Hace tiempo, no recuerdo la razón, me crucé con el "cross-ratio", que en castellano se denomina razón doble. Es curioso cómo cambia la perspectiva de una misma cosa según la forma en que se nos presenta. Mi primer encuentro fue, en el contexto de la geometría, con una definición parecida a esta:
Si P, Q, A y B son puntos situados sobre la misma recta, la razón doble (P, Q, A, B) del cuarteto ordenado de tales puntos es el número
\[
(P, Q, A, B) = \frac{PA . QB}{ PB . QA}
\]
Sin embargo hace poco divisé, por otra razón, un "division ratio", que resultó ser la razón simple, en la que intervienen sólo 3 puntos. La wikipedia en español me remitió al DRAE donde con precisión se define la razón simple de tres números como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos;
p. ej., (6, 4, 3) = (6-4) / (6-3) = 2/3.
Y luego, a partir de la simple, se define la razón doble de cuatro números como el cociente de las razones simples formadas por cada uno de los dos primeros y los otros dos;
p. ej., (8, 6, 4, 3) = (8, 4, 3) / (6, 4, 3) = 6/5.
Esto es justo lo mismo, usando puntos, que definir la razón simple de un punto P con respecto a otros dos A y B como
\[
(P, A, B) = PA : PB
\]
y la razón doble de dos puntos P y Q respecto a otros dos A y B como la razón de las razones simples de P y de Q respecto a A y B
\[
(P, Q, A, B) = (P, A, B) : (Q, A, B)
\]
A y B son los puntos básicos que definen un segmento. Para cualquier punto P, la razón simple (P, A, B) indica en qué proporción, y cómo, P divide al segmento de A hasta B.
Hay que tener claro que siempre al hablar de puntos sobre una recta, elegimos una orientación que va a determinar el signo de los segmentos. Para una recta horizontal orientada de izquierda a derecha, AB es positivo si B está a la derecha de A, y negativo en caso contrario. Por tanto para D punto medio entre A y B, \( (D, A, B) = DA:DB = -1 \) pues los segmentos orientados DA y DB tienen igual longitud pero orientación opuesta. Para puntos interiores, entre A y B, la razón simple es negativa; para los puntos exteriores ( a la izquierda de A o a la derecha de B) la razón simple es positiva.
Empezando por la razón simple, antes de la doble, se entiende mucho mejor la idea de conjunto de puntos armónicos: P y Q son armónicos con respecto a A y B si las razones simples de P y de Q , respecto de A y B, son iguales en magnitud pero de signos opuestos, lo que significa que P por un lado y Q por el otro dividen al segmento de A a B en la misma proporción, ora internamente, ora externamente. En términos de la razón doble, que P y Q sean armónicos respecto de A y B se expresa escuetamente así:
\[
(P, Q, A, B ) = -1
\]
La bella armonía en que se encuentran P y Q queda plasmada en una figura geométrica notable, donde aparece la circunferencia de Apolonio.
Partimos de dos puntos no coincidentes A y B, que determinan un segmento y la recta r que les contiene. Fuera de esta recta pero sin otra restricción, tomamos un punto C, que determina con A y B un triángulo. Desde el vértice C trazamos las dos bisectrices, la del ángulo interno ACB, y la del ángulo externo formado por el lado BC y la prolongación del lado AC. La bisectriz interna corta a la recta r en un punto P (interno, con razón simple negativa), y la bisectriz externa corta a la recta r en otro punto Q (exterior al segmento A B, con razón simple positiva).
Pues bien, resulta que P y Q son armónicos respecto de A y B.
El punto medio entre P y Q , M, es el centro de la círcunferencia de Apolonio, que pasa por C además de por P y por Q, siendo rectángulo el triángulo PCQ.
La razón simple en que P y Q dividen (interna y externamente) a A y B es igual a la razón de las longitudes de los lados AC y BC. ¿Qué puntos del plano tienen esa misma razón entre su distancia a A y a B? Pues precisamente todos los de la circunferencia de Apolonio.
Otro detallito, A y B son imagen cada uno del otro por la inversión en la circunferencia de Apolonio que pasa por P y Q. Otro más, dicen que el punto B pertenece a la polar del punto A (el polo) con respecto a la citada circunferencia.
La armonía es recíproca, A y B son armónicos con respecto a P y Q, en este orden, que siempre es esencial, pues puede comprobarse que
\[
(P, Q, A, B) = (A, B, P, Q) = (Q, P, B, A) = (B, A, Q, P)
\]
El caso es que con geogebra queda la construcción así:
Se puede jugar moviendo los puntos "libres" A, B y C, que determinan P, Q y la circunferencia correspondiente. Cuando C se lleva a la mediatriz del segmento AB, P se aproxima al punto medio entre A y B, mientras que Q se aleja al infinito y más allá, tendiendo la circunferencia a convertirse en una recta, precisamente la mediatriz. Uno de los encantos de la razón doble es ser invariante ante transformaciones proyectivas, y el mundo proyectivo tiene el encanto de hacer del "infinito y más allá" un punto tan normal como los demás, poniendo una guinda a la abierta recta real para cerrarla en la recta proyectiva.
Pero ya proyectaré más, si acaso, otro día.
