proyectivo, lineal, afín

La figura final de la anterior entrada

era un compendio de la equivalencia fundamental entre "punto de la recta proyectiva" y "recta que pasa por el origen de coordenadas", o "subespacio vectorial de dimensión \(1\) en espacio vectorial de dimensión \(2\)". Dejemos de lado los pares de puntos sobre la circunferencia b, o el punto sobre la circunferencia c. El punto P de la recta proyectiva con coordenada \( x \) tiene, en su inmersión en el plano bidimensional ordinario, coordenadas \( (x,1) \). Pero podemos usar como representante suyo cualquier punto ( como el C o cualquiera de los B ) de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por P, con las coordenadas homogéneas \( (x_1,x_2) \), es decir, tenemos \( x = x_1 / x_2 \).

¿Y de dónde viene la equivalencia? Realmente lo que da carta de naturaleza, lo que imprime carácter a la recta proyectiva, es el grupo de transformaciones descrito por la transformación de Möbius (siendo \(a d -b c \neq 0 \) )
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Esta transformación puede reescribirse en coordenadas homogéneas, usando \( x = x_1 / x_2 \) y \( x' = x_1' / x_2' \) como
\[
\frac{x_1'}{x_2'} = \frac{a x_1+b x_2}{c x_1+d x_2}
\]
Pero entonces resulta que las aplicaciones lineales no singulares del espacio vectorial bidimensional, que podemos expresar matricialmente por
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \end{array} \right] = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]
\]
con la condición \( a d - b c \neq 0 \), se corresponden con las transformaciones proyectivas de la recta. Toda aplicación lineal, en dimensión \(2\), se plasma en una transformación proyectiva, en dimensión \(1\). Puede haber distintas aplicaciones líneales que lleven a la misma transformación proyectiva. Por ejemplo todas en las que \( b=c=0 \ ; \ a = d = k \neq 0\) , que cambian un vector por otro múltiplo, dejan invariante cada subespacio vectorial monodimensional, y corresponden por tanto a la transformación proyectiva identidad. Hay un homomorfismo, que no isomorfismo, entre el grupo de aplicaciones lineales en dimensión \(2\) y el grupo de transformaciones de Möbius en dimensión \(1\). Ahí radica la equivalencia citada.

Otra relación interesante es la que hay entre la recta proyectiva y la recta afín. Esta última viene a ser lo que queda de la primera cuando restringimos las posibles transformaciones proyectivas entre puntos de la recta a únicamente aquellas que dejan fijo el punto ideal, del infinito, aquellas en que \( x=\infty \mapsto x'=\infty \). Esta restricción, vista en el ámbito del espacio vectorial de dimensión 2, implica quedarnos con aquellas aplicaciones lineales que dejan invariante la recta \( x_2=0 \), el eje de abcisas en la figura anterior.
Para imponer esta restricción a \( {x'}_2 = c x_1 + d x_2 \) debe ser \( c=0 \) , lo que nos lleva a quedarnos con las transformaciones de Möbius del tipo

\[
x \mapsto x' = \frac{a}{d} x + \frac{b}{d}
\]
que es justamente la expresión de una transformación afín en dimensión \(1\). En una dimensión tan reducida la aplicación afín más general consiste en combinar una traslación con una homotecia. Estas dos operaciones, trasladar y multiplicar la distancia a un punto dado por una constante, dejan el infinito en el infinito.

Al final vamos a parar a la concepción del Erlangen Program de Felix Klein, de que una geometría se determina por unos elementos junto con el grupo de transformaciones de los mismos. Si el grupo es muy grande, muy general, las propiedades invariantes por todo el grupo serán pocas, pero esenciales. Si restringimos nuestro interés a un subgrupo más pequeño de transformaciones, pueden aparecer más propiedades que resultan invariantes, y más específicas.

Las propiedades proyectivas en dimensión \(1\) son escasas. La razón doble es una propiedad proyectiva, pero no la razón simple. Al poner restricciones, por ejemplo al limitarnos a las transformaciones afines, surgen nuevas propiedades. En la recta afín la razón simple sí es un invariante. Si restringimos aún más, a sólo aquellas transformaciones que preserven la distancia entre puntos, tendremos la recta euclídea.

En el plano afín se estudiarán como relacionadas, como afines, susceptibles de ponerse en el mismo saco, figuras que no compararíamos ni relacionaríamos desde un punto de vista euclídeo. En la geometría euclídea ponemos en el mismo saco sólo las figuras congruentes, que pueden hacerse coincidir mediante un movimiento "rígido", o a lo sumo semejantes, que difieran sólo en la escala, pero no en la forma. El grupo de transformaciones admisibles es bastante reducido. Sin embargo afines pueden ser figuras no semejantes, deformadas una respecto a la otra por dilataciones o compresiones diferentes respecto de dos ejes distintos. Se amplía el grupo de transformaciones a considerar. Por cierto, el término afín se debe, como tantos otros, a Leonard Euler, y deriva del latín affinitas, relación por matrimonio. Euler quería transmitir que aunque una figura y su imagen afín no eran similares, no obstante estaban relacionadas (como cuenta I. M. Yaglom en la nota 63, p. 152, del muy recomendable "Geometries, Groups and Algebras in the Nineteenth Cebntury - A History").

En fin, todo está relacionado, euclídeo, proyectivo, lineal, afín, aunque saltando de dimensión. De una proyección central en un plano euclídeo (dimensión 2) se sacó la expresión analítica de las transformaciones proyectivas de la recta (dimensión \(1\) ), que pueden relacionarse con las transformaciones lineales del plano (dimensión \(2\) ).

Subiendo una dimensión, pasando de la recta al plano proyectivo, de dimensión \( 2 \), la cosa podría empezar con las aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión \( 3 \)
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{array} \right] =
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]
\]
Esta es la expresión, en términos de coordenadas homogéneas, con
\[
x= \frac{x_1}{x_3} \ \ \ ; \ \ \ y= \frac{x_2}{x_3}
\]
de las transformaciones del espacio proyectivo de dimensión \( 2 \)
\[
(x,y) \mapsto (x', y') = \left( \frac{a_{11} x +a_{12} y +a_{13}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} , \frac{a_{21} x +a_{22} y +a_{23}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} \right)
\]
Cada punto del plano proyectivo, plano que casi podemos "pintar" en el espacio tridimensional coincidiendo con el plano de ecuación \( x_3=1 \), viene representando de nuevo por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Cada recta que pasa por el origen y está contenida en el plano \( x_3=0 \) equivale a un punto del plano proyectivo en el infinito, y todas ellas en conjunto forman la recta del infinito. Esta figura está basada en la figura 64 del magnífico "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" de Felix Klein, Dover. En junio de 2006 salió en Nivola, en la colección ciencia abierta nº 15, el primer volumen "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética, Álgebra, Análisis", pero parece que la traducción del segundo volumen, de Geometría, se hace de rogar, y hay que recurrir a Dover Publications Inc., Mineola, New York. Salvo que se domine el alemán como para mirar el manuscrito del autor.

Restringirnos a transformaciones proyectivas que apliquen esa recta del infinito sobre sí misma implica pedir que \( x_3 = 0 \mapsto {x'}_3=0 \), y para ello es necesario que \( a_{31}= 0 = a_{32} \), con lo que llegamos a las aplicaciones afines del plano
\[
\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] = \frac{1}{a_{33}} \left(
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \right)
\]

Otro día Kleineo un poco.

la recta proyectiva

Tanto punto alineado armónicamente en las últimas entradas de la transitoria bitácora proyecta una alargada sospecha, la de estar influido por el peculiar mundo de la geometría proyectiva. A veces me he perdido un tanto en el plano proyectivo, a ver si tratando sólo con la recta proyectiva me va mejor.

La recta proyectiva puede presentarse de diferentes formas, y cuantas más perspectivas se tengan del asunto, tanto mejor. La base más geométrica del asunto tiene que ver precisamente con la proyección central. Sigamos la página 330 de "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner. En el plano euclídeo de toda la vida trazamos dos rectas cualesquiera r y r'. Tomamos un punto C no perteneciente a ninguna de dichas rectas. Este es el centro de una proyección central, por la que a cualquier punto P de r se le hace corresponder otro punto P' de r'. Los puntos P y P' que se corresponden entre sí son los situados sobre la misma recta "proyectante" que pasa por C.

Esta es una descripción netamente geométrica de la correspondencia entre r y r'. A partir de ella se obtiene una relación analítica entre las coordenadas x de P (respecto a un punto O origen de la recta r) y x' de P' (respecto de un punto O' origen de la recta r'). Mientras que la misma letra en P y P' sirve para recordar que son puntos correspondientes por la proyección de centro C, O y O' son puntos elegidos arbitrariamente como origen de las rectas r y r', pero O no se corresponde con O'.

Empleando el teorema de Tales se obtiene la relación incluida en la figura (g abarca desde J hasta O, e desde K hasta O, f desde K hasta O' ), que puede reescribirse (con \(a/c=h-f; b/c=he-gf; d/c=g\) ) bajo la siguiente forma general
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]

Una expresión analítica con esta forma tiene una gran variedad de nombres. Es una transformación proyectiva, y se conoce como transformación de Möbius, o como transformación lineal fraccional, o como transformación bilineal.

Esta es una notación muy extendida. Los números a, b, c y d determinan una transformación salvo por un factor común. Una posible normalización es elegir que \(a d -b c = 1\). Pero lo importante es exigir que
\[
a d - b c \neq 0
\]
pues de esa forma se garantiza una correspondencia biunívoca, y se habla de transformación no singular. Es lo que ocurre cuando el centro de proyección C está fuera de las rectas r y r'. En ese caso, a cualquier P sobre r le corresponde un único P' sobre r', y viceversa, siempre que incluyamos de alguna forma "el infinito". El punto J de r correspondería al "punto del infinito" de r'; y el "punto del infinito" de r se correspondería en r' con el punto en que r' corta la paralela a r que pasa por C. En términos analíticos, cuando x se hace infinito, \(x' = h - f\), o equivalentemente \( x' = a/c \). Y cuando \(x = -g\), o equivalentemente \( x= -d/c\), entonces \(x'=\pm \infty\).

Por contra un ejemplo de "caso raro", de transformación singular, en el que \(a d - b c = 0\), lo tenemos si llevamos el centro de proyección C a colocarse sobre r'. Entonces todos los puntos de r se proyectan sobre uno solo de r', el propio C. El único punto de r que podemos, en tal caso, asociar a otro punto de r', a cualquiera en realidad, es K. Analíticamente, de \(ad -bc=0\), y considerando \(c \neq 0\), entonces \(b = a d / c \) y
\[
x' = \frac{a(cx+d)}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} = h - f
\]
Da igual el valor de x, se obtiene el mismo valor de x'.

Volviendo a los casos "normales", cumpliendo que \(a d - b c \neq 0\), se distinguen las proyecciones ortogonales, en las que el centro de proyección C se aleja al infinito del plano euclídeo en una dirección transversal a r y r'. Corresponden a \(c=0\) pero \(a \neq 0 \neq d\) e implican una homotecia entre r y r', pues \( x' = (ax + b)/d\).

El caso es que en estas aplicaciones proyectivas de una recta en otra introducimos el "punto del infinito" como uno más, que entra en el juego de las correspondencias en pie de igualdad con el resto de "puntos finitos". Lo que no deja de serme chocante. Al mirar la recta real, tan recta, tan extensa, sin límite, alejándose al infinito positivo por la derecha, al negativo por la izquierda, los muy negativos cada vez más apartados de los muy positivos... Hasta puedo imaginar un drama romántico de amor imposible entre don \( - \infty\) y doña \( + \infty \). Quizá sea así en la recta real ampliada, pero no aquí. En este juego proyectivo resulta que esos dos lados de la recta aparentemente ajenos el uno al otro, al alejarse al infinito llegan a ¡juntarse! en un punto ideal, un único punto ideal del infinito (y más allá). Con ese puntazo, la abierta recta real deviene la cerrada recta proyectiva, en la que se juega el juego de transformaciones entre sus puntos, regido por la relación analítica
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Y este es un juego de grupo, que es lo que forman las transformaciones (no singulares) de Möbius.

Empezamos en el plano euclídeo proyectando con un centro rectas en rectas y obteniendo una relación analítica. Pero podemos pasar a unir en una ambas rectas, contando con nuestro punto ideal del infinito, y pensar sólo en ese grupo de transfomaciones de esa recta en sí misma. Todo lo que sea preservado por esas transformaciones lo podremos elevar a la categoría de enunciado de la geometría de la recta proyectiva.

La recta proyectiva real, aunque unidimensional, se entiende mejor en su inmersión bidimensional, pues resume ciertas características generales que se dan en el plano. Hay varias interpetaciones de la recta proyectiva, y de su punto ideal, en términos de elementos bidimensionales. Siguiendo a "Geometry by Its History", tres de ellas son las siguientes:
a) El conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen. Cada una de esas rectas del plano euclídeo es como un punto de la recta proyectiva. El punto ideal corresponde a la recta horizontal que pasa por el origen. Aunque estamos en el plano, solo nos interesan las rectas que pasan por el origen, los subespacios vectoriales de dimensión uno.
b) La circunferencia de radio unidad centrada en el origen de coordenadas, cuando se identifican como uno sólo los puntos antipodales. Qué bonito. Cada punto del plano proyectivo se asimila a cada par de puntos simétricos respecto al origen. De nuevo el punto ideal corresponde a una de tales parejas, una tan normal como el resto.
c) La circunferencia de diámetro unidad centrada en (0, 1/2), empleada en la proyección estereográfica desde el origen de coordenadas. Cada punto de dicha circunferencia se asimila a uno de la recta proyectiva, y el punto ideal de esta correspnde con el origen de coordenadas, que en cuanto a punto de esa circunferencia es uno como cualquier otro.

En la siguiente figura pintamos la recta proyectiva como la de ecuación y=1, y se muestra la relación de cada punto de la misma con los elementos indicados. Las distintas rectas que pasan por el origen del plano determinan el punto P sobre la recta proyectiva, el par de puntos B (en rojo y azul) sobre la circunferencia b, y el punto C sobre la circunferencia c (en verde). Cada punto de la recta proyectiva se puede especificar mediante sus coordenadas homogéneas, el par de abcisa y ordenada del punto P, o de cualquier otro punto sobre la recta que une P con el origen del plano euclideo, como pueden ser precisamente los puntos B o el C. Queda excluido el origen. Las coordenadas homogéneas del punto ideal son de la forma \( (k,0) \) con \(k \neq 0\).

Apolonio y el ángulo bisector

Tras la anterior entrada me surgió la duda sobre la demostración de que los puntos de la circunferencia de Apolonio que tiene por diámetro P y Q distan de A y B en una misma razón cuando P y Q son armónicos respecto de A y B. La demostración en la wikipedia se basa en el teorema de la bisectriz que resulta ser Euclides VI.3, que Euclides demuestra en el libro VI haciendo uso a su vez del teorema de Tales.

Así funcionan las cosas. No es para una prisa.

El caso es que en el profusamente ilustrado "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, hay una demostración alternativa del teorema del ángulo bisector, empleando la muy elemental propiedad de que el área de un triangulo es la mitad del producto de la base por la altura, junto con una preciosa habilidad para dar con las bases y las alturas adecuadas. Tanto me gustó esa demostración, que la transcribo aquí, junto con una figura adaptada de cara a su empleo posterior, figura obtenida a partir de geogebra, aunque en esta entrada no hay applet.

Partimos de un triángulo cualquiera ABC, trazamos la bisectriz interior del ángulo ACB, \(b_{int}\) que corta al lado AB en el punto P; y la correspondiente bisectriz exterior \(b_{ext}\) , que corta en el punto Q a la recta sobre la que está el lado AB. Ambas bisectrices son perpendiculares. Entonces debe deducirse que

\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]

Empezando por la bisectriz interior, se demuestra \( \overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) en dos pasos.

1.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AP}\)  es a \( \overline{PB}\) , pues AP es base del triángulo APC y PB es base del triángulo PBC compartiendo la misma altura, la trazada desde C en vertical, no mostrada en la figura.

Pero es que empleando esos mismos triángulos podemos ver otra combinación de base y altura, usando como alturas los segmentos mostrados (a punto y raya) desde P a los lados AC y BC. Estas alturas son iguales, pues P está sobre la bisectriz del ángulo ACB. Por tanto:

2.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AC}\)  es a \( \overline{BC}\) , pues AC es base del triángulo APC y BC es base del triángulo PBC con alturas de igual medida.

Con la razón de áreas como intermediaria, obtenemos la razón de distancias buscada. Qué elegancia.

Para la bisectriz externa los dos triángulos a los que aplicar el mismo método de dos pasos son el triángulo más grande, AQC , y el triángulo BQC. En el primer paso la altura común es la trazada desde C, y las bases   respectivas son AQ y BQ. En el segundo paso las alturas de igual longitud son las trazadas desde Q, que está sobre la bisectriz externa, y la respectivas bases son AC y BC. De nuevo con la razón entre áreas como intermediaria, se llega a que \( \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ} \).

En cuanto a la recíproca, si hubiese un punto X entre A y B cumpliendo que \( \overline{AX} : \overline{XB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) , procediendo con la construcción  indicada usando la bisectriz obtendríamos P con la misma "propiedad" de dividir el segmento AB en la misma proporción que lo hace X, lo que es imposible salvo que X y P coincidan.

Qué bonito.

Para remate, si fijamos A, P, B y Q, olvidándonos del punto C (que usamos para a partir de A y B obtener P y Q) , tracemos por P cualquier recta \(b_1\), y luego la recta \(b_2\) perpendicular a la anterior que pase por Q. Estas dos rectas se cortan en un punto D, que determina con P y Q un triángulo rectángulo. Al girar  \(b_1\) por todas las posibles direcciones alrededor de P, el punto D, obtenido como antes, va recorriendo... la circunferencia de Apolonio.

Y para ese D genérico situado sobre la circunferencia de Apolonio, ¿cual es la razón \( \overline{AD} : \overline{BD}  \)? Bueno, reagrupando la triple igualdad
\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]
podemos ver que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PB} : \overline{BQ} = \overline{AC} : \overline{BC}
\]
Con el punto D podemos emplear una construcción en que a partir del ángulo ADP forzamos que DP sea la bisectriz del ángulo ADX , para algún X adecuado sobre el segmento AQ. Eso sí, como por construcción P está en la bisectriz interna de ADX , Q está en la bisectriz externa, y por el ya famoso teorema se cumple que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PX} : \overline{XQ} = \overline{AD} : \overline{XD}
\]
De aquí deducimos primero que
\[
\overline{PB} : \overline{BQ}  = \overline{PX} : \overline{XQ}
\]

X y B dividen PQ en la misma proporción, lo que impone que realmente X coincide con B. Y entonces resulta que 

\[
\overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AD} : \overline{BD}
\]

Todos los puntos de la circunferencia de Apolonio con diámetro PQ distan de A y B en una misma razón. ¡Qué armonía!

razón simple, razón doble, puntos armónicos y circunferencia de Apolonio

Hace tiempo, no recuerdo la razón, me crucé con el "cross-ratio", que en castellano se denomina razón doble. Es curioso cómo cambia la perspectiva de una misma cosa según la forma en que se nos presenta. Mi primer encuentro fue, en el contexto de la geometría, con una definición parecida a esta:

Si P, Q, A y B son puntos situados sobre la misma recta, la razón doble (P, Q, A, B) del cuarteto ordenado de tales puntos es el número
\[
(P, Q, A, B) =  \frac{PA . QB}{ PB . QA}
\]
Sin embargo hace poco divisé, por otra razón, un "division ratio", que resultó ser la razón simple, en la que intervienen sólo 3 puntos. La wikipedia en español me remitió al DRAE donde con precisión se define la razón simple de tres números como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos;
p. ej., (6, 4, 3) = (6-4) / (6-3) = 2/3.

Y luego, a partir de la simple, se define la razón doble de cuatro números como el cociente de las razones simples formadas por cada uno de los dos primeros y los otros dos;
p. ej., (8, 6, 4, 3) = (8, 4, 3) / (6, 4, 3) = 6/5.

Esto es justo lo mismo, usando puntos, que definir la razón simple de un punto P con respecto a otros dos A y B como
\[
(P, A, B) = PA : PB
\]
y la razón doble de dos puntos P y Q respecto a otros dos A y B como la razón de las razones simples de P y de Q respecto a A y B
\[
(P, Q, A, B) = (P, A, B) : (Q, A, B)
\]
A y B son los puntos básicos que definen un segmento. Para cualquier punto P, la razón simple (P, A, B) indica en qué proporción, y cómo, P divide al segmento de A hasta B.

Hay que tener claro que siempre al hablar de puntos sobre una recta, elegimos una orientación que va a determinar el signo de los segmentos. Para una recta horizontal orientada de izquierda a derecha, AB es positivo si B está a la derecha de A, y negativo en caso contrario. Por tanto para D punto medio entre A y B,  \( (D, A, B) = DA:DB = -1 \) pues los segmentos orientados DA y DB tienen igual longitud pero orientación opuesta. Para puntos interiores, entre A y B, la razón simple es negativa; para los puntos exteriores ( a la izquierda de A o a la derecha de B) la razón simple es positiva.

Empezando por la razón simple, antes de la doble, se entiende mucho mejor la idea de conjunto de puntos armónicos: P y Q son armónicos con respecto a A y B si las razones simples de P y de Q , respecto de A y B, son iguales en magnitud pero de signos opuestos, lo que significa que P por un lado y Q por el otro dividen al segmento de A a B en la misma proporción, ora internamente, ora externamente. En términos de la razón doble, que P y Q sean armónicos respecto de A y B se expresa escuetamente así:
\[
(P, Q, A, B ) = -1
\]
La bella armonía en que se encuentran P y Q queda plasmada en una figura geométrica notable, donde aparece la circunferencia de Apolonio.

Partimos de dos puntos no coincidentes A y B, que determinan un segmento y la recta r que les contiene. Fuera de esta recta pero sin otra restricción, tomamos un punto C, que determina con A y B un triángulo. Desde el vértice C trazamos las dos bisectrices, la del ángulo interno ACB, y la del ángulo externo formado por el lado BC y la prolongación del lado AC. La bisectriz interna corta a la recta r en un punto P (interno, con razón simple negativa), y la bisectriz externa corta a la recta r en otro punto Q (exterior al segmento A B, con razón simple positiva).

Pues bien, resulta que P y Q son armónicos respecto de A y B.

El punto medio entre P y Q , M, es el centro de la círcunferencia de Apolonio, que pasa por C además de por P y por Q, siendo rectángulo el triángulo PCQ.

La razón simple en que P y Q dividen (interna y externamente) a A y B es igual a la razón de las longitudes de los lados AC y BC. ¿Qué puntos del plano tienen esa misma razón entre su distancia a A y a B? Pues precisamente todos los de la circunferencia de Apolonio.

Otro detallito, A y B son imagen cada uno del otro por la inversión en la circunferencia de Apolonio que pasa por P y Q. Otro más, dicen que el punto B pertenece a la polar del punto A (el polo) con respecto a la citada circunferencia.

La armonía es recíproca, A y B son armónicos con respecto a P y Q, en este orden, que siempre es esencial, pues puede comprobarse que
\[
(P, Q, A, B) = (A, B, P, Q) = (Q, P, B, A) = (B, A, Q, P)
\]

El caso es que con geogebra queda la construcción así:



Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
Se puede jugar moviendo los puntos "libres" A, B y C, que determinan P, Q y la circunferencia correspondiente. Cuando C se lleva a la mediatriz del segmento AB, P se aproxima al punto medio entre A y B, mientras que Q se aleja al infinito y más allá, tendiendo la circunferencia a convertirse en una recta, precisamente la mediatriz. Uno de los encantos de la razón doble es ser invariante ante transformaciones proyectivas, y el mundo proyectivo tiene el encanto de hacer del "infinito y más allá" un punto tan normal como los demás, poniendo una guinda a la abierta recta real para cerrarla en la recta proyectiva.

Pero ya proyectaré más, si acaso, otro día.