El principio que ilustran estos dos casos es el mal llamado de interferencia; en realidad el resultado es que cada movimiento ondulatorio ocurre exactamente como si el otro no estuviese allí para interferir. El nombre tiene, no obstante, la sanción del largo uso, y a él nos atendremos.Para sobrecargar un poco más la nube internetera aportaré mi contribución usando de paso Geogebra y su maravillosa definición de funciones.
Creado con GeoGebra |
En el applet de Geogebra de entrada están seleccionadas las casillas para mostrar las dos señales variables en el tiempo de forma sinusoidal
\[
E_1(t) = A_1 cos(-2 \pi f_1 t) \;\; ; \;
E_2(t) = A_2 cos(-2 \pi f_2 t + \Phi)
\]
con colores azul y rojo, respectivamente, y la suma de ambas con color magenta. Mediante las casillas de selección podemos ocultar o mostrar esas señales, así como la intensidad instantánea y la intensidad media. También puede mostrarse un diagrama de fasores. Una serie de controles deslizantes permiten cambiar el valor de \( f_2 \), del desfase \( \Phi \) y de un valor concreto del parámetro tiempo, que es la variable representada en el eje de abscisas. La unidad de este eje es arbitraria, pero coincide con el periodo de la señal \( E_1 \). Si asimilamos esta señal al campo eléctrico de una onda de luz visible, podríamos considerar que cada unidad en el eje de tiempos equivale a \( 0,33 \; 10^{-14} \) s, siendo entonces la frecuencia de la señal \( f_1 = 3 \; 10^{14} \)Hz. Pulsando con el botón derecho del ratón sobre los controles deslizantes aparece un menú contextual con el que puede elegirse la opción "Animación automática" para que el parámetro correspondiente varíe al pulsar el botón "Marcha" o "Play", situado en la esquina inferior izquierda. Tras pulsarle se convierte en un botón "Pausa". Inicialmente el parámetro que se varía es el desfase \( \Phi \). Según cambia se ve de forma "animada" su efecto en la suma de las dos señales.
El caso más interesante para ver el efecto de la interferencia es el de señales de igual amplitud, \( A_1 = A_2 = A \), y de igual frecuencia, \(f_1 = f_2 = f \),donde lo que podamos cambiar sea únicamente un desfase constante, \( \Phi \) entre ellas. Para \( \Phi = 0 \) tenemos interferencia constructiva, la amplitud de la señal suma es \( 2A \). Para \( \Phi = \pi \) tenemos interferencia destructiva, en todo momento se anula la señal suma, su amplitud es 0. Pero más que ver la suma de las señales es interesante ver su cuadrado, siempre positivo, que es igual a la intensidad instantánea:
\[
\begin{aligned}
I(t) & = \left[ E_1(t) + E_2(t) \right] ^2 \\
\; & = A_1^2 cos^2(-2 \pi f_1 t)+A_2^2 cos^2(-2 \pi f_2 t)+ 2 A_1 A_2 cos(-2 \pi f_1 t) cos(-2 \pi f_2 t + \Phi) \\
\end{aligned}
\]
La intensidad media, promediando la señal en un intervalo temporal M dictado por el tiempo de respuesta del detector que se vaya a usar, será
\[
I_m(t') = \left< I(t) \right> = \frac{1}{M}\int_{t'-M}^{t'}{ I(t) dt}
\]
Supondremos que nuestro tiempo típico de promedio M contendrá muchos periodos de oscilación de la señal. Esto es totalmente cierto en el ámbito de las frecuencias ópticas, con periodos de poco más de \( 10^{-15} \)s, y tiempos de respuesta siempre varios ordenes de magnitud mayores. Para el ojo humano M sería de unos 20 milisegundos, pero incluso detectores ultrarápidos de estado sólido tendrán tiempos de respuesta muchísimo más largos que el periodo de la señal óptica. Entonces, teniendo en cuenta que el promedio del cuadrado del seno o del coseno es 1/2 , y que
\[
cos(x) cos(y) = {cos(x + y) + cos(x - y) \over 2}
\]
resulta que
\[
I_m = \frac{1}{2} \left( A_1^2 + A_2^2 \right) + A_1 A_2 \left< cos(2 \pi (f_2-f_1) t - \Phi) \right>
\]
donde falta el término que contiene \( (f_2 + f_1)t \) pues su promedio es cero patatero, y se ha dejado el de la diferencia de frecuencias para aplicarlo al caso en que ambas son iguales. Entonces la intensidad media es una función constante cuyo valor se relaciona con el desfase fijo \( \Phi \) por
\[
f_1 = f_2 \rightarrow I_m = \frac{1}{2} \left( A_1^2 + A_2^2 \right) + A_1 A_2 cos(\Phi)
\]
Puede haber casos en que las frecuencias difieran tan poco, tan poco, que en el tiempo típico del promedio, denotado arriba por M, se llegue a ver la evolución del término \( (f_2 -f_1)t \), lo que conlleva pulsaciones en la intensidad media. Pero en el caso que suponemos, de frecuencias ópticas, a muy poco que difieran las frecuencias el promedio \( \left< cos(2 \pi (f_2-f_1) t - \Phi) \right> \) es también cero patatero, con lo que
\[
f_1 \neq f_2 \rightarrow I_m = \frac{1}{2} \left( A_1^2 + A_2^2 \right)
\]
En pocas palabras, con frecuencias iguales la intensidad media es sensible al desfase \( \Phi \), podemos observar interferencias; con frecuencias distintas no podemos observar las interferencias, la intensidad media es requeteconstante en todo lugar y momento, indiferente a cualquier desfase constante \( \Phi \).
Volviendo al applet de Geogebra, si marcamos las casillas para ver solo la intensidad instantánea y la media (sin las señales iniciales y su suma, para no sobrecargarnos de curvas) vemos cómo al variar el desfase \( \Phi \) cambia la amplitud de la intensidad instantánea, y la recta horizontal de la intensidad media (constante para un desfase dado) sube y baja entre los valores máximo y mínimo
\[
\Phi = 0 \rightarrow I_{mMax} = \frac{1}{2} ( A_1 + A_2 )^2
\]
\[
\Phi = \pi \rightarrow I_{mMin} = \frac{1}{2} ( A_1 - A_2 )^2
\]
que para \( A_1 = A_2 = A \) son respectivamente \( 2A^2 \) y 0. El máximo de \( 2A^2 \) es el doble de la intensidad media cuando no hay interferencia, cuando \( f_1 \neq f_2 \). Para ver el caso de no interferencia, cambiamos en el deslizador del parámetro \(f_2\) su valor inicial 1 (valor asignado siempre a \(f_1\)) a otro distinto. En esta situación cambiar el desfase \( \Phi \) no afecta a la intensidad media.
A Geogebra se le ha instruido para que la función intensidad media sepa distinguir los casos de frecuencias iguales y distintas. Pueden verse las definiciones de las funciones empleadas en Geogebra eligiendo el menú "Vista" y marcando "Vista Algebraica". En esta vista se muestra para cada objeto definido su valor, o su definición, o el comando utilizado, según cómo se haya configurado en el menú "Opciones" la "Descripción de Álgebra". También puede seleccionarse el objeto y ver sus propiedades mediante la oportuna opción del menú contextual que aparece al pulsar el botón derecho del ratón.
De este modo podemos ver que se ha definido la función intensidad media así
I_m(t) = (A_1² + A_2²) / 2 + Si[f_1 ≟ f_2, A_1 A_2 cos(ϕ), 0]
En la definición se ha incrustado un operador lógico Si que comprueba si son iguales o no las frecuencias. Además lo que hace que I_m sea una función es haberle definido como I_m(t), con un argumento de relleno (dummy) t . Como a la derecha de la definición no parece ese argumento lo que se consigue es una función constante, pero con lógica incluida. Sin embargo en el caso de la intensidad instantánea tenemos
I_s(t) = E_s(t) E_s(t)
definida en términos de
E_s(t) = E_1(t) + E_2(t)
con
E_1(t) = A_1 cos(φ_1(t))
E_2(t) = A_2 cos(φ_2(t))
φ_1(t) = -ω_1 t
φ_2(t) = -ω_2 t + ϕ
siendo ω_1 un número igual a 2π f_1. El lenguaje a usar con Geogebra es por lo tanto muy cercano al empleado en matemáticas, cercanía facilitada también por el manejo directo de letras griegas y subíndices para definir los propios objetos de Geogebra. Ahora ya en la versión 4, Geogebra despliega todo un mundo de funcionalidades que explorar.
Cuando cambiamos con su deslizador la frecuencia \(f_2\) al siguiente valor más próximo, por encima o por debajo de 1, podemos apreciar lo que sería el caso más parecido a observar pulsaciones de la intensidad media. Puede verse (quizá alejando un poco con la opción "Zoom de Alejamiento" del menú "Herramientas", submenú "Herramientas Generales") para ese caso que la amplitud de la intensidad instantánea varía lentamente. Si tuviésemos un detector lo suficientemente rápido como para promediar tan solo unos 10 periodos de la señal, entonces sí se distinguirían en el tiempo las partes en que la amplitud es mayor de aquellas en que casi se anula, para un desfase dado. Al cambiar el desfase, se desplazan los instantes de tiempo de los máximos y mínimos de la amplitud de la intensidad instantánea, coincidentes con los máximos y mínimos de la intensidad media del detector ultrarápido. Las franjas serían "instantáneas", moviéndose periódicamente de sitio los claros y los oscuros. Para frecuencias más distintas la variación de la intensidad instantánea se da en agrupamientos o pulsos cada vez más breves en el tiempo, que no serían distinguidos incluso por ese hipotético detector ultrarápido.
