Un carácter es un signo de escritura o imprenta, como una letra, un número, una coma, una interrogación... El concepto de carácter es abstracto, por ejemplo la "a minúscula" puede visualizarse con apariencias variadas. La apariencia gráfica se determina por el tipo de letra (Arial, Times,...) y la fuente (normal, negrita, cursiva, etc, de tamaños diversos), pero el concepto de "letra a minúscula" es independiente de tal apariencia concreta.
Al llegar la era de la información los ordenadores deben manejar los caracteres normales, y además se empiezan a usar caracteres no visibles, pero que tienen su utilidad, como el retorno de carro y lo que en general se llaman caracteres de control, que informan a las máquinas de cómo comportarse: mueve esa cabezota de impresión al principio de la línea, avanza el rodillito hasta la siguiente línea, pita, etc.
Internamente los sistemas digitales solo entienden secuencias de bits. Un bit, un dígito binario, es o cero o uno, 0 o 1. Por razones históricas esas secuencias casi siempre se agrupan y manejan en grupos de 8 bits, lo que se denomina byte.
¿Como relacionar los caracteres con los bytes? Pues en dos pasos, que en muchos casos se dan a la vez . Empleando una denominación que no puede considerarse estándar, pero que uso consistentemente para diferenciarlos, esos dos pasos son:
Código (coded character set), del carácter al número. Se asocia a cada carácter abstracto un número natural. Como interesa manejar un repertorio de caracteres, podemos visualizar esta asociación como la colocación de cada carácter en una casilla de un casillero, siendo identificada cada casilla del casillero por un número natural, lo que llamaremos punto de código, o en inglés "code point".
Codificación (character encoding form), del número al bit. Regla por la que se asocia un número natural con una pauta concreta de bits. Con 8 bits hay 256 pautas distintas, que se asocian de forma "natural" a los números naturales del 0 al 255, según una regla que puede llamarse sistema binario, según la cual por ejemplo '10000011' corresponde a 131. En realidad este sistema binario se puede aplicar para relacionar cualquier secuencia de bits, tan grande como se quiera, con un número natural. Con 16 bits, 2 bytes, se pueden representar los números del 0 hasta el 65535. Con 4 bytes, los números naturales entre 0 y 4294967295. Pero no tiene que emplearse forzosamente ese sistema binario "natural", y puede haber pautas especiales de bits que no se asocien a un número.
Hace muchos años, cuando los norteamericanos eran casi los únicos en el mundo de la informática, cogieron un repertorio de sus caracteres favoritos, que no pasaban de 128. Les repartieron a su manera en un casillero de 128 casillas. Luego cada casilla la representaron con bits por la pauta "natural" empleando 7 de los 8 bits de un byte. El bit restante se usaba como comprobación contra errores. Lo que resultó es el código de caracteres ASCII (Código Estadounidense Estándar para el Intercambio de Información). Este código engloba tanto la asignación de cada carácter del repertorio a una casilla (código), como el byte correspondiente a esa casilla (codificación). En el ASCII inicial el byte obtenido para cada una de las 128 casillas no era siempre el resultante de aplicar la regla "natural" del sistema binario, por el uso especial del octavo bit.
Pronto se necesitó ampliar el repertorio de caracteres y usar un casillero mayor, de 256 casillas. Se amplió el ASCII rellenando el casillero agrandado, y cambiando la regla de codificación para usar, entonces sí, el sistema binario "natural" y abandonar el bit de paridad.
Pero como los americanos no estaban solos, y hay muchos alfabetos en el mundo, se hizo imprescindible definir más casilleros, cada uno con 256 casillas en las que en cada caso se colocaban distintos repertorios de caracteres, o incluso un mismo carácter se colocaba en distinta casilla. A cada casillero distinto se le suele denominar página de código, o code page, y se distinguen unos casilleros de otros por un número. La página de código 437 es la original del IBM PC, y en ese casillero la "a minúscula acentuada" ocupa la casilla 160. La página de código 1252 es la usada por Windows para el repertorio de caracteres latinos eurooccidentales, y en este casillero la "a minúscula acentuada" ocupa la casilla 225. Hay páginas de código con caracteres de repertorios correspondientes a lenguas de casi todo el mundo.
Y aquí tenemos la babel desatada. Porque casi se podía acertar en suponer que la codificación (encoding) de un byte era la "natural" del sistema binario, y de los bytes obtener el número natural correcto indicativo de la casilla. Pero la casilla ¿de qué casillero? Había que saber la página de código correcta. Y en aplicaciones multilingües podían ser necesarias muchas.
Contra la babel desatada, organización. UNICODE. La solución en esencia es olvidar la multitud de casilleros de reducidas dimensiones. Usar un único casillero que pueda albergar cualquiera de los caracteres que ha habido en la historia humana o que pueda idearse en el futuro: un casillero con 1,114,112 casillas. En vez de imaginar las casillas en línea, para distinguir las partes del casillero este se divide en 17 planos (del 0 al 16), cada plano con 65536 casillas. Cada casilla se distingue del resto por su punto de código (code point), un número natural entre 0 y 1,114,111 aunque lo más común no es usar el sistema decimal, sino el hexadecimal. Todos los caracteres de todos los idiomas conocidos, más todo tipo de símbolos, se reparten por el casillero de una forma convenida que se conoce como Conjunto de Caracteres Universal. A veces se habla de "caracteres Unicode".
Resuelto el problema del código, se agrava un tanto el de la codificación. Para cubrir ese rango numérico hacen falta como mínimo 21 bits, que implica usar 3 bytes. Ademas a los sistemas binarios no les gustan los impares, a veces manejan "palabras" de 2 o de 4 bytes, pero no de 3. Para abordar este tema de la codificación de los puntos de código, se ofrecen varias tipos de codificación. El más simple se denomina UTF-32, y usa 4 bytes para representar cada casilla. Ventaja: uniformidad y rapidez en codificar y descodificar. Desventaja: Salvaje despilfarro de espacio, pues la inmensa mayoría de caracteres realmente utilizados están en casillas de números bajos, que pueden representarse con sólo un byte, o con dos bytes. Por eso se plantean los sistemas de codificación de longitud variable, aquellos que emplean diferente número de bytes según la casilla de que se trate. UTF-16 emplean como mínimo dos bytes (16 bits). El más económico es UTF-8, que como mínimo puede emplear un sólo byte (8 bits). Estas tres formas de codificación son parte del estándar Unicode. Hay otras variantes que no son estándar y es mejor olvidar.
UTF-8 tiene la ventaja de ahorro en espacio, y de compatibilidad con el veterano y muy extendido código ASCII. El lado negativo está en la mayor complejidad en la codificación y descodificación, pero como eso lo hacen las máquinas... Es de esperar que en un futuro sólo se use Unicode (el casillero Conjunto de Caracteres Universal), y como codificación UTF-8 y UTF-16.
Todo esto que parece tan sencillo tiene muchos detalles técnicos que dan para leer largo y tendido. Parte de la codificación UTF-8 consiste en distinguir cuando se usa sólo un byte o cuando se usan más. De los bytes empleados solo algunos bits se emplean para obtener, usando el sistema binario, el punto de código. Hay una pauta de bits reservada para identificar el orden de bytes usados en cada sistema informático (pues usando palabras de 2 bytes, el byte con los bits más significativos puede ir o el primero o el segundo, y habiendo dos posibilidades ...).
Para que la felicidad sea completa, y reconozcamos gráficamente los caracteres, solo falta tener una fuente que represente (casi) todos los definidos en Unicode. En Windows se puede visualizar cualquier carácter Unicode con la fuente Arial Unicode MS.
En todo este ámbito, en que las tecnologías de la información se relacionan con los sistemas de escritura y los lenguajes humanos, puede apreciarse lo fructífero (y arduo) que resulta la cooperación, el entendimiento, la unificación de criterios, y el empleo del discurrir de muchos para el beneficio de todos. Bien por Unicode.
martes, 23 de septiembre de 2008
sábado, 13 de septiembre de 2008
Sentado, solo, en la montaña de Jingting
Los pájaros han tornado a sus nidos en bandadas.
Perezosa, la última nube se aleja.
La montaña es mi única compañera.
Ni al uno ni al otro nos cansa mirarnos.
(Mondadori, trad. Chen Guojian)
miércoles, 10 de septiembre de 2008
Al fin dando vueltas al LHC
Ya sale en los medios más diversos, el Gran Colisionador de Hadrones o LHC de sus siglas en inglés, hacía el debut oficial. La prensa y en general todos necesitamos esas simplificaciones de marcar un sólo día como hito señero de algo que realmente lleva años y años, más de veinte, y tiene por delante varios meses hasta el pleno funcionamiento. Y luego años y años de experimentos, análisis, y "digestión" de resultados.
Era hoy, "histórico" 10-9-8. Además de ojear la reseña oficial, más significativo, informativo y emotivo es la explicación (en español) de Reyes Alemany Fernandez, una de las muchas personas involucradas en el esfuerzo internacional conjunto para ganar el conocimiento acerca de nuestra más íntima constitución.
Enhorabuena.
Era hoy, "histórico" 10-9-8. Además de ojear la reseña oficial, más significativo, informativo y emotivo es la explicación (en español) de Reyes Alemany Fernandez, una de las muchas personas involucradas en el esfuerzo internacional conjunto para ganar el conocimiento acerca de nuestra más íntima constitución.
Enhorabuena.
martes, 5 de agosto de 2008
¿Es la fuerza un vector o una 1-forma?
He dado con la pregunta en el libro "Explorations in Mahematical Physics. The concepts behind an elegant language" de Don Koks, que sigue (traducido) así:
Esto en esencia coincide con lo que recuerdo de mis lejanos tiempos de estudiante. No recuerdo haber oído hablar de 1-formas, al menos con ese nombre, pero sí de vectores y tensores. En general todas esas cosas con pinta de magnitud dirigida y semejantes a flechas, eran vectores. El trabajo era un escalar, el producto escalar de dos vectores, vector fuerza y vector desplazamiento, multiplicando sus magnitudes por el coseno del angulo que forman.
El trabajo "elemental" dW (escalar) producido por la fuerza F (vector) al desplazarse la partícula un desplazamiento infinitesimal dr (vector) era dW=F.dr, que empleando las coordenadas cartesianas de ambos vectores quedaba así: dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz
La cosa se complicaba algo cuando uno empezaba a hablar de componentes contravariantes, las "normales de toda la vida", y las covariantes, que se transformaban de otro modo. Se adoptaba una nomenclatura de índices arriba para las componentes contravariantes e índices abajo para las covariantes. Se podía pasar de una versión a otra subiendo y bajando índices con el tensor métrico y su inverso, y además en los casos sencillos ambas componentes de una y otra versión coincidían. Esto se generalizaba a los tensores. Además se usaba el convenio de sumación de Einstein. Pero no recuerdo haber tratado con las formas diferenciales o los tensores antisimétricos, aunque sí haber recibido demasiado pronto la versión tensorial de las ecuaciones de Maxwell y no saber por dónde me daba el aire.
Más recientemente he leído cosas de formas diferenciales y hay una tendencia a emplear cada vez más ese lenguaje, que algunos consideran más potente. Parece que desde el punto de vista matemático esa mayor potencia se traduce en que todos los teoremas usuales de integrales de línea, superficie y volumen en R3 pueden generalizarse y expresarse concisamente empleando el lenguaje de las formas, y demostrarse válidos aún sin necesidad de métrica. Y en un libro como “Clasical dynamics. A contemporary approach” de José y Saletan, se formula la mecánica clásica introduciendo las variedades diferenciales, el fibrado tangente (formado por vectores) y el fibrado cotangente (formado por 1-formas). La formulación Lagrangiana "actúa" en el fibrado tangente, mientras la Hamiltoniana "actúa" en el fibrado cotangente.
Así pues aunque normalmente podamos vivir sólo con vectores y nuestra regla, en aplicaciones avanzadas conviene poder distinguir vectores y 1-formas. Después de todo no es tan complicado :-).
Si se parte de un espacio vectorial V, a cuyos elementos llamamos vectores, como v, resulta que siempre se puede definir otro espacio vectorial llamado dual del anterior y denotado por V*, a cuyos elementos se les llama 1-formas e, porque son funciones e:V → R que a cada vector v de V le asocian un escalar e(v), de ahí lo de "forma", y el 1- porque sólo hay un vector como argumento. Una 2-forma sería una función bilineal de VxV → R, y antisimétrica respecto al intercambio de los dos factores.
En V puedo elegir una base y expresar cualquier vector v por sus componentes respecto a la misma. A esas componentes se las denomina contravariantes porque varían de cierto modo al cambiar de base.
A partir de cualquier base B de V se puede definir una base dual B* en V* de un modo tal que usando las componentes (v1,...,vn) de v respecto a B, y las (e1,...,en) de e respecto a B*, se pueda poner para todo v de V y todo e de V* que
e(v)=v1 e1+...+vn en
Las componentes (e1,...,en) se denominan covariantes porque varían de otro cierto modo al cambiar de base en V (sí, en V, no V*), modo un tanto contrario o inverso a cómo varían las componentes de v. De ahí la nomenclatura co- y contra- para significar los dos diferentes modos de variar al cambiar de base en V.
El cambio de una base B a otra B' en V lleva aparejado un cambio de la base B* a otra B'* (NO se considera un cambio de base en V* que sea independiente del realizado en V). Precisamente la forma “contraria” con la que cambian los v1,...,vn por un lado y los e1,...,en por otro, es tal que los dos productos dan un mismo escalar:
e(v)=v1 e1+...+vn en=v'1 e'1+...+v'n e'n
pues el valor de la función e sobre el vector v no depende de la base de V empleada.
¡Vaya!, esto es como un producto escalar de vectores pero usando ahora un vector y una 1-forma.
Entonces podría interpretar que dr es un vector infinitesimal, diferencia de dos vectores posición muy próximos, con componentes (dx, dy, dz) respecto de una base cartesiana {i,j,k}, y la fuerza F una 1-forma de componentes (Fx, Fy, Fz) respecto a la base dual {i*,j*,k*}. Su producto es el escalar dW, el trabajo infinitesimal.
Claro que podría ser al revés, F es un vector de componentes (Fx,Fy,Fz) y la 1-forma es dr con componentes (dx, dy, dz), y de nuevo dW un escalar. Al leer sobre formas diferenciales no es raro encontrar que dx es una 1-forma.
Pero también he visto por algún lado que una forma diferencial es algo como ¡dW! A ver si dW no es un escalar sino que es una 1-forma, que al integrar sobre cierto camino me da el trabajo del campo de fuerza, que no es sino la diferencia de la energía potencial (función escalar ) evaluada entre el punto inicial y el final del camino.
En fin, hay varias opciones:
1) F vector, dr vector, dW escalar sacado de F y dr con el producto escalar.
2) F 1-forma, dr vector, dW escalar igual a F(dr)
3) F vector, dr 1-forma, dW escalar igual a dr(F)
4) dW 1-forma, de componentes (Fx,Fy,Fz) respecto a una base B* de V* cuyas 1-formas base son dx, dy y dz, que ellas mismas son 1-formas, no componentes de vectores ni componentes de 1-formas.
No me extraña que Don Koks se quede con la regla y los vectores, y fuera líos, porque si no de las 4 posibilidades ¿cual es la buena?
Me atrevería osadamente a decir, con la regla en la mano, que ... todas.
La 1) es la más clásica y de toda la vida. F y dr son vectores, cogemos un sistema de referencia cartesiano con vectores básicos ortonormales de modo que F=Fx i + Fy j + Fz k, y dr=dx i + dy j+ dz k, y dW es su producto escalar.
La 2) y la 3) pueden valer si usamos la métrica, pues entonces hay una correspondencia unívoca entre los vectores v de V y las 1-formas e de V*: cada vector tiene un alter ego en forma de 1-forma, y viceversa. Esto nos puede fallar si perdemos la métrica, pero teniendo siempre una regla a mano no hay problema.
La 4) si que es un poco más rara, pero puede entenderse si consideramos que aquí dW, dx, dy y dz no indican un escalar, ni un incremento infinitesimal, sino funciones. Concretamente dx es la función que para cada vector v nos da el valor de su primera componente, la que multiplica al vector base i. Este si que es un lío de notación, pues uso signos idénticos para cosas muy diferentes. Incluso podría poner una igualdad como dx(dr)=dx en que la primera dx es una 1-forma, dr es el vector de componentes (dx,dy,dz) y este último dx, que aparece en el segundo miembro de la igualdad, un número indicando la componente x del vector dr.
En este caso para no confundirse habría que expresar las componentes del vector dr de otro modo, por ejemplo como (dr1, dr2, dr3). Entonces dx, dy y dz son 1-formas, y como pueden multiplicarse por escalares y sumarse, pues las 1-formas tienen estructura de espacio vectorial, resulta que
Fx dx + Fy dy + Fz dz
es una 1-forma, que aplicada a dr da precisamente
{Fx dx + Fy dy + Fz dz}(dr)=Fx dx(dr) + Fy dy(dr) + Fz dz(dr) =
Fx dr1 + Fy dr2 + Fz dr3.
Puede decirse que dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz es una 1-forma que representa una fuerza en un punto y permite calcular el trabajo de la misma para cualquier desplazamiento dr pequeño alrededor del mismo. Si la fuerza fuese constante, igual en todo punto, esa forma nos serviría para calcular el trabajo de ese campo de fuerza constante entre dos puntos cualesquiera ra y rb, aplicando dW al vector rb-ra. El trabajo sería pues dW(rb-ra). Este sería un caso de campo conservativo y podríamos ver la situación “al revés”, considerando la función “menos energía potencial” W, que asigna un escalar W(r) a todo punto r.
Resulta que una función escalar W es, por definición, una 0-forma, y su derivada es ... una 1-forma, designada por dW. En este caso la d a la izquierda de W significa “diferencial (o derivada) exterior de”.
Pero hay una sutileza. Al hablar de V y V*, de v y e, y tomar Fx, Fy, Fz como escalares, se adopta un punto de vista local, de un punto concreto ra: los vectores de V y las 1-formas de V* son locales, ligados al punto ra. Cogiendo en cada punto un vector “local” se llega a la idea de campo vectorial. Cogiendo en cada punto una 1-forma “local” se llega a la idea de forma diferencial, que podría ponerse como algo así
dW(r)=Fx(r) dx(r) + Fy(r) dy(r) +Fz(r) dz(r)
Ahora Fx(r), Fy(r) y Fz(r) son tres funciones escalares definidas para cada r, y tanto dW(r) como dx(r), dy(r) y dz(r) son formas diferenciales. Lo normal es ver esto puesto así
dW=Fx(r) dx + Fy(r) dy +Fz(r) dz
mostrando sólo la dependencia de r de las Fx, Fy y Fz. En este caso ya se sobreentiende que por ejemplo dx no es una 1-forma "puntual", sino una forma diferencial, que lleva implícitas una 1-forma dx "local" en cada punto. Las formas diferenciales dx, dy, dz sirven de base para expresar la más general dW usando funciones escalares como coeficientes o componentes en vez de simples escalares sin más.
Por cierto, la forma diferencial dx es la diferencial de la función escalar x. Sí, aquí x más que como variable o valor escalar se entiende como función que a cada punto r le asigna el valor de su primera coordenada. De nuevo podríamos poner algo como x(r)=x donde el significado de la x en cada caso es diferente.
Las formas diferenciales trabajan a escala global, no puntual. Dada una función escalar como la “menos energía potencial” W(r), su diferencial es una forma diferencial que tiene como componentes las derivadas parciales (denotando la parcial respecto a x por ",x"):
W,x(r)=Fx(r) ; W,y(r)=Fy(r) ; W,z(r)=Fz(r).
Es decir
dW(r)=W,x(r) dx + W,y(r) dy +W,z(r) dz
como nos decía el análisis de siempre aunque sin llamar a dx forma diferencial.
La claridad de todo lo referido a tensores, formas diferenciales y demás se puede palpar en el artículo de la wikipedia inglesa sobre covariancia y contravariancia de vectores, y en su página de discusión.
Saber si la fuerza es un vector o una 1-forma no lo sabremos, pero es seguro que para alcanzar el conocimiento nos deberá acompañar. Mucho.
Las 1-formas no son absolutamente necesarias en física, e insistir en su uso cuando esta presente una métrica puede dar lugar a problemas de interpretación. Un ejemplo es el del cálculo del trabajo infinitesimal dW realizado por una fuerza F que acelera una masa m a lo largo de un desplazamiento infinitesimal dr. Escrito como dW=F.dr, a veces se interpreta que la fuerza es una 1-forma que se combina con, o actua sobre, el vector dr para producir el escalar dW. Pero entonces, como Newton nos dice que F=ma, y la aceleración es un vector (derivado del vector dr), podemos concluir que la fuerza es un vector. De modo que la fuerza ¿es un vector o una 1-forma?
Para nosotros la pregunta no surge, pues siempre tomamos el punto de vista pragmático de que existe una métrica, y sólo hay vectores. Al fin y al cabo, ¡todo laboratorio tiene al menos una regla! Los físicos miden cosas, de modo que la métrica es un lugar natural donde empezar. Además, eventualmente siempre se introduce una métrica en cualquier libro de texto sobre teoría tensorial en física, y esta métrica tiene entonces el efecto de hacer la idea de 1-formas superflua.
Esto en esencia coincide con lo que recuerdo de mis lejanos tiempos de estudiante. No recuerdo haber oído hablar de 1-formas, al menos con ese nombre, pero sí de vectores y tensores. En general todas esas cosas con pinta de magnitud dirigida y semejantes a flechas, eran vectores. El trabajo era un escalar, el producto escalar de dos vectores, vector fuerza y vector desplazamiento, multiplicando sus magnitudes por el coseno del angulo que forman.
El trabajo "elemental" dW (escalar) producido por la fuerza F (vector) al desplazarse la partícula un desplazamiento infinitesimal dr (vector) era dW=F.dr, que empleando las coordenadas cartesianas de ambos vectores quedaba así: dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz
La cosa se complicaba algo cuando uno empezaba a hablar de componentes contravariantes, las "normales de toda la vida", y las covariantes, que se transformaban de otro modo. Se adoptaba una nomenclatura de índices arriba para las componentes contravariantes e índices abajo para las covariantes. Se podía pasar de una versión a otra subiendo y bajando índices con el tensor métrico y su inverso, y además en los casos sencillos ambas componentes de una y otra versión coincidían. Esto se generalizaba a los tensores. Además se usaba el convenio de sumación de Einstein. Pero no recuerdo haber tratado con las formas diferenciales o los tensores antisimétricos, aunque sí haber recibido demasiado pronto la versión tensorial de las ecuaciones de Maxwell y no saber por dónde me daba el aire.
Más recientemente he leído cosas de formas diferenciales y hay una tendencia a emplear cada vez más ese lenguaje, que algunos consideran más potente. Parece que desde el punto de vista matemático esa mayor potencia se traduce en que todos los teoremas usuales de integrales de línea, superficie y volumen en R3 pueden generalizarse y expresarse concisamente empleando el lenguaje de las formas, y demostrarse válidos aún sin necesidad de métrica. Y en un libro como “Clasical dynamics. A contemporary approach” de José y Saletan, se formula la mecánica clásica introduciendo las variedades diferenciales, el fibrado tangente (formado por vectores) y el fibrado cotangente (formado por 1-formas). La formulación Lagrangiana "actúa" en el fibrado tangente, mientras la Hamiltoniana "actúa" en el fibrado cotangente.
Así pues aunque normalmente podamos vivir sólo con vectores y nuestra regla, en aplicaciones avanzadas conviene poder distinguir vectores y 1-formas. Después de todo no es tan complicado :-).
Si se parte de un espacio vectorial V, a cuyos elementos llamamos vectores, como v, resulta que siempre se puede definir otro espacio vectorial llamado dual del anterior y denotado por V*, a cuyos elementos se les llama 1-formas e, porque son funciones e:V → R que a cada vector v de V le asocian un escalar e(v), de ahí lo de "forma", y el 1- porque sólo hay un vector como argumento. Una 2-forma sería una función bilineal de VxV → R, y antisimétrica respecto al intercambio de los dos factores.
En V puedo elegir una base y expresar cualquier vector v por sus componentes respecto a la misma. A esas componentes se las denomina contravariantes porque varían de cierto modo al cambiar de base.
A partir de cualquier base B de V se puede definir una base dual B* en V* de un modo tal que usando las componentes (v1,...,vn) de v respecto a B, y las (e1,...,en) de e respecto a B*, se pueda poner para todo v de V y todo e de V* que
e(v)=v1 e1+...+vn en
Las componentes (e1,...,en) se denominan covariantes porque varían de otro cierto modo al cambiar de base en V (sí, en V, no V*), modo un tanto contrario o inverso a cómo varían las componentes de v. De ahí la nomenclatura co- y contra- para significar los dos diferentes modos de variar al cambiar de base en V.
El cambio de una base B a otra B' en V lleva aparejado un cambio de la base B* a otra B'* (NO se considera un cambio de base en V* que sea independiente del realizado en V). Precisamente la forma “contraria” con la que cambian los v1,...,vn por un lado y los e1,...,en por otro, es tal que los dos productos dan un mismo escalar:
e(v)=v1 e1+...+vn en=v'1 e'1+...+v'n e'n
pues el valor de la función e sobre el vector v no depende de la base de V empleada.
¡Vaya!, esto es como un producto escalar de vectores pero usando ahora un vector y una 1-forma.
Entonces podría interpretar que dr es un vector infinitesimal, diferencia de dos vectores posición muy próximos, con componentes (dx, dy, dz) respecto de una base cartesiana {i,j,k}, y la fuerza F una 1-forma de componentes (Fx, Fy, Fz) respecto a la base dual {i*,j*,k*}. Su producto es el escalar dW, el trabajo infinitesimal.
Claro que podría ser al revés, F es un vector de componentes (Fx,Fy,Fz) y la 1-forma es dr con componentes (dx, dy, dz), y de nuevo dW un escalar. Al leer sobre formas diferenciales no es raro encontrar que dx es una 1-forma.
Pero también he visto por algún lado que una forma diferencial es algo como ¡dW! A ver si dW no es un escalar sino que es una 1-forma, que al integrar sobre cierto camino me da el trabajo del campo de fuerza, que no es sino la diferencia de la energía potencial (función escalar ) evaluada entre el punto inicial y el final del camino.
En fin, hay varias opciones:
1) F vector, dr vector, dW escalar sacado de F y dr con el producto escalar.
2) F 1-forma, dr vector, dW escalar igual a F(dr)
3) F vector, dr 1-forma, dW escalar igual a dr(F)
4) dW 1-forma, de componentes (Fx,Fy,Fz) respecto a una base B* de V* cuyas 1-formas base son dx, dy y dz, que ellas mismas son 1-formas, no componentes de vectores ni componentes de 1-formas.
No me extraña que Don Koks se quede con la regla y los vectores, y fuera líos, porque si no de las 4 posibilidades ¿cual es la buena?
Me atrevería osadamente a decir, con la regla en la mano, que ... todas.
La 1) es la más clásica y de toda la vida. F y dr son vectores, cogemos un sistema de referencia cartesiano con vectores básicos ortonormales de modo que F=Fx i + Fy j + Fz k, y dr=dx i + dy j+ dz k, y dW es su producto escalar.
La 2) y la 3) pueden valer si usamos la métrica, pues entonces hay una correspondencia unívoca entre los vectores v de V y las 1-formas e de V*: cada vector tiene un alter ego en forma de 1-forma, y viceversa. Esto nos puede fallar si perdemos la métrica, pero teniendo siempre una regla a mano no hay problema.
La 4) si que es un poco más rara, pero puede entenderse si consideramos que aquí dW, dx, dy y dz no indican un escalar, ni un incremento infinitesimal, sino funciones. Concretamente dx es la función que para cada vector v nos da el valor de su primera componente, la que multiplica al vector base i. Este si que es un lío de notación, pues uso signos idénticos para cosas muy diferentes. Incluso podría poner una igualdad como dx(dr)=dx en que la primera dx es una 1-forma, dr es el vector de componentes (dx,dy,dz) y este último dx, que aparece en el segundo miembro de la igualdad, un número indicando la componente x del vector dr.
En este caso para no confundirse habría que expresar las componentes del vector dr de otro modo, por ejemplo como (dr1, dr2, dr3). Entonces dx, dy y dz son 1-formas, y como pueden multiplicarse por escalares y sumarse, pues las 1-formas tienen estructura de espacio vectorial, resulta que
Fx dx + Fy dy + Fz dz
es una 1-forma, que aplicada a dr da precisamente
{Fx dx + Fy dy + Fz dz}(dr)=Fx dx(dr) + Fy dy(dr) + Fz dz(dr) =
Fx dr1 + Fy dr2 + Fz dr3.
Puede decirse que dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz es una 1-forma que representa una fuerza en un punto y permite calcular el trabajo de la misma para cualquier desplazamiento dr pequeño alrededor del mismo. Si la fuerza fuese constante, igual en todo punto, esa forma nos serviría para calcular el trabajo de ese campo de fuerza constante entre dos puntos cualesquiera ra y rb, aplicando dW al vector rb-ra. El trabajo sería pues dW(rb-ra). Este sería un caso de campo conservativo y podríamos ver la situación “al revés”, considerando la función “menos energía potencial” W, que asigna un escalar W(r) a todo punto r.
Resulta que una función escalar W es, por definición, una 0-forma, y su derivada es ... una 1-forma, designada por dW. En este caso la d a la izquierda de W significa “diferencial (o derivada) exterior de”.
Pero hay una sutileza. Al hablar de V y V*, de v y e, y tomar Fx, Fy, Fz como escalares, se adopta un punto de vista local, de un punto concreto ra: los vectores de V y las 1-formas de V* son locales, ligados al punto ra. Cogiendo en cada punto un vector “local” se llega a la idea de campo vectorial. Cogiendo en cada punto una 1-forma “local” se llega a la idea de forma diferencial, que podría ponerse como algo así
dW(r)=Fx(r) dx(r) + Fy(r) dy(r) +Fz(r) dz(r)
Ahora Fx(r), Fy(r) y Fz(r) son tres funciones escalares definidas para cada r, y tanto dW(r) como dx(r), dy(r) y dz(r) son formas diferenciales. Lo normal es ver esto puesto así
dW=Fx(r) dx + Fy(r) dy +Fz(r) dz
mostrando sólo la dependencia de r de las Fx, Fy y Fz. En este caso ya se sobreentiende que por ejemplo dx no es una 1-forma "puntual", sino una forma diferencial, que lleva implícitas una 1-forma dx "local" en cada punto. Las formas diferenciales dx, dy, dz sirven de base para expresar la más general dW usando funciones escalares como coeficientes o componentes en vez de simples escalares sin más.
Por cierto, la forma diferencial dx es la diferencial de la función escalar x. Sí, aquí x más que como variable o valor escalar se entiende como función que a cada punto r le asigna el valor de su primera coordenada. De nuevo podríamos poner algo como x(r)=x donde el significado de la x en cada caso es diferente.
Las formas diferenciales trabajan a escala global, no puntual. Dada una función escalar como la “menos energía potencial” W(r), su diferencial es una forma diferencial que tiene como componentes las derivadas parciales (denotando la parcial respecto a x por ",x"):
W,x(r)=Fx(r) ; W,y(r)=Fy(r) ; W,z(r)=Fz(r).
Es decir
dW(r)=W,x(r) dx + W,y(r) dy +W,z(r) dz
como nos decía el análisis de siempre aunque sin llamar a dx forma diferencial.
La claridad de todo lo referido a tensores, formas diferenciales y demás se puede palpar en el artículo de la wikipedia inglesa sobre covariancia y contravariancia de vectores, y en su página de discusión.
Saber si la fuerza es un vector o una 1-forma no lo sabremos, pero es seguro que para alcanzar el conocimiento nos deberá acompañar. Mucho.
lunes, 28 de julio de 2008
lecturas de verano
Aprovechando las vacaciones estivales en la aventada playa de la Barrosa, he leído un par de novelas recomendables.
"El asombroso viaje de Pomponio Flato", de Eduardo Mendoza, es de lectura ligera y agradable, tanto por la corta extensión del libro como por el humor que rezuman las peripecias poco detectivescas del romano Pomponio, contratado por el niño Jesús para exculpar a su padre José de la acusación de asesinato. La única pega a tal brevedad es que dura a lo sumo un día de vacaciones.
Algo más extenso y con más enjundia es "La elegancia del erizo" de Muriel Barbery. Una incursión en la especificidad individual llevada en secreto y los problemas que ello comporta en el día a día del trato social con los demás y en el sentido de la vida. Las dos protagonistas a las que escuchamos alternativamente son una portera de inmueble de ricos, y una adolescente despierta y reflexiva, ambas ocultas en su verdadero yo a los ojos ajenos. Claro que siempre hay alguien que puede descubrir la tapadera.
Si las vacaciones se prolongan tras acabar un par de novelas como las anteriores, siempre se puede recurrir a libros que no se acaban, de lectura no tan ligera aunque puedan resultar también interesantes, como "Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences". La primera parte, con descripciones cualitativas y gran número de figuras, es "asequible".
En esencia se presenta la idea de oscilador autosostenido, la caracterización de su frecuencia y fase, y el hecho de que ambas pueden ser "atrapadas" y fijadas por el ritmo que marque una fuerza periódica externa u otro oscilador semejante que interactúe con el primero.
Precisamente el primer ejemplo de este fenómeno es el descubriminto por Huygens de la sincronización de dos relojes de péndulo colgados de dos vigas apoyadas en un soporte común.
En un apéndice del libro se incluye un extracto de una carta de Christiaan Huygens a su padre refiriendo su hallazgo, y otro con sus observaciones y experimentos para dar con la causa del fenómeno:
Mientras me vi obligado a guardar cama por unos días hice observaciones de mis nuevos relojes y me percaté de un maravilloso fenómeno que nadie hubiera imaginado. Los dos relojes, colgados uno al lado del otro a una distancia entre uno y dos pies, mantenían su marcha acompasada con una precisión tan grande que los dos péndulos oscilaban siempre a la vez. Mientras me admiraba de esto, al final encontré que ello ocurría por una especie de simpatía: cuando les hacía mover a distinta marcha, al cabo de una media hora siempre volvían a sincronizarse y mantenerse así mientras yo no interviniese.En efecto Huygens dedujo que la simpatía se debía a la interacción de ambos relojes a través del soporte común que compartían, cuyo movimiento era imperceptible. Que tal diminuta interacción permitiera la sincronización era posible por la gran proximidad de las frecuencias características de cada uno de los relojes.
...
Nunca antes han podido otros relojes hacer algo semejante como los de mi nueva invención, y de esto puede uno ver lo precisos que son, pues algo tan pequeño basta para mantenerlos en eterno acuerdo.
El libro explica que la sincronización depende de dos factores principales: la intensidad de la interacción entre osciladores (o de la fuerza externa aplicada), y la diferencia de frecuencias (detuning). Para una interacción dada, la sincronización se pierde si las frecuencias "naturales" de cada oscilador son demasiado diferentes. Las explicaciones se van complicando al tratar factores adicionales como la presencia de ruido, o los sistemas caóticos. Y en el camino nos encontramos con un exponente de Lyapunov nulo, con lenguas de Arnold y con escaleras del diablo.
Todo ello explicado con numerosos ejemplos de la física, la biología o la química, pero sin matemáticas, en las primeras 170 páginas (la parte "asequible"), y con detalle matemático a continuación. Entonces ya es mejor refrescar los conceptos sobre sistemas dinámicos no lineales, y dejarlo para después de las vacaciones.
viernes, 23 de mayo de 2008
Ronsard
En medio del benéfico agua de mayo elevemos el ánimo con Pierre y su María. Es difícil explicar porqué algo te hace gracia, la suficiente para encontrar la sonrisa, pero así me pasa con algunas de las poesías de Ronsard (con la meritoria e inestimable tarea del traductor Carlos Pujol). Lo que no significa que carezcan de enjundia y hondura, claro, y de su lado trágico.
Aquí tenemos toda una declaración de principios, honesta y expresa
Aquí tenemos toda una declaración de principios, honesta y expresa
Me reñís , oh María, y soléis reprocharmePero la "versatilidad" no impide la entrega en cada ocasión que se presente, ni el encomiable empeño docente
el que sea tan versátil, sin dejar de añadir
cuando a vos me aproximo: Retornad a Casandra.
¡Me llamáis tantas veces inconstante en amores!
La inconstancia me gusta. Toscos son esos hombres
a los que un nuevo amor no conquista jamás;
el que terco no quiere tener más que una amada
no merece que Venus se le muestre benigna.
El que nuevos amores no se atreve a buscar
pues le falta valor o le falta cerebro,
es que cree que no puede tener algo mejor.
Los enfermos o aquellos que la edad ha vencido
la constancia practican, pero necio es el joven
que avisado no ponga sus amores en muchas.
Levantaos, María, mi pequeña holgazana,Mas fugaz es la dicha, efímera la lozanía, breve la vida
que ya canta la alondra su alegría en el cielo,
y en su dulce lenguaje oigo que el ruiseñor
entre espinos proclama su amorosa querella.
¡En pie! Vamos a ver el rocío en la hierba
y el rosal coronado por los nuevos capullos,
y los bellos claveles a los cuales anoche
disteis agua con mano cuidadosa y solícita.
¿Recordáis cómo anoche me jurasteis segura
que hoy mucho antes que yo estaríais despierta?
Pero al sueño del alba las doncellas se rinden
y os mantiene los párpados dulcemente sellados.
Besaré vuestros ojos y estos bellos pezones
para ver si os enseño como yo a madrugar.
Aquí duermen los huesos de la bella María,Qué grande Ronsard.
la que me hizo dejar Vendomois por Anjou,
que en mi edad más ardiente prendió fuego a mi sangre,
la que fuera mi bien, mi esperanza y deseo.
En su tumba reposan gentileza y honor,
y la joven beldad que llevaba en mi pecho,
y la llama de amor y su aljaba y sus flechas,
todo mi corazón, mi cordura y mi vida.
Eres, bella angevina, una estrella en el cielo,
extasiados los ángeles en tus ojos se miran,
y te añora la tierra, oh belleza sin par.
La que vive eres tú, y yo he muerto de pena.
¡Ay del que su esperanza haya puesto en amigos,
porque tres me engañaron: tú, el Amor y este mundo!
viernes, 16 de mayo de 2008
El láser
Este 16 de mayo el buscador Google presenta una de esas imágenes conmemorativas, recordando que tal día de 1960 se presentó el primer láser operativo. En la mayoría de los casos los resultados científicos son bastante ajenos al discurrir cotidiano, como ocurre con el importante descubrimiento astronómico que el otro día desvelaba la NASA, el hallazgo de los restos de la supernova más reciente de nuestra galaxia.
Pero hay resultados científicos que impactan de lleno en la vida cotidiana, tan intensamente como para olvidar qué hay detrás. La electricidad es quizá el ejemplo más claro: iluminación, refrigeración y calefacción, transporte, comunicaciones (incluyendo la televisión y los móviles), etc. Cuando nos falta la electricidad tenemos serios problemas. Es casi el elemento más necesario, aparte de los nutrientes biológicamente imprescindibles, entre los que ocupa el primer lugar el agua, ¡ah! precioso tesoro. Uno puede imaginar el futuro sin combustibles fósiles, pero no sin electricidad. Tampoco sin agua.
Pero hay mucha infraestructura científica, por ejemplo la que da soporte al mundo actual de electrónica de consumo, de la que vivimos ajenos. Que los discos duros aumenten más y más su capacidad es algo como natural, ocurre "mágicamente". Es la magia de, por ejemplo, la magnetorresistencia gigante, que estudiaron no hace mucho los receptores del premio nobel de física del año 2007.
Y una de las mejores magias del siglo pasado resultó ser la de esa luz intensa, concentrada, monocolor, que ya en dispositivos diminutos, ya en voluminosos aparatos, nos imprime páginas, nos opera la miopía, nos corta los patrones, nos acicala las fachadas, nos transmite por la fibra de vidrio todo tipo de datos, nos factura la cesta de la compra, o espera destrozar los satélites enemigos en órbita.
Y además lo que no trasciende en el día a día. En la investigación básica de la física y la química, y en el estudio de los materiales, el láser quizá sea el elemento más revolucionario en crear nuevas técnicas de análisis espectroscópico; también de manipulación, como el confinamiento o el enfriamiento de átomos; y de refinamientos increíbles en la metrología básica con los peines de frecuencias.
Pero esta aplicación tan generalizada hoy en día, no surgió tampoco de repente en 1960 por arte de magia instantánea. Antes del láser se consiguió el máser, que es realmente lo mismo pero en longitudes de onda más largas de las que resultan visibles a nuestros ojos. Y antes se estudiaron mucho los haces moleculares y las cavidades de radiofrecuencia. Y antes, a nivel más básico, la teoría cuántica permitió explicar con precisión el comportamiento de la luz y la materia, deduciendo que la luz la forman corpúsculos llamados fotones que tienden a comportarse muy gregariamente, por ser bosones. Tan gregariamente que si pasa un fotón cerca de un átomo excitado, hay una tendencia a que el átomo se relaje soltando esa energía de más en forma de otro fotón precisamente "clónico" del que pasaba por allí. También es de gran utilidad ese espíritu gregario para obtener el estado superconductor o los condensados de Bose-Einstein que han valido otro premio nobel.
Pero el espíritu gregario no basta. Uno puede ser muy gregario, pero vivir en el despoblado campo mesetario, o en una megalópolis con un sinfín de opciones, y no dar con nadie afín. Sin embargo si te limitas a recorrer unos pocos sitios es más fácil encontrar a esos amigos, formar un grupo, y según vas de tapas incrementar el número de integrantes de la ronda. Y si esa zona es elitista, y solo dejan pasear por ella a la gente con unas características concretas, más fácil es encontrarse en buena compañia. Bueno, pues a los fotones se les ayuda encerrándoles en una cavidad o resonador óptico. Los que no encajan se van, pero los que quedan limitan sus posibilidades de recorrido de tal manera que a la fuerza van a tener oportunidades de encontrarse con otras almas gemelas.
Claro que hay días en que vas con tu mejor espíritu gregario dando vueltas por la zona donde sólo van los tuyos y sueles encontrar alter egos, y no aparece ni uno. Y es que lo normal es llegar a casa cansado, pensando solo en relajarte y no mover un dedo, y claro, no sales. Para animarte a salir tienes que estar excitado, lleno de energía, con ganas de marcha y de encontrarte con los colegas. En el láser pasa algo parecido. En la cavidad por la que pueden circular los fotones hay un medio activo que puede emitir fotones, pero para eso tiene que estar en un estado excitado, con alguna energía sobrante, lo que no ocurre sin más. Debe conseguirse una inversión de población, que la habitual mayoría sedente se convierta en una mayoría marchosa.
Además esa energía tiene que ser la adecuada para poder crear fotones iguales a los muy selectos que pueden pulular por la cavidad. Lo que se trata de hacer para que funcione el láser es usar una bomba de energía para excitar el medio material, y que después éste se relaje emitiendo suficiente número de fotones de precisamente la clase que "encaja" en la cavidad, para que puedan encontrarse cuantas más almas gemelas mejor y consigan apandillarse. Es como repartir Red Bull para animar a la gente a salir de casa, pero repartirlo a ser posible selectívamente, a la gente del tipo adecuado para el ambiente de la zona. Por desgracia siempre habrá bastantes botes desperdiciados, pero conseguirás poner la zona a tope de fotones perfectamente sincronizados en el baile cuántico. ¡LAaaaaaSERrrr!
Bueno, lo anterior es una forma de ver las cosas que no siempre es exacta. Por ejemplo sería más adecuado decir que esa zona selectiva de bares que acogen sólo a un tipo de clientela puede ajustarse a las necesidades, poniendo la decoración y la música de rock, o de pop, o de blues, según convenga. En algunos láseres la cavidad puede variarse para sintonizar la emisión en una u otra frecuencia, incluso en cualquiera de un rango dado. También hay circunstancias en que podemos mantener las calles llenas de gente a base de Red Bull, con juerga permanente sin que cierren los garitos, lo que sería un láser de emisión continua. O bien las juergas (como ocurre en el género humano a partir de cierta edad) deben intercalarse con periodos de descanso para todos (hasta la siguiente remesa de Red Bull), como en los láseres pulsados. Cuanto mayores las juergas, más difícil el "modo continuo".
Pero con tanta juerga ¿son los bosones lo mejor? Bueno, la verdad es que tiene que haber de todo. Por ejemplo fermiones, que son la antítesis del espíritu gregario, el ejemplo palmario de comportamiento solitario y huidizo. Si los fotones fuesen fermiones no habría láser. Pero afortunadamente los electrones, como buenos fermiones, no quieren ni verse de cerca en el mismo estado, se rehuyen, marcan su territorio y forman las capas electrónicas que dan origen a todas las propiedades químicas de los átomos y moléculas. Su aceptada soledad contribuye a nuestra solidez; su sacrificado carácter esquivo, a poder besarnos.
Benditos pues, fotones y electrones, en la gracia de la magia cuántica. Láser.
Pero hay resultados científicos que impactan de lleno en la vida cotidiana, tan intensamente como para olvidar qué hay detrás. La electricidad es quizá el ejemplo más claro: iluminación, refrigeración y calefacción, transporte, comunicaciones (incluyendo la televisión y los móviles), etc. Cuando nos falta la electricidad tenemos serios problemas. Es casi el elemento más necesario, aparte de los nutrientes biológicamente imprescindibles, entre los que ocupa el primer lugar el agua, ¡ah! precioso tesoro. Uno puede imaginar el futuro sin combustibles fósiles, pero no sin electricidad. Tampoco sin agua.
Pero hay mucha infraestructura científica, por ejemplo la que da soporte al mundo actual de electrónica de consumo, de la que vivimos ajenos. Que los discos duros aumenten más y más su capacidad es algo como natural, ocurre "mágicamente". Es la magia de, por ejemplo, la magnetorresistencia gigante, que estudiaron no hace mucho los receptores del premio nobel de física del año 2007.
Y una de las mejores magias del siglo pasado resultó ser la de esa luz intensa, concentrada, monocolor, que ya en dispositivos diminutos, ya en voluminosos aparatos, nos imprime páginas, nos opera la miopía, nos corta los patrones, nos acicala las fachadas, nos transmite por la fibra de vidrio todo tipo de datos, nos factura la cesta de la compra, o espera destrozar los satélites enemigos en órbita.
Y además lo que no trasciende en el día a día. En la investigación básica de la física y la química, y en el estudio de los materiales, el láser quizá sea el elemento más revolucionario en crear nuevas técnicas de análisis espectroscópico; también de manipulación, como el confinamiento o el enfriamiento de átomos; y de refinamientos increíbles en la metrología básica con los peines de frecuencias.
Pero esta aplicación tan generalizada hoy en día, no surgió tampoco de repente en 1960 por arte de magia instantánea. Antes del láser se consiguió el máser, que es realmente lo mismo pero en longitudes de onda más largas de las que resultan visibles a nuestros ojos. Y antes se estudiaron mucho los haces moleculares y las cavidades de radiofrecuencia. Y antes, a nivel más básico, la teoría cuántica permitió explicar con precisión el comportamiento de la luz y la materia, deduciendo que la luz la forman corpúsculos llamados fotones que tienden a comportarse muy gregariamente, por ser bosones. Tan gregariamente que si pasa un fotón cerca de un átomo excitado, hay una tendencia a que el átomo se relaje soltando esa energía de más en forma de otro fotón precisamente "clónico" del que pasaba por allí. También es de gran utilidad ese espíritu gregario para obtener el estado superconductor o los condensados de Bose-Einstein que han valido otro premio nobel.
Pero el espíritu gregario no basta. Uno puede ser muy gregario, pero vivir en el despoblado campo mesetario, o en una megalópolis con un sinfín de opciones, y no dar con nadie afín. Sin embargo si te limitas a recorrer unos pocos sitios es más fácil encontrar a esos amigos, formar un grupo, y según vas de tapas incrementar el número de integrantes de la ronda. Y si esa zona es elitista, y solo dejan pasear por ella a la gente con unas características concretas, más fácil es encontrarse en buena compañia. Bueno, pues a los fotones se les ayuda encerrándoles en una cavidad o resonador óptico. Los que no encajan se van, pero los que quedan limitan sus posibilidades de recorrido de tal manera que a la fuerza van a tener oportunidades de encontrarse con otras almas gemelas.
Claro que hay días en que vas con tu mejor espíritu gregario dando vueltas por la zona donde sólo van los tuyos y sueles encontrar alter egos, y no aparece ni uno. Y es que lo normal es llegar a casa cansado, pensando solo en relajarte y no mover un dedo, y claro, no sales. Para animarte a salir tienes que estar excitado, lleno de energía, con ganas de marcha y de encontrarte con los colegas. En el láser pasa algo parecido. En la cavidad por la que pueden circular los fotones hay un medio activo que puede emitir fotones, pero para eso tiene que estar en un estado excitado, con alguna energía sobrante, lo que no ocurre sin más. Debe conseguirse una inversión de población, que la habitual mayoría sedente se convierta en una mayoría marchosa.
Además esa energía tiene que ser la adecuada para poder crear fotones iguales a los muy selectos que pueden pulular por la cavidad. Lo que se trata de hacer para que funcione el láser es usar una bomba de energía para excitar el medio material, y que después éste se relaje emitiendo suficiente número de fotones de precisamente la clase que "encaja" en la cavidad, para que puedan encontrarse cuantas más almas gemelas mejor y consigan apandillarse. Es como repartir Red Bull para animar a la gente a salir de casa, pero repartirlo a ser posible selectívamente, a la gente del tipo adecuado para el ambiente de la zona. Por desgracia siempre habrá bastantes botes desperdiciados, pero conseguirás poner la zona a tope de fotones perfectamente sincronizados en el baile cuántico. ¡LAaaaaaSERrrr!
Bueno, lo anterior es una forma de ver las cosas que no siempre es exacta. Por ejemplo sería más adecuado decir que esa zona selectiva de bares que acogen sólo a un tipo de clientela puede ajustarse a las necesidades, poniendo la decoración y la música de rock, o de pop, o de blues, según convenga. En algunos láseres la cavidad puede variarse para sintonizar la emisión en una u otra frecuencia, incluso en cualquiera de un rango dado. También hay circunstancias en que podemos mantener las calles llenas de gente a base de Red Bull, con juerga permanente sin que cierren los garitos, lo que sería un láser de emisión continua. O bien las juergas (como ocurre en el género humano a partir de cierta edad) deben intercalarse con periodos de descanso para todos (hasta la siguiente remesa de Red Bull), como en los láseres pulsados. Cuanto mayores las juergas, más difícil el "modo continuo".
Pero con tanta juerga ¿son los bosones lo mejor? Bueno, la verdad es que tiene que haber de todo. Por ejemplo fermiones, que son la antítesis del espíritu gregario, el ejemplo palmario de comportamiento solitario y huidizo. Si los fotones fuesen fermiones no habría láser. Pero afortunadamente los electrones, como buenos fermiones, no quieren ni verse de cerca en el mismo estado, se rehuyen, marcan su territorio y forman las capas electrónicas que dan origen a todas las propiedades químicas de los átomos y moléculas. Su aceptada soledad contribuye a nuestra solidez; su sacrificado carácter esquivo, a poder besarnos.
Benditos pues, fotones y electrones, en la gracia de la magia cuántica. Láser.
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