significados cónicos

Otra curiosidad encontrada en "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, es la explicación de los términos parábola, elipse e hipérbola, dados a las secciones cónicas. Tanto tiempo cortando conos de todos los modos posibles y mira por dónde.

Dice el DRAE que una parábola es una narración que emplea la comparación o semejanza. En su origen griego este término indica comparación, yuxtaposición, analogía.

Pues resulta que en una parábola con directriz vertical y foco a la derecha de la directriz, midiendo las coordenadas \( x,y \) desde su vértice, los puntos de la parábola verifican la ecuación
\[
y^2 = x \cdot 2 p
\]
siendo \(2p\) el latus rectum, la longitud de la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco. Esa ecuación compara como iguales, como análogos en área, el cuadrado de lado \( y \) y el rectángulo de lados \(x\) y \( 2p \).

Dice el DRAE lo que significa elipse, cuya raíz es la misma que elipsis, que significa omitir, suprimir.

En el caso de la elipse, de nuevo con la directriz vertical, los focos hacia la derecha, midiendo las coordenadas desde el vértice izquierdo, los puntos de la elipse verifican la ecuación
\[
y^2 = x \cdot 2 p - (1-e^2) x^2
\]
siendo \(e\) la excentricidad. Ahora al rectángulo de lados \(x \) y \( 2p\) hay que quitarle algo para conseguir el cuadrado de lado \(y\). Esta falta u omisión es la que llevó a Apolonio a llamar a esta curva elipse.


Dice el DRAE qué es una hipérbola, que comparte origen con hipérbole, exagerar, aumentar.

En el caso de la hipérbola con sus dos ramas, en coordenadas medidas con criterios análogos a los empleados para parábola y elipse la fórmula aplicable es
\[
y^2 = x \cdot 2 p + (e^2-1) x^2
\]
El cuadrado de lado \(y\) tiene ahora un exceso respecto del área del rectángulo de lados \(x\) y \(2p\).

Qué excesos.

Para rematar el asunto, Ostermann y Wanner presentan el cálculo del área de una parábola debido a otro de los gigantes griegos, Arquímedes. El área de la parábola, \(P\) se expresa en términos del área del triángulo inscrito \(T\) simplemente así
\(
P = \frac{4}{3}T
\)
Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área \(T\), dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
\[
P = T + 2 \frac{T}{8} + 4 \frac{T}{64} + ... = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + ...
\]
Esta suma infinita es \(\frac{4}{3}T\) como demuestra Arquímedes gráficamente. Tomamos un cuadrado de área \(P\), le dividimos en cuatro partes iguales, juntamos tres de las cuatro partes, y a ese área le llamamos \(T\); y con el otro cuarto (de área \(T/3\) ) repetimos la operación de hacer cuatro cuartos y unir tres, esos tres tienen un área de \(\frac{3}{4} \frac{T}{3}=\frac{T}{4}\); y con el otro cuarto (de área \(T/12\) ) repetimos la operación de hacer cuatro cuartos y unir tres, esos tres tienen un área de \(\frac{3}{4} \frac{T}{12}=\frac{T}{16}\); y ...

Apolonio y el ángulo bisector

Tras la anterior entrada me surgió la duda sobre la demostración de que los puntos de la circunferencia de Apolonio que tiene por diámetro P y Q distan de A y B en una misma razón cuando P y Q son armónicos respecto de A y B. La demostración en la wikipedia se basa en el teorema de la bisectriz que resulta ser Euclides VI.3, que Euclides demuestra en el libro VI haciendo uso a su vez del teorema de Tales.

Así funcionan las cosas. No es para una prisa.

El caso es que en el profusamente ilustrado "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, hay una demostración alternativa del teorema del ángulo bisector, empleando la muy elemental propiedad de que el área de un triangulo es la mitad del producto de la base por la altura, junto con una preciosa habilidad para dar con las bases y las alturas adecuadas. Tanto me gustó esa demostración, que la transcribo aquí, junto con una figura adaptada de cara a su empleo posterior, figura obtenida a partir de geogebra, aunque en esta entrada no hay applet.

Partimos de un triángulo cualquiera ABC, trazamos la bisectriz interior del ángulo ACB, \(b_{int}\) que corta al lado AB en el punto P; y la correspondiente bisectriz exterior \(b_{ext}\) , que corta en el punto Q a la recta sobre la que está el lado AB. Ambas bisectrices son perpendiculares. Entonces debe deducirse que

\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]

Empezando por la bisectriz interior, se demuestra \( \overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) en dos pasos.

1.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AP}\)  es a \( \overline{PB}\) , pues AP es base del triángulo APC y PB es base del triángulo PBC compartiendo la misma altura, la trazada desde C en vertical, no mostrada en la figura.

Pero es que empleando esos mismos triángulos podemos ver otra combinación de base y altura, usando como alturas los segmentos mostrados (a punto y raya) desde P a los lados AC y BC. Estas alturas son iguales, pues P está sobre la bisectriz del ángulo ACB. Por tanto:

2.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AC}\)  es a \( \overline{BC}\) , pues AC es base del triángulo APC y BC es base del triángulo PBC con alturas de igual medida.

Con la razón de áreas como intermediaria, obtenemos la razón de distancias buscada. Qué elegancia.

Para la bisectriz externa los dos triángulos a los que aplicar el mismo método de dos pasos son el triángulo más grande, AQC , y el triángulo BQC. En el primer paso la altura común es la trazada desde C, y las bases   respectivas son AQ y BQ. En el segundo paso las alturas de igual longitud son las trazadas desde Q, que está sobre la bisectriz externa, y la respectivas bases son AC y BC. De nuevo con la razón entre áreas como intermediaria, se llega a que \( \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ} \).

En cuanto a la recíproca, si hubiese un punto X entre A y B cumpliendo que \( \overline{AX} : \overline{XB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) , procediendo con la construcción  indicada usando la bisectriz obtendríamos P con la misma "propiedad" de dividir el segmento AB en la misma proporción que lo hace X, lo que es imposible salvo que X y P coincidan.

Qué bonito.

Para remate, si fijamos A, P, B y Q, olvidándonos del punto C (que usamos para a partir de A y B obtener P y Q) , tracemos por P cualquier recta \(b_1\), y luego la recta \(b_2\) perpendicular a la anterior que pase por Q. Estas dos rectas se cortan en un punto D, que determina con P y Q un triángulo rectángulo. Al girar  \(b_1\) por todas las posibles direcciones alrededor de P, el punto D, obtenido como antes, va recorriendo... la circunferencia de Apolonio.

Y para ese D genérico situado sobre la circunferencia de Apolonio, ¿cual es la razón \( \overline{AD} : \overline{BD}  \)? Bueno, reagrupando la triple igualdad
\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]
podemos ver que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PB} : \overline{BQ} = \overline{AC} : \overline{BC}
\]
Con el punto D podemos emplear una construcción en que a partir del ángulo ADP forzamos que DP sea la bisectriz del ángulo ADX , para algún X adecuado sobre el segmento AQ. Eso sí, como por construcción P está en la bisectriz interna de ADX , Q está en la bisectriz externa, y por el ya famoso teorema se cumple que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PX} : \overline{XQ} = \overline{AD} : \overline{XD}
\]
De aquí deducimos primero que
\[
\overline{PB} : \overline{BQ}  = \overline{PX} : \overline{XQ}
\]

X y B dividen PQ en la misma proporción, lo que impone que realmente X coincide con B. Y entonces resulta que 

\[
\overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AD} : \overline{BD}
\]

Todos los puntos de la circunferencia de Apolonio con diámetro PQ distan de A y B en una misma razón. ¡Qué armonía!

razón simple, razón doble, puntos armónicos y circunferencia de Apolonio

Hace tiempo, no recuerdo la razón, me crucé con el "cross-ratio", que en castellano se denomina razón doble. Es curioso cómo cambia la perspectiva de una misma cosa según la forma en que se nos presenta. Mi primer encuentro fue, en el contexto de la geometría, con una definición parecida a esta:

Si P, Q, A y B son puntos situados sobre la misma recta, la razón doble (P, Q, A, B) del cuarteto ordenado de tales puntos es el número
\[
(P, Q, A, B) =  \frac{PA . QB}{ PB . QA}
\]
Sin embargo hace poco divisé, por otra razón, un "division ratio", que resultó ser la razón simple, en la que intervienen sólo 3 puntos. La wikipedia en español me remitió al DRAE donde con precisión se define la razón simple de tres números como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos;
p. ej., (6, 4, 3) = (6-4) / (6-3) = 2/3.

Y luego, a partir de la simple, se define la razón doble de cuatro números como el cociente de las razones simples formadas por cada uno de los dos primeros y los otros dos;
p. ej., (8, 6, 4, 3) = (8, 4, 3) / (6, 4, 3) = 6/5.

Esto es justo lo mismo, usando puntos, que definir la razón simple de un punto P con respecto a otros dos A y B como
\[
(P, A, B) = PA : PB
\]
y la razón doble de dos puntos P y Q respecto a otros dos A y B como la razón de las razones simples de P y de Q respecto a A y B
\[
(P, Q, A, B) = (P, A, B) : (Q, A, B)
\]
A y B son los puntos básicos que definen un segmento. Para cualquier punto P, la razón simple (P, A, B) indica en qué proporción, y cómo, P divide al segmento de A hasta B.

Hay que tener claro que siempre al hablar de puntos sobre una recta, elegimos una orientación que va a determinar el signo de los segmentos. Para una recta horizontal orientada de izquierda a derecha, AB es positivo si B está a la derecha de A, y negativo en caso contrario. Por tanto para D punto medio entre A y B,  \( (D, A, B) = DA:DB = -1 \) pues los segmentos orientados DA y DB tienen igual longitud pero orientación opuesta. Para puntos interiores, entre A y B, la razón simple es negativa; para los puntos exteriores ( a la izquierda de A o a la derecha de B) la razón simple es positiva.

Empezando por la razón simple, antes de la doble, se entiende mucho mejor la idea de conjunto de puntos armónicos: P y Q son armónicos con respecto a A y B si las razones simples de P y de Q , respecto de A y B, son iguales en magnitud pero de signos opuestos, lo que significa que P por un lado y Q por el otro dividen al segmento de A a B en la misma proporción, ora internamente, ora externamente. En términos de la razón doble, que P y Q sean armónicos respecto de A y B se expresa escuetamente así:
\[
(P, Q, A, B ) = -1
\]
La bella armonía en que se encuentran P y Q queda plasmada en una figura geométrica notable, donde aparece la circunferencia de Apolonio.

Partimos de dos puntos no coincidentes A y B, que determinan un segmento y la recta r que les contiene. Fuera de esta recta pero sin otra restricción, tomamos un punto C, que determina con A y B un triángulo. Desde el vértice C trazamos las dos bisectrices, la del ángulo interno ACB, y la del ángulo externo formado por el lado BC y la prolongación del lado AC. La bisectriz interna corta a la recta r en un punto P (interno, con razón simple negativa), y la bisectriz externa corta a la recta r en otro punto Q (exterior al segmento A B, con razón simple positiva).

Pues bien, resulta que P y Q son armónicos respecto de A y B.

El punto medio entre P y Q , M, es el centro de la círcunferencia de Apolonio, que pasa por C además de por P y por Q, siendo rectángulo el triángulo PCQ.

La razón simple en que P y Q dividen (interna y externamente) a A y B es igual a la razón de las longitudes de los lados AC y BC. ¿Qué puntos del plano tienen esa misma razón entre su distancia a A y a B? Pues precisamente todos los de la circunferencia de Apolonio.

Otro detallito, A y B son imagen cada uno del otro por la inversión en la circunferencia de Apolonio que pasa por P y Q. Otro más, dicen que el punto B pertenece a la polar del punto A (el polo) con respecto a la citada circunferencia.

La armonía es recíproca, A y B son armónicos con respecto a P y Q, en este orden, que siempre es esencial, pues puede comprobarse que
\[
(P, Q, A, B) = (A, B, P, Q) = (Q, P, B, A) = (B, A, Q, P)
\]

El caso es que con geogebra queda la construcción así:



Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
Se puede jugar moviendo los puntos "libres" A, B y C, que determinan P, Q y la circunferencia correspondiente. Cuando C se lleva a la mediatriz del segmento AB, P se aproxima al punto medio entre A y B, mientras que Q se aleja al infinito y más allá, tendiendo la circunferencia a convertirse en una recta, precisamente la mediatriz. Uno de los encantos de la razón doble es ser invariante ante transformaciones proyectivas, y el mundo proyectivo tiene el encanto de hacer del "infinito y más allá" un punto tan normal como los demás, poniendo una guinda a la abierta recta real para cerrarla en la recta proyectiva.

Pero ya proyectaré más, si acaso, otro día.