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domingo, 12 de mayo de 2013

EMAS Geometry 5 - Transformaciones dualisticas

Siguiendo en la segunda parte de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" (o en la versión Geometría traducido por R. Fontanilla), hay un cambio interesante. Klein pasa a considerar transformaciones con cambio del elemento geométrico. El primer caso es el de las transformaciones dualísticas.

Al hablar de la dualidad punto-línea ya se vio que la ecuación de una recta era
ux+vy=1
con (x,y) "coordenadas de punto" y (u,v) "coordenadas de línea" del plano, llamemoslo E. Y no por capricho, sino porque las transformaciones a estudiar se entienden mejor considerando que son relaciones entre elementos geométricos de dos planos distintos E y E. Por ejemplo, relacionando puntos (x,y) de E con líneas (u,v) de E, en principio mediante funciones generales
u=ϕ(x,y) , v=ξ(x,y)
Pero mejor estudiar un caso concreto y "sencillo"
u=x , v=y
Corresponde a la relación polo-polar respecto de la circunferencia de radio unidad, ilustrada en la siguiente figura, recreación de la figura 78 de la obra de Klein.

La polar en E asociada al polo P(x,y) tiene por ecuación
xx+yy=1
Por la simetría de la expresión, E y E juegan un mismo papel en la relación "puntos de uno a líneas del otro", hay dualidad cruzada. Puede decirse tanto que la ecuación expresa la relación de un punto de E a una línea de E, como la relación de un punto de E a una línea de E. Además en este caso hay reciprocidad, pueden solaparse E y E, y es indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno o a otro, pues puntos P y P coincidentes se relacionan con líneas coincidentes. En la figura pueden considerarse superpuestos los dos planos E y E.
Para entender esta diferencia de conceptos, dualidad cruzada y reciprocidad, un tanto sutil en este ejemplo, puede considerarse la relación dualística más general entre puntos de E y líneas de E dada por
u=a1x+b1y+c1a3x+b3y+c3v=a2x+b2y+c2a3x+b3y+c3
que se reduce a la ecuación bilineal más general
a1xx+b1xy+c1x+a2yx+b2yy+c2ya3xb3yc3=0
Hay que hacer el ejercicio de pensar que las coordenadas primadas son constantes, un punto concreto de E, y entonces se tiene la ecuación de una recta en E; pero que igualmente pueden considerarse las coordenadas sin primar como fijas, un punto concreto de E, y esa misma ecuación indica una recta en E.
Sin embargo, aunque hay una dualidad entre puntos y líneas, en este caso no necesariamente hay reciprocidad, que puntos de E y E con iguales coordenadas se transformen en las mismas líneas de E y E. La transformación es recíproca si b1=a2 , c1=a3 , c2=b3, y en tal caso puede ponerse, evidenciando la simetría, como

Axx+B(xy+yx)+Cyy+D(x+x)+E(y+y)+F=0

Entonces esta relación, dual y recíproca, expresa la correspondencia de polo y polar respecto de la cónica cuya ecuación es

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0


Ahí queda eso, como aperitivo antes de pasar al siguiente apartado, con tacto.


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