Al hablar de la dualidad punto-línea ya se vio que la ecuación de una recta era
ux+vy=1
con (x,y) "coordenadas de punto" y (u,v) "coordenadas de línea" del plano, llamemoslo E. Y no por capricho, sino porque las transformaciones a estudiar se entienden mejor considerando que son relaciones entre elementos geométricos de dos planos distintos E′ y E. Por ejemplo, relacionando puntos (x′,y′) de E′ con líneas (u,v) de E, en principio mediante funciones generales
u=ϕ(x′,y′) , v=ξ(x′,y′)
Pero mejor estudiar un caso concreto y "sencillo"
u=x′ , v=y′
Corresponde a la relación polo-polar respecto de la circunferencia de radio unidad, ilustrada en la siguiente figura, recreación de la figura 78 de la obra de Klein.
La polar en E asociada al polo P′(x′,y′) tiene por ecuación
x′x+y′y=1
Por la simetría de la expresión, E y E′ juegan un mismo papel en la relación "puntos de uno a líneas del otro", hay dualidad cruzada. Puede decirse tanto que la ecuación expresa la relación de un punto de E′ a una línea de E, como la relación de un punto de E a una línea de E′. Además en este caso hay reciprocidad, pueden solaparse E y E′, y es indiferente considerar que los puntos pertenecen a uno o a otro, pues puntos P y P′ coincidentes se relacionan con líneas coincidentes. En la figura pueden considerarse superpuestos los dos planos E′ y E.
Para entender esta diferencia de conceptos, dualidad cruzada y reciprocidad, un tanto sutil en este ejemplo, puede considerarse la relación dualística más general entre puntos de E′ y líneas de E dada por
u=a1x′+b1y′+c1a3x′+b3y′+c3v=a2x′+b2y′+c2a3x′+b3y′+c3
que se reduce a la ecuación bilineal más general
a1xx′+b1xy′+c1x+a2yx′+b2yy′+c2y−a3x′−b3y′−c3=0
Hay que hacer el ejercicio de pensar que las coordenadas primadas son constantes, un punto concreto de E′, y entonces se tiene la ecuación de una recta en E; pero que igualmente pueden considerarse las coordenadas sin primar como fijas, un punto concreto de E, y esa misma ecuación indica una recta en E′.
Sin embargo, aunque hay una dualidad entre puntos y líneas, en este caso no necesariamente hay reciprocidad, que puntos de E y E′ con iguales coordenadas se transformen en las mismas líneas de E′ y E. La transformación es recíproca si b1=a2 , c1=−a3 , c2=−b3, y en tal caso puede ponerse, evidenciando la simetría, como
Axx′+B(xy′+yx′)+Cyy′+D(x+x′)+E(y+y′)+F=0
Entonces esta relación, dual y recíproca, expresa la correspondencia de polo y polar respecto de la cónica cuya ecuación es
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0
Ahí queda eso, como aperitivo antes de pasar al siguiente apartado, con tacto.
