Klein presenta estas transformaciones como "evolución" de las anteriores transformaciones dualísticas: la relación bilineal de x e y con x′ e y′,
a1xx′+b1xy′+c1x+a2yx′+b2yy′+c2y−a3x′−b3y′−c3=0
se generaliza a cualquier relación expresada mediante la aequatio directrix, o ecuación directriz, denominación debida a Plücker:
Ω(x,y;x′,y′)=0
siendo Ω una función de las coordenadas de los planos E y E′, arbitraria salvo por cumplir unas mínimas condiciones de continuidad. La siguiente figura, esta vez una recreación de las figuras 79 y 80 de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", o de Geometría traducido por R. Fontanilla, es muy conveniente para entender la relación entre los dos planos.
A cada punto P del plano E se le asocia una curva C′P en el plano E′ determinada precisamente por esa ecuación (1) tomando las coordenadas de P como constantes. A cada punto Q′ del plano E′ le corresponde una curva CQ′ en el plano E. Si Q′ pertenece a la curva C′P, entonces su curva asociada, CQ′, debe pasar por P.
Al recorrer P una curva K en E se obtiene una familia de curvas en E′ cuya envolvente es otra curva K′ en E′. Así se establece una relación entre las curvas de los planos E y E′ obtenida de Ω=0 . En detalle, lo que se deduce es una relación entre elementos-de-línea entendidos como un punto P(x,y) y una dirección PP1, la de la tangente a K en P cuando P1(x+dx,y+dy) se acerca a P sobre K.
La curva C′P asociada a P es Ω(x,y;x′,y′)=0 y la C′P1 asociada a P1 en el límite hasta términos lineales puede ponerse como
Ω(x+dx,y+dy;x′,y′)=Ω(x,y;x′,y′)+∂Ω∂xdx+∂Ω∂ydy=0
Usando p=dy/dx, tangente del ángulo definido por PP1, la intersección de ambas curvas, en el límite, da el punto P′ de tangencia a K′. P′ se obtiene por tanto de las dos ecuaciones
Ω(x,y;x′,y′)=0∂Ω∂x+∂Ω∂yp=0
La tangente a K′ en P′ es la tangente a C′P en ese mismo punto, que se expresa por
∂Ω∂x′dx′+∂Ω∂y′dy′=0
y puede ponerse, empleando p′=dy′/dx′, como
∂Ω∂x′+∂Ω∂y′p′=0
Así, dados en E un punto P y una dirección p , mediante Ω se les hace corresponder un punto P′ y una dirección p′ en E′, que se determinan resolviendo las ecuaciones (???) y (3). Queda claro el nombre dado por Lie de transformaciones de contacto: dos curvas que se tocan en un punto P, son tangentes una a la otra, se transforman en otras que también se tocan, son tangentes una a la otra en P′. La tangencia de dos curvas es un invariante bajo una transformación de contacto.
Conviene no dejarse engañar por la notación, no hay una correspondencia entre los puntos P y P′, pues P′ depende tanto de P como de p, o de la curva K que se considere.
En cuanto al excelente MathJax, que llevo usando hace ya bastantes entradas, hoy he practicado por primera vez con la numeración de ecuaciones y con la referencia a dichas ecuaciones. Nada como esas páginas de ejemplo para aprender. He tenido que actualizar la plantilla de blogger para incluir lo indicado sobre numeración automática de ecuaciones.
