Al hablar de la dualidad punto-línea ya se vio que la ecuación de una recta era
\[
ux + vy =1
\]
con \( (x,y) \) "coordenadas de punto" y \( (u,v) \) "coordenadas de línea" del plano, llamemoslo \(E\). Y no por capricho, sino porque las transformaciones a estudiar se entienden mejor considerando que son relaciones entre elementos geométricos de dos planos distintos \(E'\) y \(E\). Por ejemplo, relacionando puntos \( (x',y') \) de \(E'\) con líneas \( (u,v) \) de \(E\), en principio mediante funciones generales
\[
u=\phi(x',y') \ , \ v=\xi(x',y')
\]
Pero mejor estudiar un caso concreto y "sencillo"
\[
u=x' \ , \ v=y'
\]
Corresponde a la relación polo-polar respecto de la circunferencia de radio unidad, ilustrada en la siguiente figura, recreación de la figura 78 de la obra de Klein.
La polar en \(E\) asociada al polo \(P'(x',y')\) tiene por ecuación
\[
x' x + y' y = 1
\]
Por la simetría de la expresión, \(E\) y \(E'\) juegan un mismo papel en la relación "puntos de uno a líneas del otro", hay dualidad cruzada. Puede decirse tanto que la ecuación expresa la relación de un punto de \(E'\) a una línea de \(E\), como la relación de un punto de \(E\) a una línea de \(E'\). Además en este caso hay reciprocidad, pueden solaparse \(E\) y \(E'\), y es indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno o a otro, pues puntos \(P\) y \(P'\) coincidentes se relacionan con líneas coincidentes. En la figura pueden considerarse superpuestos los dos planos \(E'\) y \(E\).
Para entender esta diferencia de conceptos, dualidad cruzada y reciprocidad, un tanto sutil en este ejemplo, puede considerarse la relación dualística más general entre puntos de \(E'\) y líneas de \(E\) dada por
\[
\begin{aligned}
u & = \frac{a_1 x' + b_1 y' + c_1 }{a_3 x' + b_3 y' + c_3} \\
v & = \frac{a_2 x' + b_2 y' + c_2 }{a_3 x' + b_3 y' + c_3}
\end{aligned}
\]
que se reduce a la ecuación bilineal más general
\[
a_1 x x'+b_1 x y' + c_1 x + a_2 y x' + b_2 y y'+c_2 y - a_3 x' - b_3 y' - c_3=0
\]
Hay que hacer el ejercicio de pensar que las coordenadas primadas son constantes, un punto concreto de \(E'\), y entonces se tiene la ecuación de una recta en \(E\); pero que igualmente pueden considerarse las coordenadas sin primar como fijas, un punto concreto de \(E\), y esa misma ecuación indica una recta en \(E'\).
Sin embargo, aunque hay una dualidad entre puntos y líneas, en este caso no necesariamente hay reciprocidad, que puntos de \(E\) y \(E'\) con iguales coordenadas se transformen en las mismas líneas de \(E'\) y \(E\). La transformación es recíproca si \(b_1=a_2 \ ,\ c_1=-a_3 \ ,\ c_2 = -b_3\), y en tal caso puede ponerse, evidenciando la simetría, como
\[
Axx'+B(xy'+yx')+Cyy'+D(x+x')+E(y+y')+F=0
\]
Entonces esta relación, dual y recíproca, expresa la correspondencia de polo y polar respecto de la cónica cuya ecuación es
\[
A x^2+2 B x y + C y^2 + 2Dx+ 2Ey +F=0
\]
Ahí queda eso, como aperitivo antes de pasar al siguiente apartado, con tacto.
