Estas versiones inglesas derivan de la tercera edición de las "Elementarmathematik vom höheren Standpuntke aus" de Felix Klein, publicada en tres volúmenes por J. Springer entre 1924 y 1928. En el archivo de internet pueden encontrarse versiones en alemán con el original de puño y letra del propio Klein.
En español hay una traducción de estos dos volúmenes en la década de 1930, y en época más reciente,
junio de 2006, la editorial Nivola publicó el primer volumen, "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética. Álgebra. Análisis" en el volumen nº 15 de la colección Ciencia Abierta. El nº 16 de esa colección está asignado al volumen sobre Geometría, pero a principios de 2013 aún no se había publicado.
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ACTUALIZACIÓN IMPORTANTE.
Tras varios días de publicar esta entrada, y de lanzar unas cuantas entradas más sobre esta obra, buscando información sobre un tal Polhke, lo que son las cosas y los buscadores, he llegado a... que están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. ¡Albricias! Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla. Parece que estas traducciones son de una versión del original alemán de 1908, luego tendrán algunas diferencias respecto a las ediciones indicadas antes.
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Por tanto, como no entiendo bien la letra de Klein y no tengo ni idea de alemán, he empleado la versión inglesa de Dover, editorial a la que no se podrá elogiar nunca lo suficiente por la extensa oferta de excelentes obras a precios muy asequibles, y con ediciones muy dignas en cuanto a calidad de la encuadernación, tipografía e ilustraciones. Dover, I really love you.
Felix Klein siempre tuvo un interés en la pedagogía de las matemáticas, y esta obra iba dirigida a maestros de escuelas de bachillerato. Era una audiencia bien formada, a la que no se pretendía enseñar los temas tratados, sino dar una visión amplia de la matemática, que pudiese beneficiar a su propia docencia. En el primer volumen está más presente la orientación pedagógica en aspectos concretos. En el segundo prevalece ante todo el ideal enciclopédico, ofrecer una visión global de la geometría, mostrando las interrelaciones entre sus partes y el desarrollo histórico "reciente", en el siglo XIX.
El "punto de vista superior (o avanzado)" del título hay que tomarlo completamente en serio. Indica que, no siendo un libro de texto, tampoco es divulgativo, ni fácil; es denso en contenido y su "digestión" requiere ciertos conocimientos previos, tiempo y esfuerzo. Y muy posiblemente descansos, e idas y venidas, pues al final las distintas partes están completamente relacionadas, y hay que alternar el acercamiento de cada parte por separado, con la distancia de ver la obra en su conjunto, lo que solo se consigue al alcanzar el tramo final.
En la introducción Felix Klein aboga por una presentación de la geometría en fusión con la aritmética, en su acepción más amplia e inclusiva del álgebra y el análisis. También aboga por superar la forma tradicional de enseñar por un lado la geometría del plano y por otro la del espacio, de forma un tanto independiente. Precisamente una de las aportaciones de la aritmética a la geometría es la generalización dimensional de la geometría, conjugar en un edificio único la geometría de una, dos, tres... y de un número arbitrario de n dimensiones, terreno éste en el que la intuición visual pierde pie.
El volumen sobre Geometría se divide en tres partes:
1. Las Variedades Geométricas más Simples.
- Segmento de Línea, Área, Volumen como Magnitudes Relativas
- El Principio del Determinante de Grassmann para el Plano
- El Principio de Grassmann para el Espacio
- Clasificación de las Configuraciones Elementales del Espacio de acuerdo a su Comportamiento bajo Transformaciones de Coordenadas Rectangulares
- Variedades Derivadas
2. Transformaciones Geométricas.
- Transformaciones Afines
- Transformaciones Proyectivas
- Transformaciones Puntuales Superiores
- Transformaciones con Cambio del Elemento Espacial
- Teoría de lo Imaginario
3. Discusión Sistemática de la Geometría y sus Fundamentos.
- Discusión Sistemática
- Repaso a la Estructura de la Geometría
- Digresión sobre la Teoría de Invariantes de Sustituciones Lineales
- Aplicación de la Teoría de Invariantes a la Geometría
- Sistematización de las Geometrías Afín y Métrica en Base al Principio de Cayley
- Fundamentos de la Geometría
- Desarrollo de la Geometría Plana con Énfasis en los Movimientos
- Otro Desarrollo de la Geometría Métrica - el Rol del Axioma de las Paralelas
- Los Elementos de Euclides
Rasgos principales del tratamiento de Klein en esta obra son:
- Usa plenamente el aparato analítico para desarrollar la geometría, pero sin olvidar nunca la interpretación geométrica ("visual") de las expresiones analíticas.
- Emplea la idea de transformaciones para definir como elementos geométricos aquellos expresados mediante combinaciones analíticas que se transforman entre sí.
- Generalidad respecto al número de dimensiones, usando la senda trazada por Grassmann.
- Relaciona entre si los distintos tipos de transformaciones, afines, proyectivas, por radios inversos, dualísticas (polo-polar), de contacto.
- Realza el lugar preferente de la geometría proyectiva; la importancia de la dualidad, de considerar como conceptos igual de "elementales" el punto y la recta en el plano, o el punto y el plano en el espacio; la relación polo-polar; el papel especial de las curvas cónicas.
- Expone la importancia y significado de los "elementos infinitamente distantes".
- Usa y explica el papel de las coordenadas homogéneas.
- Aborda la "teoría de lo imaginario", cómo emplear en la maquinaria analítica los números complejos, y dar significado geométrico al resultado.
- Valiosos aportes de carácter histórico en cuanto a los protagonistas del desarrollo de la geometría en el siglo XIX.
- Aborda la teoría de invariantes de sustituciones lineales, y su aplicación a la geometría en el marco del principio de Cayley, para llegar a comprender qué significan las palabras de éste "la geometría proyectiva es toda la geometría", y sistematizar en ese marco conceptual las geometrías afín y métrica.
- Repasa modos alternativos de plantear el desarrollo fundacional de la geometría.
- Discute el significado del postulado de las paralelas y de las geometrías no euclideas.
- Y acaba Klein con un repaso crítico de la primera obra, los Elementos de Euclides.
la geometría afín, o la geometría métrica, surgen de la geometría proyectiva cuando adjuntamos a la variedad dada el plano en el infinito \( \tau=0 \), o este plano junto con el círculo esférico imaginario \( \tau=0, \xi^2+\eta^2+\zeta^2=0 \), respectivamente.Pero aún pareciendo que esta subida se hace larga, y crece el agotamiento, y falta el aire, también se vislumbran paisajes espléndidos, caminos confluyentes, aromas únicos, susurros de gigantes desde tiempos legendarios.
