Hasta el siglo XVIII en la geometría se consideraron configuraciones basadas en el punto: curvas y superficies.
La instrucción elemental, basada en el legado de la Grecia antigua, se reducía a la línea recta, el plano, las secciones cónicas y las superficies de segundo grado.
A partir de la geometría analítica de Descartes y Fermat se distinguen las curvas geométricas, como las cónicas y otras llamadas luego algebraicas, y las curvas mecánicas, descritas por mecanismos, que en su mayoría se encuadran en las posteriormente llamadas curvas trascendentes.
Englobando las anteriores, surge luego la idea de curva analítica, aquella cuyos puntos tienen coordenadas \(x, y\) que se representan mediante funciones analíticas (desarrollables en serie de potencias) de un parámetro \(t\).
Luego se consideraran curvas no analíticas, en que las coordenadas se expresan por funciones más generales. Y más tarde el conjunto infinito de puntos en su forma más general.
A partir de 1800 hay un importantísimo impulso a la geometría con el desarrollo de la geometría proyectiva, que sigue dos corrientes a veces antagónicas, la sintética y la analítica. En palabras de Klein
La geometría sintética es la que estudia las figuras como tal, sin recurrir a fórmulas, mientras que la geometría analítica hace uso consistente de aquellas fórmulas que pueden establecerse tras adoptar un sistema de coordenadas apropiado. Con buen entendimiento sólo existe una diferencia de grado entre estas dos clases de geometría, según se de más prominencia a las figuras o a las fórmulas. La geometría analítica que prescinde por entero de la representación geométrica difícilmente puede llamarse geometría; la geometría sintética no llega muy lejos salvo que haga uso de un lenguaje de fórmulas adecuado para dar expresión precisa a sus resultados.Claramente Klein aboga por una complementariedad de enfoques, quizá más de la mano del aparato analítico pero sin perder de vista el sentido geométrico, y critica la cerrazón de
las escuelas de puros sintéticos y las escuelas de puros analistas, que ponen su énfasis principal sobre la "pureza del método".
Frente a la pretensión de enseñar las matematicas dividas en disciplinas separadas, Klein promueve la mayor interacción posible entre todas aquellas ramas de las ciencias con intereses comunes.
En el ámbito concreto de la geometría proyectiva, J. Steiner y Ch. von Staudt representan la vía sintética, A. F. Möbius y J. Plücker la analítica. Pero el primer pionero en ese ámbito es J. V. Poncelet.
Poncelet es el primero en considerar como "elemental" un elemento geométrico distinto del punto. En el plano considera la línea recta infinita, y en el espacio el plano ilimitado, como elementos duales al punto. Por el principio de dualidad, en un gran número de teoremas geométricos puede reemplazarse la palabra "punto" por "linea" (o "plano" si se trata del espacio).
El desarrollo de estas ideas arranca de la teoría polar de las secciones cónicas. Empleando una sección cónica dada, a cada punto (el polo) del plano se le asocia una recta (la polar), determinada por los dos puntos de tangencia de la cónica con sendas rectas tangentes que pasan por el polo. Recíprocamente una recta que corta en dos puntos a la cónica permite trazar las rectas tangentes a la cónica por esos dos puntos, tangentes que se cortan en un punto, el polo. Hay una relación uno a uno entre puntos y rectas, dependiente de la cónica elegida. Esta relación permite por ejemplo dualizar el teorema de Pascal, sobre un hexágono (de puntos) inscrito en una cónica, obteniendo el teorema de Brianchon relativo a un hexágono de tangentes circunscritas en la cónica.
El principio de dualidad resultó tener un carácter más general que el de la teoría de polares, y ser una consecuencia del carácter peculiar de la geometría proyectiva, como aclararon Gergonne y Steiner con sus trabajos. Se emplean como configuraciones elementales sólo el punto y la recta infinita, en el plano, o el punto y el plano infinito en el espacio. Entre ellas rigen los axiomas de conexión:
Dos puntos determinan una línea, tres puntos no colineales determinan un plano; dos planos determinan una línea; tres planos no colineales determinan un punto. La validez sin excepciones de estos axiomas se consigue mediante la hábil introducción de elementos extraordinarios (infinitamente distantes).
La dualidad es una de las ideas clave de la obra. Pensar en una línea recta como algo no compuesto sino elemental, "atómico", y el punto como un objeto determinado por un conjunto (un haz) de rectas, en principio chirría. Pero en el ámbito proyectivo es lo que hay, dualidad, igualdad de punto y recta ante la ley de los teoremas geométricos. En el espacio tridimensional la igualdad dual es entre punto y plano.
Otra idea clave es el estatus especial de la geometría proyectiva y su uso de elementos extraordinarios, ideales, infinitamente distantes. Son estos los que posibilitan la validez general, sin excepciones, de los axiomas de conexión antes citados, y de la dualidad. Para que dos rectas cualesquiera siempre se corten en un punto, si no encontramos un punto "cerca", a mano, tendremos que introducir uno "extraordinario". Y si dados dos puntos extraordinarios debe pasar por ellos una recta, la habrá, aunque sea la recta del infinito.
Considerando el punto, la recta y el plano como configuraciones simples, Klein construye otras configuraciones lineales fundamentales, definidas analíticamente por ecuaciones lineales.
De primera clase, con \( \infty^1 \) elementos
( \( \alpha \) ) todos los puntos sobre una línea: un rango rectilíneo de puntos.
( \( \beta \) ) todos los planos conteniendo una línea: un haz axial de planos.
( \( \gamma \) ) en un plano, todas las líneas que pasan por un punto: un haz (plano) de líneas.
De segunda clase, con \( \infty^2 \) elementos
( \( \alpha \) ) el plano como lugar de sus puntos: un campo de puntos.
( \( \alpha' \) ) el plano como lugar de sus líneas: un campo de líneas.
( \( \beta \) ) los planos que pasan por un punto: un haz de planos.
( \( \beta' \) ) las líneas que pasan por un punto: un haz de líneas.
De tercera clase, con \( \infty^3 \) elementos
( \( \alpha \) ) el espacio como lugar de sus puntos: un espacio de puntos.
( \( \alpha' \) ) el espacio como lugar de sus planos: un espacio de planos.
En toda esta estructura, por doquier aparece una completa dualidad. Podemos exhibir el corpus de la geometría proyectiva en dos formas mutuamente duales si, usando los elementos fundamentales dados, empezamos por un lado desde los puntos, y por el otro desde las líneas, si de geometría del plano se trata, o desde los planos si pensamos en la geometría del espacio.
Klein dixit. Es entretenido visualizar que un plano es igualmente una doble infinidad de puntos y una doble infinidad de líneas. O que el espacio es una triple infinidad de puntos y también una triple infinidad de planos. Una de las visualizaciones me es más fácil que la otra.
La dualidad se aprecia directamente en la expresión analítica de una línea recta en el plano, cuyos puntos \( (x,y) \) satisfacen
\[
u x + v y + 1 = 0
\]
Una línea concreta corresponde a ciertos valores de \(u\) y \(v\) . Plücker considera \((u,v)\) como "coordenadas de línea", igual que \((x,y)\) son "coordenadas de punto". Tan justificado es tomar \((u,v)\) como fijos y considerar que la anterior ecuación describe todos los puntos sobre una recta, como lo es tomar \((x,y)\) como fijos y considerar que la anterior ecuación describe todas las rectas que pasan por un punto. La expresión analítica es completamente simétrica, dual, respecto a \((x,y)\) y \((u,v)\).
En el espacio pasa algo similar entre "coordenadas de punto" \((x,y,z)\) y "coordenadas de plano" \((u,v,w)\) con la ecuación
\[
u x + v y + w z + 1 = 0
\]
La dualidad se extiende a configuraciones "superiores", como ilustra el usar unas funciones \(\phi, \xi, \psi\) de un parámetro \(t\) para definir bien una curva, si esas funciones definen "coordenadas de punto"
\[
\begin{aligned}
x & = \phi(t) \\
y & = \xi(t) \\
z & = \psi(t)
\end{aligned}
\]
o bien una superficie desarrollable si definen "coordenadas de plano"
\[
\begin{aligned}
u & = \phi(t) \\
v & = \xi(t) \\
w & = \psi(t)
\end{aligned}
\]
Plücker generalizó la idea de considerar como coordenadas de una configuración geométrica las constantes que intervienen en su expresión analítica, investigando el significado de las ecuaciones entre ellas. Por ejemplo, en el espacio una recta puede darse mediante dos ecuaciones
\[
x = r z + \rho \ \ \ , \ \ \ y = s z + \sigma
\]
con las cuatro constantes o coordenadas de la línea en el espacio \((r,s,\rho,\sigma)\) describiendo \(\infty^4\) elementos. Una relación entre ellas de la forma \(f(r,s,\rho,\sigma)=0\) selecciona de entre los \(\infty^4\) elementos una triple infinidad, que Plücker llama un complejo de líneas, siendo el ejemplo más sencillo el complejo lineal si la relación dada por \(f\) es lineal. Con dos relaciones \(f=0, \ g=0\) se define una congruencia de líneas o sistema de rayos. Con tres, \(f=0, \ g=0 \ , h=0\) se determina una familia simplemente infinita de líneas rectas que forman una superficie reglada.
No, no es para leérselo de corrido.
