Arquímedes y el área de la parábola

En una entrada anterior tras las secciones cónicas, decía que el área del segmento de parábola, \(P\) se expresa en términos del área del triángulo inscrito \(T\) simplemente así \(P = \frac{4}{3}T\).
Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área \(T\), dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
\[
P = T + 2 \frac{T}{8} + 4 \frac{T}{64} + ... = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + ...
\]

Me dejé en el tintero electrónico la ilustración de cómo se agota la parábola, algo como esta bonita imagen:

Tenemos el segmento de parábola, delimitado por la propia parábola y la cuerda \(AC\). Su área se aproxima inicialmente por el área del triángulo inscrito \(ABC\), que será el primer término de la "progresión de agotamiento". El punto medio de la cuerda \(AC\) es \(D\). El proceso de agotar el segmento de parábola a base de sucesivos triángulos, más numerosos y más pequeños, presenta una simetría especular izquierda-derecha respecto de la línea \(BD\). Entre el segmento de parábola y el triángulo \(ABC\) hay un par de huecos iguales a ambos lados del punto B.

Cada uno de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que juntos formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.

A la derecha tenemos el \(BHC\), un triángulo con el mismo área que el triángulo \(DFC\). La clave es que \(E\) es el punto medio entre \(D\) y \(C\), por lo que el punto \(H\) sobre la parábola, por ser parábola, es tal que
\[
\frac{BD}{IH} = \frac{DC^2}{DE^2} = 4
\]
Entonces \(HG = GF = FE\), y los triángulos \(BHG\),\(CHG\),\(DFE\) y \(CFE\) tienen áreas iguales. El área de \(BHC\), o de \(DFC\), es un cuarto del área de \(BDC\), un octavo del área de \(ABC\). Pero es que al lado izquierdo tenemos otro octavo, con lo que como segundo término de la progresión de agotamiento obtenemos un área de un cuarto del primer término.

Solo queda repetir el proceso con los huecos que aún dejan \(BHC\) a la derecha y su imagen especular a la izquierda. Por la derecha tenemos dos partes, con dos triángulos, \(BLH\) y \(HRC\), que junto a sus dos especulares amigos contribuyen al tercer término, que debería ser un cuarto del segundo. La verdad es que yo lo veía claro con el \(BLH\) , pues es una versión similar aunque reducida de la situación inicial, pero no tan obvio para el \(HRC\). Tras liarme más de la cuenta, el fantasma de Apolonio me dió una colleja y caí en que una parábola menos una recta es ... otra parábola.

En esta figura restando de la parábola azul la recta \(AC\) también azul, nos queda la versión "derecha" (en su mejor sentido de "erecta"), la parábola roja con la cuerda horizontal como base del segmento. Esto de paso sirve para comprender que el segmento parabólico y el triángulo inscrito pueden no estar derechos, como los azules, y que esa situación más general es reducible a la de segmentos de parábola derechos, como el rojo. El vértice de la parábola roja queda en la vertical del punto \(B\) de tangencia a la parábola azul de la paralela a la cuerda \(AC\). En la parábola azul, esta cuerda \(AC\) y la cuerda infinita que parte de \(B\) y pasa por \(D\) son conjugadas, es decir, \( BD \infty \) corta por el punto medio a todas las cuerdas paralelas a \(AC\), aunque estas cuerdas no hagan en este caso lo recíproco. Siempre la cuerda conjugada infinita es paralela al eje de la parábola.

Y ahora me toca aclarar (es un decir) eso de que Arquímedes "vió" cómo se agota la parábola con triángulos. Arquímedes demostró con total y pleno rigor, equiparable al de un Cauchy o un Weirstrass, el resultado \(P = \frac{4}{3}T\) , usando el método de exhaución, que consiste en aplicar un doble razonamiento por reducción al absurdo, para llegar a sendas contradicciones si se opta por la desigualdad de tales cantidades en uno  \(P < \frac{4}{3}T\)  u otro  \(P > \frac{4}{3}T\)  sentido, por lo que no queda otra que aceptar la igualdad.

La sucesión de triángulos inscritos que hemos visto se usa para uno de los razonamientos por reducción al absurdo. En esta demostración es clave la teoría de Eudoxo de la proporción, que Euclides recoge en el libro V de sus Elementos y concretamente el axioma de Eudoxo-Arquímedes, o de continuidad, definición 4 de ese libro:

Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.

Entonces la menor, por muy pequeña que sea, repetida un número entero de veces suficientemente grande, puede llegar a sobrepasar a la mayor, por grande que se haya tomado. Que esto tan de cajón debe ser axioma, y no palmaria evidencia indiscutible, lo corrobora el que ¡hay cuerpos no arquimedianos! Estos matemáticos...

Junto a este axioma el otro apoyo clave del método de exhaución es la primera proposición del libro X de los Elementos, llamado a veces principio de Eudoxo:

Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

En el caso de la parábola, Arquímedes demuestra que cada término sucesivo de suma de áreas de triángulos para agotar la parábola, supone más de la mitad de la diferencia entre el área de la parábola y lo ya "agotado" hasta entonces. Es contradictorio pues, un absurdo, suponer que \(P < \frac{4}{3}T\), ya que con un número finito de términos, suficientemente grande, puedo cubrir con triángulos por el interior del segmento parabólico un área que se aproxime a  \( \frac{4}{3}T\)  tanto como se quiera, superando el presunto área \(P\).

Bueno, bueno, estoy "agotado". Pero puedo recomendar como libro de gran interés para todo lo relacionado con Arquímedes, la obra de Pedro Miguel González Urbaneja "Arquímedes y los origenes del cálculo integral", volumen 24 de la colección ciencia abierta de, como no, la editorial nivola. Cuenta con los siguientes capítulos:
1 Antecedentes infinitesimales prearquimedianos
2. Arquímedes en la historia de la cultura
3. La obra matemática arquimediana
4. El Método Mecánico del descubrimiento arquimediano
5. El método de demostración por exhaución
6. el tratado Sobre la medida del círculo
7. La influencia de Arquímedes en la génesis del cálculo integral
Epílogo: Los métodos de Arquímedes y los orígenes del cálculo integral

recordando a Richard Feynman

Hoy 15 de febrero hace 25 años de la muerte de Richard Phillips Feynman, de modo que es buena ocasión para recordarle. Hay bastantes biografías de Feynman. Hace tiempo leí "Los caminos cuánticos. Feynman", de Jesús Navarro Faus, editorial Nivola. Recientemente se ha publicado "Descubrir a Richard Feynman. Biografía científica", de Lawrence M. Krauss, editorial RBA, muy interesante y accesible.

Pero de la mano (o la voz transcrita) del propio Feynman, es imprescindible la reseñada en este blog, QED The Strange Theory of Light and Matter" , disponible también en castellano como "Electrodinámica cuántica La extraña teoría de la luz y la materia". Para los estudiantes de física (actuales, pretéritos o futuros) nunca está de más aventurarse en cualquiera de los tres tomos de las FLOPs, "Feynman Lectures On Physics". Aunque se conozca la materia es casi seguro encontrarse con un enfoque original, distinto, esclarecedor.

Y para disfrutar sin límites del lado humano, dos obras imprescindibles.

Una es "¿Esta usted de broma, Sr. Feynman" subtitulado "Aventuras de un curioso personaje tal como le fueron referidas a Ralph Leighton". La vida de Feynman en sus propias palabras. Uno de los episodios que más me gustó en su momento es el titulado "!Yooooooo!", página 77 en la edición de Alianza Editorial de 1987. La acción transcurre en el College de Princeton, donde se dan charlas y conferencias de lo más variado, a las que se acudía algunas veces con la intención de poner en apuros al conferenciante. Un día el Dr. Eisenhart, gran matemático, anuncia una próxima conferencia de un profesor de psicología sobre la hipnosis, con una parte práctica, para la que se requieren algunos voluntarios a ser hipnotizados.

Me puse hecho un flan. ¡Yo tenía que averiguar qué era de verdad eso de la hipnosis! ¡Iba a ser tremendo!
...
Estaba yo temiendo que Eisenhart no alcanzara a verme, por lo muy apartado que me encontraba. ¡Yo tenía que intervenir en la exhibición, fuera como fuera!
Por fin Eisenhart dijo:"Y por todo esto, me gustaría preguntarles si va a haber algún voluntario..."
Alcé la mano y salté de mi asiento, gritando con todas mis fuerzas para asegurarme de que me oyera: "¡YOOOOOOOO!"
Desde luego que me oyó, y perfectamente, porque no hubo un alma más que se ofreciera. Mi voz reverberó por todo el salón. Fue muy embarazoso. La inmediata reacción de Eisenhart fue: "Pues claro, señor Feynman. Ya contaba con que usted se presentaría; pero me estaba preguntando si además de usted habría alguien más"

Puro  Feynman. Una semana antes de la conferencia el psicólogo evalúa la idoneidad de los candidatos para ser hipnotizados, y resulta que Feynman era muy adecuado. Es interesante cómo relata la evaluación Feynman:

Empezó a trabajar conmigo y pronto me encontré en una situación en la que me dijo."No puede usted abrir los ojos".
Yo dije para mis adentros: "Apuesto a que si quisiera podría abrir los ojos, pero no quiero crear dificultades. Veamos hasta dónde llega esto."
La situación era interesante. Se siente uno como un poco obnubilado, y aunque se pierde un poco el control, uno está bien seguro de poder abrir los ojos. Pero, claro, no va a abrirlos, por lo que en cierto sentido es como si no pudiera.

Y llega el gran día de la exhibición, los voluntarios son hipnotizados, subidos al estrado, ante todo el College de Princeton.

Esta vez el efecto fue más intenso; quizá yo había aprendido a ser hipnotizado. El hipnotizador realizó diversos experimentos, y me hizo hacer  cosas que normalmente yo no hubiera hecho, y al final me dijo que cuando saliera de la hipnosis, no me encaminara directamente a mi asiento, como sería lo más natural, sino que diera la vuelta a toda la sala, y me dirigiera  a mi localidad desde el fondo.
A lo largo de toda la exhibición, yo tenía una vaga conciencia de lo que estaba sucediendo, y cooperando con lo que decía el hipnotizador; pero esta vez me dije:"¡Maldita sea, ya esta bien! Voy a ir derecho a mi asiento."
Cuando llegó el momento de levantarme y abandonar el estrado eché a andar directamente hacia mi puesto. Pero entonces me asaltó una sensación desazonante; tan molesta y fastidiosa, que no pude seguir avanzando. Tuve que dar la vuelta a toda la sala.

Más tarde, en otra ocasión, Feynman volvió a ser hipnotizado, sin sentir dolor por la proximidad de una vela. Pensó que había trampa, pero le salió una ampollita. Concluye el episodio con la valoración de Feynman

Así que la hipnosis me pareció una experiencia muy interesante. Uno se pasa todo el tiempo diciendosé: "Yo podría hacer tal cosa, si quisiera, pero no quiero", lo cual no es sino otra forma de decir no puedo.

Otra obra entrañable es "What do you care what other people think? Further adventures of a curious character", o ¿Qué te importa lo que piensen los demás? . La segunda parte describe la intervención de Feynman en la investigación sobre la destrucción del Challenger, con su demostración del efecto de las bajas temperaturas sobre una junta de goma. Pero más emotiva es la primera parte, en especial en lo relativo a la muy especial y única relación entre Feynman y la que sería su primera esposa, Arlene, que en su juventud le prestó más atención después de que Feynman le ayudase con sus clases de filosofía con ... la banda de Möbius.

De este libro, un fragmento en boca de Feynman

Arlene y yo empezamos a moldear cada uno la personalidad del otro. Ella vivía en una familia muy educada, y era muy sensible a los sentimientos de los demás. Me enseñó a ser más considerado con ese tipo de cosas. Por otro lado, su familia pensaba que las "mentiras piadosas" estaban  bien.
Yo pensaba que se debería tener la actitud de "¿por qué preocuparse de lo que piensen los demás?" Yo decía "Debemos escuchar las opiniones de los demás y tenerlas en cuenta. Pero si no tienen sentido y creemos que están equivocadas, allá ellos."
Arlene captó enseguida la idea. Fue fácil convencerla de que en nuestra relación debíamos ser muy honestos uno con el otro y decirlo todo a las claras, con absoluta franqueza. Funcionó muy bien  y nos enamoramos del todo, con un amor como ninguno que haya conocido.

Y para acabar el homenaje, este último libro concluye con un epílogo, El Valor de la Ciencia, en el que se incluye este pensar poético de Feynman, de pie, sólo, a la orilla del mar

There are the rushing waves
mountains of molecules
each stupidly minding its own business
trillions apart
yet forming white surf in unison.

Ages on ages
before any eyes could see
year after year
thunderously pounding the shore as now.
For whom, for what?
On a dead planet
with no life to entertain.

Never at rest
tortured by energy
wasted prodigiously by the sun
poured into space.
A mite makes the sea roar.

Deep in the sea
all molecules repeat
the patterns of one another
till complex new ones are formed.
They make others like themselves
and a new dance starts.

Growing in size and complexity
living things
masses of atoms
DNA, protein
dancing a pattern ever more intricate.

Out of the cradle
onto dry land
here it is
standing:
atoms with consciousness;
matter with curiosity.

Stands at the sea, wonders at wondering: I
a universe of atoms
an atom in the universe.