac{a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4} \\
z' & = \frac{a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4}
\end{aligned}
\]
Si ese denominador común no es cero, a cada punto corresponde otro punto finito Pero según los puntos se acercan al plano en que se anula el denominador, sus puntos imágenes se alejan al infinito, se "desvanecen", se fugan. Ese plano \(a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4=0\) es el plano de fuga (en inglés vanishing plane). Los puntos de fuga se corresponden mediante la transformación proyectiva con los puntos en el infinito.

Las ecuaciones anteriores en \(n\) variables ( \(n=3\) en nuestro caso) y un término inhomogeneo, pueden expresarse de forma equivalente empleando \(n+1\) coordenadas homogéneas \(\xi, \eta, \zeta , ..., \tau\) . Para el caso \(n=3\) la relación entre ambas es tal que
\[
x=\frac{\xi}{\tau}, \ \ \ y=\frac{\eta}{\tau}, \ \ \ z=\frac{\zeta}{\tau}
\]
Las cuatro coordenadas homogéneas pueden variar libremente, siempre que no se anulen todas a la vez. A una terna \((x,y,z)\) corresponden infinitas cuaternas \( (\xi,\eta,\zeta,\tau) \), todas ellas proporcionales y distintas por un factor \(\rho \neq 0\) arbitrario.
Con \(\tau=0\), y una o más de las otras tres coordenadas homogéneas distintas de cero, se representa un punto en el infinito, que se añade a los puntos finitos "normales" para los que \(\tau \neq 0\) . Las transformaciones proyectivas en dimensión \(n\) pueden expresarse entonces en términos de transformaciones afines en dimensión \(n+1\) dadas por las ecuaciones:
\[
\begin{aligned}
\rho' \xi' & = a_1 \xi + b_1 \eta + c_1 \zeta + d_1 \tau \\
\rho' \eta' & = a_2 \xi + b_2 \eta + c_2 \zeta + d_2 \tau \\
\rho' \zeta' & = a_3 \xi + b_3 \eta + c_3 \zeta + d_3 \tau \\
\rho' \tau' & = a_4 \xi + b_4 \eta + c_4 \zeta + d_4 \tau
\end{aligned}
\]
El significado de la relación entre coordenadas ordinarias y homogéneas se ilustra mejor con \(n=2\), transformaciones proyectivas del plano \(E\) de coordenadas \((x,y)\), y coordenadas homogéneas \((\xi,\eta,\tau)\) en un espacio tridimensional, en el que puede "colocarse" el plano \(E\) como el dado por \(\tau=1\).

Como se aprecia en la siguiente figura (recreación de la figura 64 en la obra que nos ocupa), las coordenadas espaciales de todos los puntos \(H\) del espacio sobre una misma recta que pase por \(O\) sirven como coordenadas homogéneas del punto \(P\) en que esa recta corta al plano \(E\) . En éste los "puntos en el infinito" tienen coordenadas homogéneas finitas, pues cada recta del plano \(\tau=0\) que pasa por \(O\) se corresponde con uno de tales puntos, y el conjunto de ellas se corresponde con la "recta en el infinito".

Una transformación proyectiva \(P \mapsto P'\) del plano \(E\) se corresponde con cierta transformación afín del espacio, que transforma un haz de rectas que pasan por \(O\) , y cortan a \(E\) en los puntos \(P\) origen, en otro haz distinto que también pasa por \(O\), cuyo corte con \(E\) determina los puntos \(P'\) imagen. Klein denomina este procedimiento como el principio de proyección y sección, que convierte relaciones complicadas en un espacio \(n\)-dimensional a una forma más fácil de entender pero en un espacio \((n+1)\)-dimensional.

La aplicación afín en coordenadas homogéneas transforma planos en planos. Para \(n=2\) , la "recta en el infinito" (el plano \(\tau=0\) ) se transforma en una recta "ordinaria" (el corte con \(E\) del plano en que se transforma \(\tau=0\) ). Toda transformación proyectiva es una colineación y, mucho más reseñable, toda colineación del espacio es una transformación proyectiva.

El efecto de las transformaciones proyectivas sobre las variedades geométricas fundamentales difiere de lo visto para las transformaciones afines en lo que respecta al concepto de paralelismo. Las líneas paralelas son las que se intersectan en el plano del infinito, pero este puede convertirse en un plano ordinario, y las rectas transformadas se cortan en este, dejando por tanto de ser paralelas. No se mantiene el paralelismo. Tampoco son invariantes frente a transformaciones proyectivas las variedades de Grassmann, salvo la línea recta ilimitada. No son invariantes distancias o ángulos, ni la razón simple, pero sí es invariante la razón doble.

Klein desarrolla varios ejemplos de aplicación de las tranformaciones proyectivas:

• aplicar el espacio sobre un plano mediante perspectiva central.
• perspectiva de relieve, que incluye el anterior como caso límite.
• prueba de teoremas geométricos.

Recordatorio. Están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla.

EMAS Geometry 3 - Transformaciones

Siguiendo la "serie" sobre "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" , en la segunda parte se tratan toda una serie de transformaciones. Aquí se adopta un punto de vista "activo": fijando un sistema de ejes un punto \(P\) se transforma en otro distinto \(P'\) y sus respectivas coordenadas \( (x,y,z) \) y \( (x',y',z') \) se relacionan de cierta forma analítica, que define el tipo de transformación considerada. Pero no solo se trata este caso de "transformaciones puntuales" (de puntos a puntos); también otras más generales en que un elemento geométrico se transforma en otro de diferente tipo.
Pueden resumirse las transformaciones tratadas así:

• Transformaciones puntuales
• funciones lineales
• Transformaciones Afines (funciones lineales enteras)
• Transformaciones Proyectivas ( funciones lineales fraccionales)
• funciones algebraicas racionales superiores, y funciones trascendentes.
• Transformaciones "por radios recíprocos" (inversión), tipo particular de transf. biracional cuadrática. Ejemplo particular: Proyección estereográfica.
• Proyecciones cartográficas.
• Transformaciones topológicas (las transformaciones puntuales continuas e invertibles más generales).
• Transformaciones con cambio del elemento de espacio.
• Transformaciones dualísticas, un ejemplo de las cuales es la de polo-polar.
• Transformaciones de contacto

Hay que "traducir" algo la nomenclatura de Klein. Función lineal entera (linear integral function) se refiere a un polinomio de primer grado en una o más variables. La palabra entera indica que no es racional, siendo aquí una función lineal fraccional (fractional linear function) lo mismo que función racional, el cociente entre dos polinomios, indicando el término lineal que ambos deben ser de primer grado. Cuando son de un grado más general se tienen las funciones algebraicas racionales superiores.

La presentación es en este orden de creciente generalización. Unos ejemplos.

Transformaciones Afines
\(x', y', z'\) son funciones lineales enteras de \( x, y, z\) :
\[
\begin{aligned}
x' & = a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 \\
y' & = a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 \\
z' & = a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3
\end{aligned}
\]
Puntos infinitamente distantes correspondes a otros infinitamente distantes. Son invertibles si el determinante \(\Delta\) de la parte lineal homogénea es distinto de cero. A partir de esta expresión analítica se puede estudiar el efecto de la transformación sobre distintos elementos geométricos.
Una aplicación afín transforma ...

• un plano en otro plano.
• una línea recta, dada por la intersección de dos planos, en otra línea recta, siendo por tanto un ejemplo de colineación.
• una superficie de grado \(n\) en otra del mismo grado; por ejemplo una esfera, que tiene extensión acotada, se transforma en general en un elipsoide.
• un vector libre en otro vector libre.
• un sistema de líneas paralelas en otro sistema de líneas paralelas, aunque la longitud de segmentos y el ángulo entre dos líneas no paralelas sí cambian.
• una línea recta en otra "similar", es decir, preservándose la razón simple de tres puntos colineales cualesquiera.
• el volumen de espacio, por ejemplo el de un tetraedro, en otro multiplicándose por el factor \(\Delta\).
• cada tripleta de planos diametrales de una esfera, mutuamente perpendiculares, en otra tripleta de planos diametrales de un elipsoide, llamados conjugados, con la propiedad de que cada uno de ellos biseca las cuerdas paralelas a la intersección de los otros dos. Una transformación afín "pura" (salvando una posible rotación y traslación) puede reducirse a una forma diagonal usando como coordenadas transformadas las de los ejes conjugados mutuamente perpendiculares del elipsoide, expresándose entonces \(x'=\lambda x , y' = \mu y, z' = \nu z\).

Las transformaciones afines tienen un importante papel en la física en campos como la teoría de la elasticidad, hidrodinámica y en general en la mecánica de los medios continuos.

Las transformaciones afines son relevantes para el dibujo en perspectiva usando la proyección paralela. En esa proyección el centro está en el infinito, y se usa un haz de rayos paralelos. Es aplicable lo estudiado en la geometría descriptiva. El resultado fundamental expuesto por Klein a este respecto es que "cualquier relación afín entre dos planos puede efectuarse de infinitas maneras diferentes mediante la combinación de una transformación de semejanza con una proyección paralela".

En cuanto al proceso de axonometría, la representación de todo el espacio sobre un plano mediante proyección paralela, permitiendo un alargamiento o encogimiento de la imagen por una transformación de semejanza, se corresponde analíticamente con una transformación homogénea afín de determinante nulo, cumpliéndose también la recíproca. Klein desarrolla la prueba con bastante detalle, haciendo uso al final del teorema de Pohlke. No es desde luego para una lectura rápida.

Pero ha sido aquí, gracias a buscar algo más sobre el tal Pohlke, que he encontrado que están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. ¡Albricias! Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla.

EMAS Geometry 2 - Dualidad

El final de la primera parte de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" contiene otra valiosa perspectiva histórica de Klein.

Hasta el siglo XVIII en la geometría se consideraron configuraciones basadas en el punto: curvas y superficies.
La instrucción elemental, basada en el legado de la Grecia antigua, se reducía a la línea recta, el plano, las secciones cónicas y las superficies de segundo grado.
A partir de la geometría analítica de Descartes y Fermat se distinguen las curvas geométricas, como las cónicas y otras llamadas luego algebraicas, y las curvas mecánicas, descritas por mecanismos, que en su mayoría se encuadran en las posteriormente llamadas curvas trascendentes.
Englobando las anteriores, surge luego la idea de curva analítica, aquella cuyos puntos tienen coordenadas \(x, y\) que se representan mediante funciones analíticas (desarrollables en serie de potencias) de un parámetro \(t\).
Luego se consideraran curvas no analíticas, en que las coordenadas se expresan por funciones más generales. Y más tarde el conjunto infinito de puntos en su forma más general.

A partir de 1800 hay un importantísimo impulso a la geometría con el desarrollo de la geometría proyectiva, que sigue dos corrientes a veces antagónicas, la sintética y la analítica. En palabras de Klein

La geometría sintética es la que estudia las figuras como tal, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica hace uso consistente de aquellas fórmulas que pueden establecerse tras adoptar un sistema de coordenadas apropiado. Con buen entendimiento sólo existe una diferencia de grado entre estas dos clases de geometría, según se de más prominencia a las figuras o a las fórmulas. La geometría analítica que prescinde por entero de la representación geométrica difícilmente puede llamarse geometría; la geometría sintética no llega muy lejos salvo que haga uso de un lenguaje de fórmulas adecuado para dar expresión precisa a sus resultados.

Claramente Klein aboga por una complementariedad de enfoques, quizá más de la mano del aparato analítico pero sin perder de vista el sentido geométrico, y critica la cerrazón de

las escuelas de puros sintéticos y las escuelas de puros analistas, que ponen su énfasis principal sobre la "pureza del método".

Frente a la pretensión de enseñar las matematicas dividas en disciplinas separadas, Klein promueve la mayor interacción posible entre todas aquellas ramas de las ciencias con intereses comunes.

En el ámbito concreto de la geometría proyectiva, J. Steiner y Ch. von Staudt representan la vía sintética, A. F. Möbius y J. Plücker la analítica. Pero el primer pionero en ese ámbito es J. V. Poncelet.

Poncelet es el primero en considerar como "elemental" un elemento geométrico distinto del punto. En el plano considera la línea recta infinita, y en el espacio el plano ilimitado, como elementos duales al punto. Por el principio de dualidad, en un gran número de teoremas geométricos puede reemplazarse la palabra "punto" por "linea" (o "plano" si se trata del espacio).

El desarrollo de estas ideas arranca de la teoría polar de las secciones cónicas. Empleando una sección cónica dada, a cada punto (el polo) del plano se le asocia una recta (la polar), determinada por los dos puntos de tangencia de la cónica con sendas rectas tangentes que pasan por el polo. Recíprocamente una recta que corta en dos puntos a la cónica permite trazar las rectas tangentes a la cónica por esos dos puntos, tangentes que se cortan en un punto, el polo. Hay una relación uno a uno entre puntos y rectas, dependiente de la cónica elegida. Esta relación permite por ejemplo dualizar el teorema de Pascal, sobre un hexágono (de puntos) inscrito en una cónica, obteniendo el teorema de Brianchon relativo a un hexágono de tangentes circunscritas en la cónica.

El principio de dualidad resultó tener un carácter más general que el de la teoría de polares, y ser una consecuencia del carácter peculiar de la geometría proyectiva, como aclararon Gergonne y Steiner con sus trabajos. Se emplean como configuraciones elementales sólo el punto y la recta infinita, en el plano, o el punto y el plano infinito en el espacio. Entre ellas rigen los axiomas de conexión:

Dos puntos determinan una línea, tres puntos no colineales determinan un plano; dos planos determinan una línea; tres planos no colineales determinan un punto. La validez sin excepciones de estos axiomas se consigue mediante la hábil introducción de elementos extraordinarios (infinitamente distantes).

La dualidad es una de las ideas clave de la obra. Pensar en una línea recta como algo no compuesto sino elemental, "atómico", y el punto como un objeto determinado por un conjunto (un haz) de rectas, en principio chirría. Pero en el ámbito proyectivo es lo que hay, dualidad, igualdad de punto y recta ante la ley de los teoremas geométricos. En el espacio tridimensional la igualdad dual es entre punto y plano.

Otra idea clave es el estatus especial de la geometría proyectiva y su uso de elementos extraordinarios, ideales, infinitamente distantes. Son estos los que posibilitan la validez general, sin excepciones, de los axiomas de conexión antes citados, y de la dualidad. Para que dos rectas cualesquiera siempre se corten en un punto, si no encontramos un punto "cerca", a mano, tendremos que introducir uno "extraordinario". Y si dados dos puntos extraordinarios debe pasar por ellos una recta, la habrá, aunque sea la recta del infinito.

Considerando el punto, la recta y el plano como configuraciones simples, Klein construye otras configuraciones lineales fundamentales, definidas analíticamente por ecuaciones lineales.
De primera clase, con \( \infty^1 \) elementos
( \( \alpha \) ) todos los puntos sobre una línea: un rango rectilíneo de puntos.
( \( \beta \) ) todos los planos conteniendo una línea: un haz axial de planos.
( \( \gamma \) ) en un plano, todas las líneas que pasan por un punto: un haz (plano) de líneas.
De segunda clase, con \( \infty^2 \) elementos
( \( \alpha \) ) el plano como lugar de sus puntos: un campo de puntos.
( \( \alpha' \) ) el plano como lugar de sus líneas: un campo de líneas.
( \( \beta \) ) los planos que pasan por un punto: un haz de planos.
( \( \beta' \) ) las líneas que pasan por un punto: un haz de líneas.
De tercera clase, con \( \infty^3 \) elementos
( \( \alpha \) ) el espacio como lugar de sus puntos: un espacio de puntos.
( \( \alpha' \) ) el espacio como lugar de sus planos: un espacio de planos.

En toda esta estructura, por doquier aparece una completa dualidad. Podemos exhibir el corpus de la geometría proyectiva en dos formas mutuamente duales si, usando los elementos fundamentales dados, empezamos por un lado desde los puntos, y por el otro desde las líneas, si de geometría del plano se trata, o desde los planos si pensamos en la geometría del espacio.

Klein dixit. Es entretenido visualizar que un plano es igualmente una doble infinidad de puntos y una doble infinidad de líneas. O que el espacio es una triple infinidad de puntos y también una triple infinidad de planos. Una de las visualizaciones me es más fácil que la otra.

La dualidad se aprecia directamente en la expresión analítica de una línea recta en el plano, cuyos puntos \( (x,y) \) satisfacen
\[
u x + v y + 1 = 0
\]
Una línea concreta corresponde a ciertos valores de \(u\) y \(v\) . Plücker considera \((u,v)\) como "coordenadas de línea", igual que \((x,y)\) son "coordenadas de punto". Tan justificado es tomar \((u,v)\) como fijos y considerar que la anterior ecuación describe todos los puntos sobre una recta, como lo es tomar \((x,y)\) como fijos y considerar que la anterior ecuación describe todas las rectas que pasan por un punto. La expresión analítica es completamente simétrica, dual, respecto a \((x,y)\) y \((u,v)\).

En el espacio pasa algo similar entre "coordenadas de punto" \((x,y,z)\) y "coordenadas de plano" \((u,v,w)\) con la ecuación
\[
u x + v y + w z + 1 = 0
\]
La dualidad se extiende a configuraciones "superiores", como ilustra el usar unas funciones \(\phi, \xi, \psi\) de un parámetro \(t\) para definir bien una curva, si esas funciones definen "coordenadas de punto"
\[
\begin{aligned}
x & = \phi(t) \\
y & = \xi(t) \\
z & = \psi(t)
\end{aligned}
\]
o bien una superficie desarrollable si definen "coordenadas de plano"
\[
\begin{aligned}
u & = \phi(t) \\
v & = \xi(t) \\
w & = \psi(t)
\end{aligned}
\]

Plücker generalizó la idea de considerar como coordenadas de una configuración geométrica las constantes que intervienen en su expresión analítica, investigando el significado de las ecuaciones entre ellas. Por ejemplo, en el espacio una recta puede darse mediante dos ecuaciones
\[
x = r z + \rho \ \ \ , \ \ \ y = s z + \sigma
\]
con las cuatro constantes o coordenadas de la línea en el espacio \((r,s,\rho,\sigma)\) describiendo \(\infty^4\) elementos. Una relación entre ellas de la forma \(f(r,s,\rho,\sigma)=0\) selecciona de entre los \(\infty^4\) elementos una triple infinidad, que Plücker llama un complejo de líneas, siendo el ejemplo más sencillo el complejo lineal si la relación dada por \(f\) es lineal. Con dos relaciones \(f=0, \ g=0\) se define una congruencia de líneas o sistema de rayos. Con tres, \(f=0, \ g=0 \ , h=0\) se determina una familia simplemente infinita de líneas rectas que forman una superficie reglada.

No, no es para leérselo de corrido.

EMAS Geometry 1 - Configuraciones Geométricas Simples

Siguiendo con la entrada anterior sobre la obra de Felix Klein "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", entraré en algún detalle de la primera parte.

Klein aborda la geometría en forma analítica y general. Emplea coordenadas rectangulares para los puntos de un espacio de dos, tres, ..., o \(n\) dimensiones. Empezará con el plano y luego seguirá con el espacio tridimensional, pero aplicando un principio general atribuido a Grassmann . Se trata de emplear expresiones analíticas, basadas en las coordenadas de puntos, que tengan significado geométrico. La "receta" del principio de Grassmann se ve mejor en el caso más simple, un espacio bidimensional, el plano. Elegido un origen y un sistema rectangular de coordenadas, cada punto viene dado por dos coordenadas. Apliquemos la receta al caso en que elegimos dos puntos (dos como la dimensión del espacio considerado) el punto 1 \( (x_1,y_1)  \) y el punto 2 \(  (x_2,y_2) \). Se forma una matriz con tantas filas como puntos, y con tantas columnas como las coordenadas de cada punto, más una columna adicional de unos:
\[
\begin{pmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1
\end{pmatrix}
\]
A partir de esa matriz formamos todos los determinantes que se obtienen al eliminar una de las columnas.
\[
\begin{aligned}
Y  & =
\begin{vmatrix}
y_1 & 1_{\ } \\
y_2 & 1_{\ }
\end{vmatrix} = y_1 - y_2
\\
X & =
\begin{vmatrix}
x_1 & 1_{\ } \\
x_2 & 1_{\ }
\end{vmatrix} = x_1 - x_2
\\
N & =
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1
\end{aligned}
\]
Resulta que estas expresiones analíticas, estos números, \( Y, X, N \) , tienen un significado geométrico que desvela Klein, enfatizando que la existencia de un signo para el valor numérico dota de mayor calado a los elementos geométricos obtenidos que cuando estos se miran desde un punto de vista "clásico", digamos que de geometría a la Griega. La siguiente figura (basada en la figura 31 de EMAS Geometry) visualiza el significado geométrico.

\(X\) e \(Y\)son las proyecciones sobre el eje \(x\) y el eje \(y\) del segmento definido por los puntos \(1\) y \(2\) con la dirección del punto \(2\) al punto \(1\). En la figura \(X\) es negativo e \(Y\) positivo.
\(N\) representa el doble del área del triángulo definido por los puntos \(0, 1, 2\) recorrido en ese orden. En la figura \(N\) es negativo de acuerdo al convenio usual. Los tres valores numéricos \(Y, X, N\) se obtienen partiendo de dos puntos \(1\) y \(2\) , dados por cuatro coordenadas, lo que indica un grado de libertad de más. ¿Cuándo diferentes pares de puntos dan lugar a la misma terna numérica \(X\) , \(Y\) , \(N\) ?  Klein lo declara: "Obtenemos la misma terna de valores \(X\) , \(Y\) y \(N\) si, y sólo si, \(1\) es el punto final y \(2\) el punto inicial de un segmento, con longitud y dirección definidas, que es libre de moverse sobre una línea recta definida". Esa terna, que Grassmann denominó Linienteil (segmento de línea dirigido) se denomina ahora comúnmente vector ligado (a una recta). "Vector" sin más suele referirse a "vector libre", si el segmento puede moverse en paralelo a sí mismo. Precisamente las dos cantidades \(X\) e \(Y\) determinan un vector libre. Y las razones \(X:Y:N\) , equivalentes a dos cantidades (por ejemplo \(X:Y\) y \(Y:N\) ), determinan la línea recta, no la longitud de un segmento sobre ella.
En el lenguaje de la mecánica \(X\) e \(Y\) son las componentes de una fuerza, aplicada sobre una línea, y \(N\) es el momento de la fuerza respecto del origen, cambiado de signo.

Klein indaga en las características de estas expresiones analíticas mostrando cómo se transforman ante cuatro tipos de transformaciones de coordenadas:
Traslaciones:
\[
\begin{aligned}
x' & = x + a \\
y' & = y + b
\end{aligned}
\]
Rotaciones en torno al origen de coordenadas:
\[
\begin{aligned}
x' & = x \cos \phi + y \sin \phi \\
y' & = -x \sin \phi + y \cos \phi
\end{aligned}
\]
Reflexión en el eje \(x\):
\[
\begin{aligned}
x' & = x \\
y' & = -y
\end{aligned}
\]
Cambio en la unidad de medida en un factor \( \lambda \)
\[
\begin{aligned}
x' &= \lambda x ;\\
y' &= \lambda y
\end{aligned}
\]
Se adopta un punto de vista "pasivo". Los puntos \(1\) y \(2\) son los mismos, pero se cambian los ejes coordenados (su origen, orientación o escala) para determinar sus nuevas coordenadas \( (x'_1,y'_1) \) y \( (x'_2,y'_2) \). Hay que relacionar entonces los "nuevos" valores \( X', Y', N' \) con los "viejos".
Traslaciones:
\[
\begin{aligned}
X' &= X \\
Y' &= Y \\
N' &= N + b X - a Y
\end{aligned}
\]
Rotaciones en torno al origen de coordenadas:
\[
\begin{aligned}
X' & = X \cos \phi + Y \sin \phi \\
Y' & = -X \sin \phi + Y \cos \phi \\
N' &= N
\end{aligned}
\]
Reflexión en el eje \(x\):
\[
\begin{aligned}
X' &= X \\
Y' &= -Y \\
N' &= -N
\end{aligned}
\]
Cambio en la unidad de medida:
\[
\begin{aligned}
X' &= \lambda X \\
Y' &= \lambda Y \\
N' &= \lambda^2 N
\end{aligned}
\]
Vemos que \(X',Y',N'\) se expresan en todos los casos en función sólo de \(X, Y, N\) , luego esta terna forma una configuración geométrica, que corresponde al vector ligado. También vemos que \(X',Y'\) se expresan sólo en función de \(X,Y\) , por lo que determinan una configuración independiente del sistema de coordenadas, la de vector libre. No cambia en las traslaciones, y en el resto de transformaciones cambia como las coordenadas.
La forma homogénea en que se expresa la terna \(X',Y',N'\) en función de \(X,Y,N\) hace que las razones \(X':Y':N'\) dependan sólo de las razones \(X:Y:N\), con lo que tenemos otra configuración geométrica, la línea recta.
Para el caso específico del par de fuerzas, resulta que para traslaciones y rotaciones \(N'=N\) , para reflexión \(N'=-N\) y para cambio de unidad \(N'=\lambda^2 N\) , lo que puede llamarse un invariante, al no cambiar salvo un factor. En este caso el invariante es relativo, en vez de absoluto, al ser el factor diferente de la unidad. Klein muestra que el área de un triángulo se transforma en los cuatro tipos de transformaciones precisamente como el par de fuerzas, por lo que estas dos magnitudes son geométricamente equivalentes. Si en un sistema de coordenadas relacionamos un par de fuerzas con el área de una figura plana, esta relación se mantiene tras un cambio de coordenadas, pues ambas magnitudes se transforman de la misma manera.

Todo lo anterior es un ejemplo concreto, en el plano, de dos principios generales que enuncia Klein aproximadamente así:

• Las propiedades geométricas de cualesquiera figuras deben ser expresables mediante fórmulas que no se modifican cuando se cambia el sistema de coordenadas. Recíprocamente, cualquier fórmula que, en este sentido, es invariante bajo el grupo de estas transformaciones de coordenadas debe representar una propiedad geométrica.
• Dado un sistema de magnitudes analíticas que emplean las coordenadas de puntos 1, 2, ... , si el sistema de magnitudes formado a partir de las coordenadas "nuevas" de esos puntos se expresa exclusivamente en términos de las expresiones formadas a partir de las coordenadas "viejas", sin que aparezcan explícitamente las coordenadas mismas, entonces decimos que el sistema define una nueva configuración geométrica, es decir, independiente del sistema de coordenadas. De hecho, clasificaremos todas las expresiones analíticas de acuerdo al comportamiento bajo transformaciones de coordenadas, y definiremos como geométricamente equivalentes dos series de expresiones que se transformen de la misma forma.

Estos principios se ejercitan al pasar al espacio tridimensional y hacer Klein un desarrollo similar al del plano, pero más profuso, que tres dimensiones dan más de sí que dos. Usando la "receta" de Grassmann aplicada a conjuntos de dos, de tres y de cuatro puntos (ahora cada uno con 3 coordenadas), Klein define once expresiones analíticas y su comportamiento frente a cambios de coordenadas. 

Con dos puntos:

Con tres puntos:

determinando estas cuatro expresiones lo que puede llamarse segmento-de-plano o magnitud-de-plano.

Con cuatro puntos se tiene el "espato", denominación original de Grassmann, seis veces el "volumen" (con signo) del tetraedro formado por los cuatro puntos 1, 2, 3 y 4 en ese orden:

El comportamiento frente a cambios de coordenadas se resume en esta tabla

Un escalar de primera clase, o escalar sin más, es aquella magnitud numérica que no cambia con ninguna de las transformaciones citadas, salvo el cambio de unidad, mientras que el escalar de segunda clase cambia su signo con la inversión.

Llegamos así a un punto de interés histórico, pues Klein presenta otra nomenclatura derivada de los trabajos de Hamilton. Este fue quien introdujo el término "vector" para nuestro "vector libre", pero sin manejar el concepto de vector ligado, ni la distinción entre vector libre y magnitud-de-plano, pues no contempló como transformaciones la inversión ni el cambio de unidad. Más tarde al contemplar el efecto de una inversión se distinguió entre  "vector polar", con cambio de signo, y "vector axial", sin cambio de signo tras una inversión. Esta distinción se da también para los escalares, de segunda clase si cambian de signo, de primera si no lo hacen. Diversas combinaciones de las magnitudes sencillas tendrán distintos comportamientos. El producto escalar de dos vectores polares es un escalar de primera clase. Las componentes de tres vectores polares forman un determinante que es un escalar de segunda clase. 

Klein da a entender que el desarrollo del álgebra vectorial originado en Hamilton, que caló en la física gracias a Maxwell y sobre todo a Heaviside y J. W. Gibbs, era algo más "pobre" que el manejado por Grassmann, al ignorar diferencias que en este segundo caso eran patentes. Grassmann estudió en su "Lineale Ausdehnungslehre" la teoría de invariantes del grupo de transformaciones afines que dejan el origen fijo. Hamilton se limitó al grupo ortogonal. En ese ámbito son equivalentes vector polar y axial, o magnitud-de-plano. Grassmann en su "Vollständige Ausdehnungslehere" se limitó al grupo ortogonal, y representó la magnitud-de-plano libre mediante un vector, que llamó el complemento de la magnitud-de-plano, y corresponde a lo que en física se llama producto vectorial.

Estas pinceladas de las primeras cincuenta páginas pueden dar una idea del carácter "Elemental" y a la vez "Avanzado" de la obra que nos ocupa. Y eso que ni he mencionado cómo explica Klein la base matemática del funcionamiento del Planímetro Polar de Amsler. Apabullante.