Las 1-formas no son absolutamente necesarias en física, e insistir en su uso cuando esta presente una métrica puede dar lugar a problemas de interpretación. Un ejemplo es el del cálculo del trabajo infinitesimal dW realizado por una fuerza F que acelera una masa m a lo largo de un desplazamiento infinitesimal dr. Escrito como dW=F.dr, a veces se interpreta que la fuerza es una 1-forma que se combina con, o actua sobre, el vector dr para producir el escalar dW. Pero entonces, como Newton nos dice que F=ma, y la aceleración es un vector (derivado del vector dr), podemos concluir que la fuerza es un vector. De modo que la fuerza ¿es un vector o una 1-forma?
Para nosotros la pregunta no surge, pues siempre tomamos el punto de vista pragmático de que existe una métrica, y sólo hay vectores. Al fin y al cabo, ¡todo laboratorio tiene al menos una regla! Los físicos miden cosas, de modo que la métrica es un lugar natural donde empezar. Además, eventualmente siempre se introduce una métrica en cualquier libro de texto sobre teoría tensorial en física, y esta métrica tiene entonces el efecto de hacer la idea de 1-formas superflua.
Esto en esencia coincide con lo que recuerdo de mis lejanos tiempos de estudiante. No recuerdo haber oído hablar de 1-formas, al menos con ese nombre, pero sí de vectores y tensores. En general todas esas cosas con pinta de magnitud dirigida y semejantes a flechas, eran vectores. El trabajo era un escalar, el producto escalar de dos vectores, vector fuerza y vector desplazamiento, multiplicando sus magnitudes por el coseno del angulo que forman.
El trabajo "elemental" dW (escalar) producido por la fuerza F (vector) al desplazarse la partícula un desplazamiento infinitesimal dr (vector) era dW=F.dr, que empleando las coordenadas cartesianas de ambos vectores quedaba así: dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz
La cosa se complicaba algo cuando uno empezaba a hablar de componentes contravariantes, las "normales de toda la vida", y las covariantes, que se transformaban de otro modo. Se adoptaba una nomenclatura de índices arriba para las componentes contravariantes e índices abajo para las covariantes. Se podía pasar de una versión a otra subiendo y bajando índices con el tensor métrico y su inverso, y además en los casos sencillos ambas componentes de una y otra versión coincidían. Esto se generalizaba a los tensores. Además se usaba el convenio de sumación de Einstein. Pero no recuerdo haber tratado con las formas diferenciales o los tensores antisimétricos, aunque sí haber recibido demasiado pronto la versión tensorial de las ecuaciones de Maxwell y no saber por dónde me daba el aire.
Más recientemente he leído cosas de formas diferenciales y hay una tendencia a emplear cada vez más ese lenguaje, que algunos consideran más potente. Parece que desde el punto de vista matemático esa mayor potencia se traduce en que todos los teoremas usuales de integrales de línea, superficie y volumen en R3 pueden generalizarse y expresarse concisamente empleando el lenguaje de las formas, y demostrarse válidos aún sin necesidad de métrica. Y en un libro como “Clasical dynamics. A contemporary approach” de José y Saletan, se formula la mecánica clásica introduciendo las variedades diferenciales, el fibrado tangente (formado por vectores) y el fibrado cotangente (formado por 1-formas). La formulación Lagrangiana "actúa" en el fibrado tangente, mientras la Hamiltoniana "actúa" en el fibrado cotangente.
Así pues aunque normalmente podamos vivir sólo con vectores y nuestra regla, en aplicaciones avanzadas conviene poder distinguir vectores y 1-formas. Después de todo no es tan complicado :-).
Si se parte de un espacio vectorial V, a cuyos elementos llamamos vectores, como v, resulta que siempre se puede definir otro espacio vectorial llamado dual del anterior y denotado por V*, a cuyos elementos se les llama 1-formas e, porque son funciones e:V → R que a cada vector v de V le asocian un escalar e(v), de ahí lo de "forma", y el 1- porque sólo hay un vector como argumento. Una 2-forma sería una función bilineal de VxV → R, y antisimétrica respecto al intercambio de los dos factores.
En V puedo elegir una base y expresar cualquier vector v por sus componentes respecto a la misma. A esas componentes se las denomina contravariantes porque varían de cierto modo al cambiar de base.
A partir de cualquier base B de V se puede definir una base dual B* en V* de un modo tal que usando las componentes (v1,...,vn) de v respecto a B, y las (e1,...,en) de e respecto a B*, se pueda poner para todo v de V y todo e de V* que
e(v)=v1 e1+...+vn en
Las componentes (e1,...,en) se denominan covariantes porque varían de otro cierto modo al cambiar de base en V (sí, en V, no V*), modo un tanto contrario o inverso a cómo varían las componentes de v. De ahí la nomenclatura co- y contra- para significar los dos diferentes modos de variar al cambiar de base en V.
El cambio de una base B a otra B' en V lleva aparejado un cambio de la base B* a otra B'* (NO se considera un cambio de base en V* que sea independiente del realizado en V). Precisamente la forma “contraria” con la que cambian los v1,...,vn por un lado y los e1,...,en por otro, es tal que los dos productos dan un mismo escalar:
e(v)=v1 e1+...+vn en=v'1 e'1+...+v'n e'n
pues el valor de la función e sobre el vector v no depende de la base de V empleada.
¡Vaya!, esto es como un producto escalar de vectores pero usando ahora un vector y una 1-forma.
Entonces podría interpretar que dr es un vector infinitesimal, diferencia de dos vectores posición muy próximos, con componentes (dx, dy, dz) respecto de una base cartesiana {i,j,k}, y la fuerza F una 1-forma de componentes (Fx, Fy, Fz) respecto a la base dual {i*,j*,k*}. Su producto es el escalar dW, el trabajo infinitesimal.
Claro que podría ser al revés, F es un vector de componentes (Fx,Fy,Fz) y la 1-forma es dr con componentes (dx, dy, dz), y de nuevo dW un escalar. Al leer sobre formas diferenciales no es raro encontrar que dx es una 1-forma.
Pero también he visto por algún lado que una forma diferencial es algo como ¡dW! A ver si dW no es un escalar sino que es una 1-forma, que al integrar sobre cierto camino me da el trabajo del campo de fuerza, que no es sino la diferencia de la energía potencial (función escalar ) evaluada entre el punto inicial y el final del camino.
En fin, hay varias opciones:
1) F vector, dr vector, dW escalar sacado de F y dr con el producto escalar.
2) F 1-forma, dr vector, dW escalar igual a F(dr)
3) F vector, dr 1-forma, dW escalar igual a dr(F)
4) dW 1-forma, de componentes (Fx,Fy,Fz) respecto a una base B* de V* cuyas 1-formas base son dx, dy y dz, que ellas mismas son 1-formas, no componentes de vectores ni componentes de 1-formas.
No me extraña que Don Koks se quede con la regla y los vectores, y fuera líos, porque si no de las 4 posibilidades ¿cual es la buena?
Me atrevería osadamente a decir, con la regla en la mano, que ... todas.
La 1) es la más clásica y de toda la vida. F y dr son vectores, cogemos un sistema de referencia cartesiano con vectores básicos ortonormales de modo que F=Fx i + Fy j + Fz k, y dr=dx i + dy j+ dz k, y dW es su producto escalar.
La 2) y la 3) pueden valer si usamos la métrica, pues entonces hay una correspondencia unívoca entre los vectores v de V y las 1-formas e de V*: cada vector tiene un alter ego en forma de 1-forma, y viceversa. Esto nos puede fallar si perdemos la métrica, pero teniendo siempre una regla a mano no hay problema.
La 4) si que es un poco más rara, pero puede entenderse si consideramos que aquí dW, dx, dy y dz no indican un escalar, ni un incremento infinitesimal, sino funciones. Concretamente dx es la función que para cada vector v nos da el valor de su primera componente, la que multiplica al vector base i. Este si que es un lío de notación, pues uso signos idénticos para cosas muy diferentes. Incluso podría poner una igualdad como dx(dr)=dx en que la primera dx es una 1-forma, dr es el vector de componentes (dx,dy,dz) y este último dx, que aparece en el segundo miembro de la igualdad, un número indicando la componente x del vector dr.
En este caso para no confundirse habría que expresar las componentes del vector dr de otro modo, por ejemplo como (dr1, dr2, dr3). Entonces dx, dy y dz son 1-formas, y como pueden multiplicarse por escalares y sumarse, pues las 1-formas tienen estructura de espacio vectorial, resulta que
Fx dx + Fy dy + Fz dz
es una 1-forma, que aplicada a dr da precisamente
{Fx dx + Fy dy + Fz dz}(dr)=Fx dx(dr) + Fy dy(dr) + Fz dz(dr) =
Fx dr1 + Fy dr2 + Fz dr3.
Puede decirse que dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz es una 1-forma que representa una fuerza en un punto y permite calcular el trabajo de la misma para cualquier desplazamiento dr pequeño alrededor del mismo. Si la fuerza fuese constante, igual en todo punto, esa forma nos serviría para calcular el trabajo de ese campo de fuerza constante entre dos puntos cualesquiera ra y rb, aplicando dW al vector rb-ra. El trabajo sería pues dW(rb-ra). Este sería un caso de campo conservativo y podríamos ver la situación “al revés”, considerando la función “menos energía potencial” W, que asigna un escalar W(r) a todo punto r.
Resulta que una función escalar W es, por definición, una 0-forma, y su derivada es ... una 1-forma, designada por dW. En este caso la d a la izquierda de W significa “diferencial (o derivada) exterior de”.
Pero hay una sutileza. Al hablar de V y V*, de v y e, y tomar Fx, Fy, Fz como escalares, se adopta un punto de vista local, de un punto concreto ra: los vectores de V y las 1-formas de V* son locales, ligados al punto ra. Cogiendo en cada punto un vector “local” se llega a la idea de campo vectorial. Cogiendo en cada punto una 1-forma “local” se llega a la idea de forma diferencial, que podría ponerse como algo así
dW(r)=Fx(r) dx(r) + Fy(r) dy(r) +Fz(r) dz(r)
Ahora Fx(r), Fy(r) y Fz(r) son tres funciones escalares definidas para cada r, y tanto dW(r) como dx(r), dy(r) y dz(r) son formas diferenciales. Lo normal es ver esto puesto así
dW=Fx(r) dx + Fy(r) dy +Fz(r) dz
mostrando sólo la dependencia de r de las Fx, Fy y Fz. En este caso ya se sobreentiende que por ejemplo dx no es una 1-forma "puntual", sino una forma diferencial, que lleva implícitas una 1-forma dx "local" en cada punto. Las formas diferenciales dx, dy, dz sirven de base para expresar la más general dW usando funciones escalares como coeficientes o componentes en vez de simples escalares sin más.
Por cierto, la forma diferencial dx es la diferencial de la función escalar x. Sí, aquí x más que como variable o valor escalar se entiende como función que a cada punto r le asigna el valor de su primera coordenada. De nuevo podríamos poner algo como x(r)=x donde el significado de la x en cada caso es diferente.
Las formas diferenciales trabajan a escala global, no puntual. Dada una función escalar como la “menos energía potencial” W(r), su diferencial es una forma diferencial que tiene como componentes las derivadas parciales (denotando la parcial respecto a x por ",x"):
W,x(r)=Fx(r) ; W,y(r)=Fy(r) ; W,z(r)=Fz(r).
Es decir
dW(r)=W,x(r) dx + W,y(r) dy +W,z(r) dz
como nos decía el análisis de siempre aunque sin llamar a dx forma diferencial.
La claridad de todo lo referido a tensores, formas diferenciales y demás se puede palpar en el artículo de la wikipedia inglesa sobre covariancia y contravariancia de vectores, y en su página de discusión.
Saber si la fuerza es un vector o una 1-forma no lo sabremos, pero es seguro que para alcanzar el conocimiento nos deberá acompañar. Mucho.
