A la misma hora en que un hombre en Palomar ve caer en sus ojos las galaxias
(Trompa de Elefante, Comus, 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000 de siglos luz,
y no es nada, el telescopio empieza apenas su pesca
submarina la misma hora que ese hombre comprende que lo que está viendo es la abstracción
de algo que no verá nunca, un olvido casi del absurdo que lo deja asomarse
por Palomar a las palomas a millones trillones billones de palomas)
a esa misma hora un hombre en la Universidad de Toledo
(si Toledo tiene una Universidad)
completa su décimo volumen de trabajos
sobre la función del adjetivo en las obras de Fernán Vieyra de Rojas,
de manera que mañana en las librerías una al lado de otra
habrá una monografía con fotos de Palomar
y un largo estudio sobre el adjetivo
y no es posible que esto sea verdad
y que aceptemos su verdad y sigamos caminando
por Palomar o por Toledo,
tan panchos, tan contentos, tan seguros
de ser alguna cosa en esta insensatez perfecta.
lunes, 6 de octubre de 2008
Charting the Universe
Humoroso vértigo poético del genial Julio Cortázar (suya es la cursiva del verso):
viernes, 26 de septiembre de 2008
nubes y cerveza
No todo en la física son aceleradores y partículas. Hay nubes y cerveza.
Un destacado ejemplo de lectura educativa y amena es "Clouds in a glass of beer" de Craig F. Bohren, que para dar idea del fondo físico de la lectura, se subtitula "Simple experiments in atmospheric Physics".
Nos encontramos con la cerveza y sus burbujas; con granos de sal que desencadenan en la cerveza un borboteo tumultuoso; con la tenue neblina en el cuello de la botella de cerveza recien abierta; con la atmósfera y sus nubosas gotitas de agua; con patos felices de cabeza fría, y mucho más.
Expresado en términos novelescos, asistimos a los equilibrios y desequilibrios entre las dos apariencias de un protagonista, el agua, que se nos presenta a la vez como líquido y como vapor, separados por una superficie. Constantemente hay moléculas de agua que pasan del líquido al vapor (evaporación), y del vapor al líquido (condensación). Si hay equilibrio entre ambos procesos, a una temperatura dada, el vapor tiene una presión de vapor característica, denominada presión de saturación, nombre que intenta expresar que ya hay tanto agua en forma de vapor como permite la situación de equilibrio. Más presión de vapor indica una sobresaturación, exceso de vapor que ha de condensarse para restablecer el equilibrio. Menos presión de vapor que la de saturación implica que la evaporación gana a la condensación y en términos globales se puede aumentar la cantidad de vapor.
Podemos cambiar de jerga y hablar en términos de la humedad relativa, cociente entre la presión de vapor existente y la de saturación. Una humedad relativa del 100% indica la situación de equilibrio. Un valor mayor del 100%, sobresaturación. Bueno, según las reglas del juego, en medio de un vapor sobresaturado, debe producirse condensación y formarse agua. Pero ¿cuanto tiempo lleva eso? Crear una gotita de agua en medio del vapor implica no solo juntar moléculas vaporosas, sino crear una superficie de separación. Esto no es fácil, puede requerir paciencia, y es lo que se denomina nucleación homogénea. Pero las cosas se facilitan si aparecen los centros de nucleación, con sus superficies rugosas que facilitan la creación de la superficie de separación entre vapor y líquido. En la turbia atmósfera no suelen faltar.
El equilibrio suena monótono, pero el desequilibrio puede ser también aburrido si corresponde a una situación estacionaria: anticiclón de las azores, tiempo seco y soleado, baja humedad relativa, humidificadores a tope para paliar tal sequedad, y así podemos seguir días y días. Hasta que la temperatura cambia. El equilibrio entre vapor y agua líquida (y la dinámica de evaporación versus condensación) depende tremendamente de la temperatura: la presión de saturación del vapor de agua decrece muy rápidamente al disminuir la temperatura. Imaginemos una presion de vapor P menor a la de saturación PSat(T1) a la temperatura T1. Por ejemplo una situación de humedad relativa del 50%. De repente llega el frío. La temperatura empieza a descender, y con ella la presión de saturación. Podemos llegar a una temperatura Tr < T1 en que P=PSat(Tr), y por tanto en que la humedad relativa es del 100%. A tal temperatura se le denomina temperatura o punto de rocío para las condiciones dadas en un principio. Si la temperatura sigue descendiendo más hasta una temperatura T2, se puede dar una situación momentánea de sobresaturación, humedad relativa mayor del 100%. Claro que una vez actúe la condensación para restablecer el equilibrio, la presión del vapor de agua debe disminuir hasta P'=PSat(T2), una humedad relativa del 100% en la temperatura T2, que resulta ser la temperatura de rocío en la nueva situación.
La temperatura es por tanto un personaje principal en el drama atmosférico, que puede llegar a sofocarnos. Al lado del mar en tiempo muy caluroso (40ºC) la humedad absoluta es enorme, la humedad relativa puede estar cerca del 100%, y la temperatura de rocío ser por ejemplo de 35ºC. Nuestro sudor no se evapora, y no nos refresca nada. Claro que hay altas temperaturas de Rocío estupendas (bueno, dew, drew, que más da).
Precisamente el grado de evaporación es mayor cuanto menor es la humedad relativa. Y la evaporación lleva aparejada una absorción de calor que se emplea para pasar del líquido al vapor, y que implica un enfriamiento de la superficie en que se produce la evaporación. Cuanto menos humedad relativa, más evaporación, y más enfriamiento. Una forma de medir la humedad relativa es tomar la temperatura de ambiente en seco y compararla con la temperatura de bulbo húmedo. Si la humedad relativa es baja, la evaporación de un paño húmedo en contacto con nuestro termómetro es alta, produciendo una mayor disminución de la temperatura. Hay tablas para relacionar esta diferencia de temperaturas (de bulbo seco menos la de bulbo húmedo) con la humedad relativa.
Un dispositivo móvil basado en este principio es el pájaro beodo, ilustrado por Bohren, que le denomina pato feliz. En el culo del pato hay un líquido volatil, que también llena en parte un tubito que conecta el fondo del culo con la cabeza. Un enfriamiento de la misma reduce la presión del vapor en la cabeza respecto a la existente en el culo, y esa sobrepresión cular eleva el líquido por el tubo hasta la cabeza y desequilibra al pobre pato, que gira y bebe, empapando su pico, mientras el ángulo de inclinación hace que se conecten e igualen las presiones de culo y cabeza, y el líquido de esta última descienda de nuevo, haciendo retomar al pato su casi erguida posición. Y vuelta a empezar.
Curiosamente si al pato se le da de beber agua con una alta concentración de sal, o de azúcar, pierde bastante de su alegría. El enfriamiento (que promueve la alegría del movimiento) depende de la fuerte evaporación en el empapado pico, mayor si la humedad relativa es baja, que significa que la presión actual de vapor es mucho menor que la presión de vapor saturada. Pero un tal Raoult observó que la presión de saturación de una sustancia disminuía si a la fase líquida pura de la misma se le añadía un soluto, tanto más cuanto mayor fuese la fracción del soluto. De modo que al empapado pico de pato bien salado le corresponde una menor presión de saturación, lo que hace que la humedad relativa a sus efectos sea más próxima al 100% que la experimentada en las mismas condiciones de temperatura y humedad absoluta por un destiladamente empapado pico de pato. Con el agua salada la evaporación es menor, menor la disminución de temperatura, y menor el sube y baja.
Otro protagonista con problemas de equilibrio es el gas carbónico, que aparece como gas libre en el cuello de nuestra botella de cerveza cerrada, o disuelto en el líquido. El equilibrio entre gas libre y disuelto se describe por la ley de Henry: la cantidad de gas disuelto es proporcional a la presión parcial del gas, pero la constante de proporcionalidad depende fuertemente de la temperatura. Para una misma presión del gas, la solubilidad decrece al aumentar la temperatura. En las bebidas carbonatadas se consigue diluir gran cantidad de gas en el líquido trabajando a grandes presiones de carbónico y a bajas temperaturas. Hay auténticos expertos domésticos para tener agua carbonatada en casa en plan hazlo tú mismo. En el caso de nuestra botella de cerveza cerrada, el carbónico del cuello de la botella esta en equilibrio con el carbónico disuelto. Tal equilibrio se pierde en cuanto se abre la botella. La cerveza pasa a contener más carbónico del correspondiente a la nueva situación, en que la presión parcial del carbónico es casi nula al escapar a la atmósfera. A semejanza de la sobresaturación del vapor de agua, el exceso de gas carbónico disuelto puede crear burbujas gaseosas por la lenta vía de nucleación homogénea o con la ayuda de centros de nucleación, como se dan en las rugosas paredes y fondo de nuestro vaso de cerveza. Y si, como propone Bohren, echamos a la cerveza unos granos de sal, o de arena, hay un repentino tumulto de creación de burbujas. Pero además de ser éticamente cuestionable hacer tan deplorable uso de una saludable cerveza, es más es-pec-ta-cu-lar y menos objetable usar una bebida de Cola y unos Mentos.
Lo que sí es aconsejable es comprobar que al destapar una cerveza cerrada, en su cuello puede apreciarse una tenue neblina. El gas carbónico escapa rápidamente produciendo un brusco enfriamiento que satura el vapor de agua presente en el cuello. En una botella cerrada los posibles centros de nucleación se han asentado y el cuello está libre de ellos, de modo que actúa la nucleación homogénea creando la tenue neblina.
Qué dura es la ciencia, ayer tuve que abrir, y degustar, una Grimbergen Double.
Un destacado ejemplo de lectura educativa y amena es "Clouds in a glass of beer" de Craig F. Bohren, que para dar idea del fondo físico de la lectura, se subtitula "Simple experiments in atmospheric Physics".
Nos encontramos con la cerveza y sus burbujas; con granos de sal que desencadenan en la cerveza un borboteo tumultuoso; con la tenue neblina en el cuello de la botella de cerveza recien abierta; con la atmósfera y sus nubosas gotitas de agua; con patos felices de cabeza fría, y mucho más.
Expresado en términos novelescos, asistimos a los equilibrios y desequilibrios entre las dos apariencias de un protagonista, el agua, que se nos presenta a la vez como líquido y como vapor, separados por una superficie. Constantemente hay moléculas de agua que pasan del líquido al vapor (evaporación), y del vapor al líquido (condensación). Si hay equilibrio entre ambos procesos, a una temperatura dada, el vapor tiene una presión de vapor característica, denominada presión de saturación, nombre que intenta expresar que ya hay tanto agua en forma de vapor como permite la situación de equilibrio. Más presión de vapor indica una sobresaturación, exceso de vapor que ha de condensarse para restablecer el equilibrio. Menos presión de vapor que la de saturación implica que la evaporación gana a la condensación y en términos globales se puede aumentar la cantidad de vapor.
Podemos cambiar de jerga y hablar en términos de la humedad relativa, cociente entre la presión de vapor existente y la de saturación. Una humedad relativa del 100% indica la situación de equilibrio. Un valor mayor del 100%, sobresaturación. Bueno, según las reglas del juego, en medio de un vapor sobresaturado, debe producirse condensación y formarse agua. Pero ¿cuanto tiempo lleva eso? Crear una gotita de agua en medio del vapor implica no solo juntar moléculas vaporosas, sino crear una superficie de separación. Esto no es fácil, puede requerir paciencia, y es lo que se denomina nucleación homogénea. Pero las cosas se facilitan si aparecen los centros de nucleación, con sus superficies rugosas que facilitan la creación de la superficie de separación entre vapor y líquido. En la turbia atmósfera no suelen faltar.
El equilibrio suena monótono, pero el desequilibrio puede ser también aburrido si corresponde a una situación estacionaria: anticiclón de las azores, tiempo seco y soleado, baja humedad relativa, humidificadores a tope para paliar tal sequedad, y así podemos seguir días y días. Hasta que la temperatura cambia. El equilibrio entre vapor y agua líquida (y la dinámica de evaporación versus condensación) depende tremendamente de la temperatura: la presión de saturación del vapor de agua decrece muy rápidamente al disminuir la temperatura. Imaginemos una presion de vapor P menor a la de saturación PSat(T1) a la temperatura T1. Por ejemplo una situación de humedad relativa del 50%. De repente llega el frío. La temperatura empieza a descender, y con ella la presión de saturación. Podemos llegar a una temperatura Tr < T1 en que P=PSat(Tr), y por tanto en que la humedad relativa es del 100%. A tal temperatura se le denomina temperatura o punto de rocío para las condiciones dadas en un principio. Si la temperatura sigue descendiendo más hasta una temperatura T2, se puede dar una situación momentánea de sobresaturación, humedad relativa mayor del 100%. Claro que una vez actúe la condensación para restablecer el equilibrio, la presión del vapor de agua debe disminuir hasta P'=PSat(T2), una humedad relativa del 100% en la temperatura T2, que resulta ser la temperatura de rocío en la nueva situación.
La temperatura es por tanto un personaje principal en el drama atmosférico, que puede llegar a sofocarnos. Al lado del mar en tiempo muy caluroso (40ºC) la humedad absoluta es enorme, la humedad relativa puede estar cerca del 100%, y la temperatura de rocío ser por ejemplo de 35ºC. Nuestro sudor no se evapora, y no nos refresca nada. Claro que hay altas temperaturas de Rocío estupendas (bueno, dew, drew, que más da).
Precisamente el grado de evaporación es mayor cuanto menor es la humedad relativa. Y la evaporación lleva aparejada una absorción de calor que se emplea para pasar del líquido al vapor, y que implica un enfriamiento de la superficie en que se produce la evaporación. Cuanto menos humedad relativa, más evaporación, y más enfriamiento. Una forma de medir la humedad relativa es tomar la temperatura de ambiente en seco y compararla con la temperatura de bulbo húmedo. Si la humedad relativa es baja, la evaporación de un paño húmedo en contacto con nuestro termómetro es alta, produciendo una mayor disminución de la temperatura. Hay tablas para relacionar esta diferencia de temperaturas (de bulbo seco menos la de bulbo húmedo) con la humedad relativa.
Un dispositivo móvil basado en este principio es el pájaro beodo, ilustrado por Bohren, que le denomina pato feliz. En el culo del pato hay un líquido volatil, que también llena en parte un tubito que conecta el fondo del culo con la cabeza. Un enfriamiento de la misma reduce la presión del vapor en la cabeza respecto a la existente en el culo, y esa sobrepresión cular eleva el líquido por el tubo hasta la cabeza y desequilibra al pobre pato, que gira y bebe, empapando su pico, mientras el ángulo de inclinación hace que se conecten e igualen las presiones de culo y cabeza, y el líquido de esta última descienda de nuevo, haciendo retomar al pato su casi erguida posición. Y vuelta a empezar.
Curiosamente si al pato se le da de beber agua con una alta concentración de sal, o de azúcar, pierde bastante de su alegría. El enfriamiento (que promueve la alegría del movimiento) depende de la fuerte evaporación en el empapado pico, mayor si la humedad relativa es baja, que significa que la presión actual de vapor es mucho menor que la presión de vapor saturada. Pero un tal Raoult observó que la presión de saturación de una sustancia disminuía si a la fase líquida pura de la misma se le añadía un soluto, tanto más cuanto mayor fuese la fracción del soluto. De modo que al empapado pico de pato bien salado le corresponde una menor presión de saturación, lo que hace que la humedad relativa a sus efectos sea más próxima al 100% que la experimentada en las mismas condiciones de temperatura y humedad absoluta por un destiladamente empapado pico de pato. Con el agua salada la evaporación es menor, menor la disminución de temperatura, y menor el sube y baja.
Otro protagonista con problemas de equilibrio es el gas carbónico, que aparece como gas libre en el cuello de nuestra botella de cerveza cerrada, o disuelto en el líquido. El equilibrio entre gas libre y disuelto se describe por la ley de Henry: la cantidad de gas disuelto es proporcional a la presión parcial del gas, pero la constante de proporcionalidad depende fuertemente de la temperatura. Para una misma presión del gas, la solubilidad decrece al aumentar la temperatura. En las bebidas carbonatadas se consigue diluir gran cantidad de gas en el líquido trabajando a grandes presiones de carbónico y a bajas temperaturas. Hay auténticos expertos domésticos para tener agua carbonatada en casa en plan hazlo tú mismo. En el caso de nuestra botella de cerveza cerrada, el carbónico del cuello de la botella esta en equilibrio con el carbónico disuelto. Tal equilibrio se pierde en cuanto se abre la botella. La cerveza pasa a contener más carbónico del correspondiente a la nueva situación, en que la presión parcial del carbónico es casi nula al escapar a la atmósfera. A semejanza de la sobresaturación del vapor de agua, el exceso de gas carbónico disuelto puede crear burbujas gaseosas por la lenta vía de nucleación homogénea o con la ayuda de centros de nucleación, como se dan en las rugosas paredes y fondo de nuestro vaso de cerveza. Y si, como propone Bohren, echamos a la cerveza unos granos de sal, o de arena, hay un repentino tumulto de creación de burbujas. Pero además de ser éticamente cuestionable hacer tan deplorable uso de una saludable cerveza, es más es-pec-ta-cu-lar y menos objetable usar una bebida de Cola y unos Mentos.
Lo que sí es aconsejable es comprobar que al destapar una cerveza cerrada, en su cuello puede apreciarse una tenue neblina. El gas carbónico escapa rápidamente produciendo un brusco enfriamiento que satura el vapor de agua presente en el cuello. En una botella cerrada los posibles centros de nucleación se han asentado y el cuello está libre de ellos, de modo que actúa la nucleación homogénea creando la tenue neblina.
Qué dura es la ciencia, ayer tuve que abrir, y degustar, una Grimbergen Double.
martes, 23 de septiembre de 2008
Carácter, natural, bit. Unicode.
Un carácter es un signo de escritura o imprenta, como una letra, un número, una coma, una interrogación... El concepto de carácter es abstracto, por ejemplo la "a minúscula" puede visualizarse con apariencias variadas. La apariencia gráfica se determina por el tipo de letra (Arial, Times,...) y la fuente (normal, negrita, cursiva, etc, de tamaños diversos), pero el concepto de "letra a minúscula" es independiente de tal apariencia concreta.
Al llegar la era de la información los ordenadores deben manejar los caracteres normales, y además se empiezan a usar caracteres no visibles, pero que tienen su utilidad, como el retorno de carro y lo que en general se llaman caracteres de control, que informan a las máquinas de cómo comportarse: mueve esa cabezota de impresión al principio de la línea, avanza el rodillito hasta la siguiente línea, pita, etc.
Internamente los sistemas digitales solo entienden secuencias de bits. Un bit, un dígito binario, es o cero o uno, 0 o 1. Por razones históricas esas secuencias casi siempre se agrupan y manejan en grupos de 8 bits, lo que se denomina byte.
¿Como relacionar los caracteres con los bytes? Pues en dos pasos, que en muchos casos se dan a la vez . Empleando una denominación que no puede considerarse estándar, pero que uso consistentemente para diferenciarlos, esos dos pasos son:
Código (coded character set), del carácter al número. Se asocia a cada carácter abstracto un número natural. Como interesa manejar un repertorio de caracteres, podemos visualizar esta asociación como la colocación de cada carácter en una casilla de un casillero, siendo identificada cada casilla del casillero por un número natural, lo que llamaremos punto de código, o en inglés "code point".
Codificación (character encoding form), del número al bit. Regla por la que se asocia un número natural con una pauta concreta de bits. Con 8 bits hay 256 pautas distintas, que se asocian de forma "natural" a los números naturales del 0 al 255, según una regla que puede llamarse sistema binario, según la cual por ejemplo '10000011' corresponde a 131. En realidad este sistema binario se puede aplicar para relacionar cualquier secuencia de bits, tan grande como se quiera, con un número natural. Con 16 bits, 2 bytes, se pueden representar los números del 0 hasta el 65535. Con 4 bytes, los números naturales entre 0 y 4294967295. Pero no tiene que emplearse forzosamente ese sistema binario "natural", y puede haber pautas especiales de bits que no se asocien a un número.
Hace muchos años, cuando los norteamericanos eran casi los únicos en el mundo de la informática, cogieron un repertorio de sus caracteres favoritos, que no pasaban de 128. Les repartieron a su manera en un casillero de 128 casillas. Luego cada casilla la representaron con bits por la pauta "natural" empleando 7 de los 8 bits de un byte. El bit restante se usaba como comprobación contra errores. Lo que resultó es el código de caracteres ASCII (Código Estadounidense Estándar para el Intercambio de Información). Este código engloba tanto la asignación de cada carácter del repertorio a una casilla (código), como el byte correspondiente a esa casilla (codificación). En el ASCII inicial el byte obtenido para cada una de las 128 casillas no era siempre el resultante de aplicar la regla "natural" del sistema binario, por el uso especial del octavo bit.
Pronto se necesitó ampliar el repertorio de caracteres y usar un casillero mayor, de 256 casillas. Se amplió el ASCII rellenando el casillero agrandado, y cambiando la regla de codificación para usar, entonces sí, el sistema binario "natural" y abandonar el bit de paridad.
Pero como los americanos no estaban solos, y hay muchos alfabetos en el mundo, se hizo imprescindible definir más casilleros, cada uno con 256 casillas en las que en cada caso se colocaban distintos repertorios de caracteres, o incluso un mismo carácter se colocaba en distinta casilla. A cada casillero distinto se le suele denominar página de código, o code page, y se distinguen unos casilleros de otros por un número. La página de código 437 es la original del IBM PC, y en ese casillero la "a minúscula acentuada" ocupa la casilla 160. La página de código 1252 es la usada por Windows para el repertorio de caracteres latinos eurooccidentales, y en este casillero la "a minúscula acentuada" ocupa la casilla 225. Hay páginas de código con caracteres de repertorios correspondientes a lenguas de casi todo el mundo.
Y aquí tenemos la babel desatada. Porque casi se podía acertar en suponer que la codificación (encoding) de un byte era la "natural" del sistema binario, y de los bytes obtener el número natural correcto indicativo de la casilla. Pero la casilla ¿de qué casillero? Había que saber la página de código correcta. Y en aplicaciones multilingües podían ser necesarias muchas.
Contra la babel desatada, organización. UNICODE. La solución en esencia es olvidar la multitud de casilleros de reducidas dimensiones. Usar un único casillero que pueda albergar cualquiera de los caracteres que ha habido en la historia humana o que pueda idearse en el futuro: un casillero con 1,114,112 casillas. En vez de imaginar las casillas en línea, para distinguir las partes del casillero este se divide en 17 planos (del 0 al 16), cada plano con 65536 casillas. Cada casilla se distingue del resto por su punto de código (code point), un número natural entre 0 y 1,114,111 aunque lo más común no es usar el sistema decimal, sino el hexadecimal. Todos los caracteres de todos los idiomas conocidos, más todo tipo de símbolos, se reparten por el casillero de una forma convenida que se conoce como Conjunto de Caracteres Universal. A veces se habla de "caracteres Unicode".
Resuelto el problema del código, se agrava un tanto el de la codificación. Para cubrir ese rango numérico hacen falta como mínimo 21 bits, que implica usar 3 bytes. Ademas a los sistemas binarios no les gustan los impares, a veces manejan "palabras" de 2 o de 4 bytes, pero no de 3. Para abordar este tema de la codificación de los puntos de código, se ofrecen varias tipos de codificación. El más simple se denomina UTF-32, y usa 4 bytes para representar cada casilla. Ventaja: uniformidad y rapidez en codificar y descodificar. Desventaja: Salvaje despilfarro de espacio, pues la inmensa mayoría de caracteres realmente utilizados están en casillas de números bajos, que pueden representarse con sólo un byte, o con dos bytes. Por eso se plantean los sistemas de codificación de longitud variable, aquellos que emplean diferente número de bytes según la casilla de que se trate. UTF-16 emplean como mínimo dos bytes (16 bits). El más económico es UTF-8, que como mínimo puede emplear un sólo byte (8 bits). Estas tres formas de codificación son parte del estándar Unicode. Hay otras variantes que no son estándar y es mejor olvidar.
UTF-8 tiene la ventaja de ahorro en espacio, y de compatibilidad con el veterano y muy extendido código ASCII. El lado negativo está en la mayor complejidad en la codificación y descodificación, pero como eso lo hacen las máquinas... Es de esperar que en un futuro sólo se use Unicode (el casillero Conjunto de Caracteres Universal), y como codificación UTF-8 y UTF-16.
Todo esto que parece tan sencillo tiene muchos detalles técnicos que dan para leer largo y tendido. Parte de la codificación UTF-8 consiste en distinguir cuando se usa sólo un byte o cuando se usan más. De los bytes empleados solo algunos bits se emplean para obtener, usando el sistema binario, el punto de código. Hay una pauta de bits reservada para identificar el orden de bytes usados en cada sistema informático (pues usando palabras de 2 bytes, el byte con los bits más significativos puede ir o el primero o el segundo, y habiendo dos posibilidades ...).
Para que la felicidad sea completa, y reconozcamos gráficamente los caracteres, solo falta tener una fuente que represente (casi) todos los definidos en Unicode. En Windows se puede visualizar cualquier carácter Unicode con la fuente Arial Unicode MS.
En todo este ámbito, en que las tecnologías de la información se relacionan con los sistemas de escritura y los lenguajes humanos, puede apreciarse lo fructífero (y arduo) que resulta la cooperación, el entendimiento, la unificación de criterios, y el empleo del discurrir de muchos para el beneficio de todos. Bien por Unicode.
Al llegar la era de la información los ordenadores deben manejar los caracteres normales, y además se empiezan a usar caracteres no visibles, pero que tienen su utilidad, como el retorno de carro y lo que en general se llaman caracteres de control, que informan a las máquinas de cómo comportarse: mueve esa cabezota de impresión al principio de la línea, avanza el rodillito hasta la siguiente línea, pita, etc.
Internamente los sistemas digitales solo entienden secuencias de bits. Un bit, un dígito binario, es o cero o uno, 0 o 1. Por razones históricas esas secuencias casi siempre se agrupan y manejan en grupos de 8 bits, lo que se denomina byte.
¿Como relacionar los caracteres con los bytes? Pues en dos pasos, que en muchos casos se dan a la vez . Empleando una denominación que no puede considerarse estándar, pero que uso consistentemente para diferenciarlos, esos dos pasos son:
Código (coded character set), del carácter al número. Se asocia a cada carácter abstracto un número natural. Como interesa manejar un repertorio de caracteres, podemos visualizar esta asociación como la colocación de cada carácter en una casilla de un casillero, siendo identificada cada casilla del casillero por un número natural, lo que llamaremos punto de código, o en inglés "code point".
Codificación (character encoding form), del número al bit. Regla por la que se asocia un número natural con una pauta concreta de bits. Con 8 bits hay 256 pautas distintas, que se asocian de forma "natural" a los números naturales del 0 al 255, según una regla que puede llamarse sistema binario, según la cual por ejemplo '10000011' corresponde a 131. En realidad este sistema binario se puede aplicar para relacionar cualquier secuencia de bits, tan grande como se quiera, con un número natural. Con 16 bits, 2 bytes, se pueden representar los números del 0 hasta el 65535. Con 4 bytes, los números naturales entre 0 y 4294967295. Pero no tiene que emplearse forzosamente ese sistema binario "natural", y puede haber pautas especiales de bits que no se asocien a un número.
Hace muchos años, cuando los norteamericanos eran casi los únicos en el mundo de la informática, cogieron un repertorio de sus caracteres favoritos, que no pasaban de 128. Les repartieron a su manera en un casillero de 128 casillas. Luego cada casilla la representaron con bits por la pauta "natural" empleando 7 de los 8 bits de un byte. El bit restante se usaba como comprobación contra errores. Lo que resultó es el código de caracteres ASCII (Código Estadounidense Estándar para el Intercambio de Información). Este código engloba tanto la asignación de cada carácter del repertorio a una casilla (código), como el byte correspondiente a esa casilla (codificación). En el ASCII inicial el byte obtenido para cada una de las 128 casillas no era siempre el resultante de aplicar la regla "natural" del sistema binario, por el uso especial del octavo bit.
Pronto se necesitó ampliar el repertorio de caracteres y usar un casillero mayor, de 256 casillas. Se amplió el ASCII rellenando el casillero agrandado, y cambiando la regla de codificación para usar, entonces sí, el sistema binario "natural" y abandonar el bit de paridad.
Pero como los americanos no estaban solos, y hay muchos alfabetos en el mundo, se hizo imprescindible definir más casilleros, cada uno con 256 casillas en las que en cada caso se colocaban distintos repertorios de caracteres, o incluso un mismo carácter se colocaba en distinta casilla. A cada casillero distinto se le suele denominar página de código, o code page, y se distinguen unos casilleros de otros por un número. La página de código 437 es la original del IBM PC, y en ese casillero la "a minúscula acentuada" ocupa la casilla 160. La página de código 1252 es la usada por Windows para el repertorio de caracteres latinos eurooccidentales, y en este casillero la "a minúscula acentuada" ocupa la casilla 225. Hay páginas de código con caracteres de repertorios correspondientes a lenguas de casi todo el mundo.
Y aquí tenemos la babel desatada. Porque casi se podía acertar en suponer que la codificación (encoding) de un byte era la "natural" del sistema binario, y de los bytes obtener el número natural correcto indicativo de la casilla. Pero la casilla ¿de qué casillero? Había que saber la página de código correcta. Y en aplicaciones multilingües podían ser necesarias muchas.
Contra la babel desatada, organización. UNICODE. La solución en esencia es olvidar la multitud de casilleros de reducidas dimensiones. Usar un único casillero que pueda albergar cualquiera de los caracteres que ha habido en la historia humana o que pueda idearse en el futuro: un casillero con 1,114,112 casillas. En vez de imaginar las casillas en línea, para distinguir las partes del casillero este se divide en 17 planos (del 0 al 16), cada plano con 65536 casillas. Cada casilla se distingue del resto por su punto de código (code point), un número natural entre 0 y 1,114,111 aunque lo más común no es usar el sistema decimal, sino el hexadecimal. Todos los caracteres de todos los idiomas conocidos, más todo tipo de símbolos, se reparten por el casillero de una forma convenida que se conoce como Conjunto de Caracteres Universal. A veces se habla de "caracteres Unicode".
Resuelto el problema del código, se agrava un tanto el de la codificación. Para cubrir ese rango numérico hacen falta como mínimo 21 bits, que implica usar 3 bytes. Ademas a los sistemas binarios no les gustan los impares, a veces manejan "palabras" de 2 o de 4 bytes, pero no de 3. Para abordar este tema de la codificación de los puntos de código, se ofrecen varias tipos de codificación. El más simple se denomina UTF-32, y usa 4 bytes para representar cada casilla. Ventaja: uniformidad y rapidez en codificar y descodificar. Desventaja: Salvaje despilfarro de espacio, pues la inmensa mayoría de caracteres realmente utilizados están en casillas de números bajos, que pueden representarse con sólo un byte, o con dos bytes. Por eso se plantean los sistemas de codificación de longitud variable, aquellos que emplean diferente número de bytes según la casilla de que se trate. UTF-16 emplean como mínimo dos bytes (16 bits). El más económico es UTF-8, que como mínimo puede emplear un sólo byte (8 bits). Estas tres formas de codificación son parte del estándar Unicode. Hay otras variantes que no son estándar y es mejor olvidar.
UTF-8 tiene la ventaja de ahorro en espacio, y de compatibilidad con el veterano y muy extendido código ASCII. El lado negativo está en la mayor complejidad en la codificación y descodificación, pero como eso lo hacen las máquinas... Es de esperar que en un futuro sólo se use Unicode (el casillero Conjunto de Caracteres Universal), y como codificación UTF-8 y UTF-16.
Todo esto que parece tan sencillo tiene muchos detalles técnicos que dan para leer largo y tendido. Parte de la codificación UTF-8 consiste en distinguir cuando se usa sólo un byte o cuando se usan más. De los bytes empleados solo algunos bits se emplean para obtener, usando el sistema binario, el punto de código. Hay una pauta de bits reservada para identificar el orden de bytes usados en cada sistema informático (pues usando palabras de 2 bytes, el byte con los bits más significativos puede ir o el primero o el segundo, y habiendo dos posibilidades ...).
Para que la felicidad sea completa, y reconozcamos gráficamente los caracteres, solo falta tener una fuente que represente (casi) todos los definidos en Unicode. En Windows se puede visualizar cualquier carácter Unicode con la fuente Arial Unicode MS.
En todo este ámbito, en que las tecnologías de la información se relacionan con los sistemas de escritura y los lenguajes humanos, puede apreciarse lo fructífero (y arduo) que resulta la cooperación, el entendimiento, la unificación de criterios, y el empleo del discurrir de muchos para el beneficio de todos. Bien por Unicode.
sábado, 13 de septiembre de 2008
Sentado, solo, en la montaña de Jingting
Los pájaros han tornado a sus nidos en bandadas.
Perezosa, la última nube se aleja.
La montaña es mi única compañera.
Ni al uno ni al otro nos cansa mirarnos.
(Mondadori, trad. Chen Guojian)
miércoles, 10 de septiembre de 2008
Al fin dando vueltas al LHC
Ya sale en los medios más diversos, el Gran Colisionador de Hadrones o LHC de sus siglas en inglés, hacía el debut oficial. La prensa y en general todos necesitamos esas simplificaciones de marcar un sólo día como hito señero de algo que realmente lleva años y años, más de veinte, y tiene por delante varios meses hasta el pleno funcionamiento. Y luego años y años de experimentos, análisis, y "digestión" de resultados.
Era hoy, "histórico" 10-9-8. Además de ojear la reseña oficial, más significativo, informativo y emotivo es la explicación (en español) de Reyes Alemany Fernandez, una de las muchas personas involucradas en el esfuerzo internacional conjunto para ganar el conocimiento acerca de nuestra más íntima constitución.
Enhorabuena.
Era hoy, "histórico" 10-9-8. Además de ojear la reseña oficial, más significativo, informativo y emotivo es la explicación (en español) de Reyes Alemany Fernandez, una de las muchas personas involucradas en el esfuerzo internacional conjunto para ganar el conocimiento acerca de nuestra más íntima constitución.
Enhorabuena.
martes, 5 de agosto de 2008
¿Es la fuerza un vector o una 1-forma?
He dado con la pregunta en el libro "Explorations in Mahematical Physics. The concepts behind an elegant language" de Don Koks, que sigue (traducido) así:
Esto en esencia coincide con lo que recuerdo de mis lejanos tiempos de estudiante. No recuerdo haber oído hablar de 1-formas, al menos con ese nombre, pero sí de vectores y tensores. En general todas esas cosas con pinta de magnitud dirigida y semejantes a flechas, eran vectores. El trabajo era un escalar, el producto escalar de dos vectores, vector fuerza y vector desplazamiento, multiplicando sus magnitudes por el coseno del angulo que forman.
El trabajo "elemental" dW (escalar) producido por la fuerza F (vector) al desplazarse la partícula un desplazamiento infinitesimal dr (vector) era dW=F.dr, que empleando las coordenadas cartesianas de ambos vectores quedaba así: dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz
La cosa se complicaba algo cuando uno empezaba a hablar de componentes contravariantes, las "normales de toda la vida", y las covariantes, que se transformaban de otro modo. Se adoptaba una nomenclatura de índices arriba para las componentes contravariantes e índices abajo para las covariantes. Se podía pasar de una versión a otra subiendo y bajando índices con el tensor métrico y su inverso, y además en los casos sencillos ambas componentes de una y otra versión coincidían. Esto se generalizaba a los tensores. Además se usaba el convenio de sumación de Einstein. Pero no recuerdo haber tratado con las formas diferenciales o los tensores antisimétricos, aunque sí haber recibido demasiado pronto la versión tensorial de las ecuaciones de Maxwell y no saber por dónde me daba el aire.
Más recientemente he leído cosas de formas diferenciales y hay una tendencia a emplear cada vez más ese lenguaje, que algunos consideran más potente. Parece que desde el punto de vista matemático esa mayor potencia se traduce en que todos los teoremas usuales de integrales de línea, superficie y volumen en R3 pueden generalizarse y expresarse concisamente empleando el lenguaje de las formas, y demostrarse válidos aún sin necesidad de métrica. Y en un libro como “Clasical dynamics. A contemporary approach” de José y Saletan, se formula la mecánica clásica introduciendo las variedades diferenciales, el fibrado tangente (formado por vectores) y el fibrado cotangente (formado por 1-formas). La formulación Lagrangiana "actúa" en el fibrado tangente, mientras la Hamiltoniana "actúa" en el fibrado cotangente.
Así pues aunque normalmente podamos vivir sólo con vectores y nuestra regla, en aplicaciones avanzadas conviene poder distinguir vectores y 1-formas. Después de todo no es tan complicado :-).
Si se parte de un espacio vectorial V, a cuyos elementos llamamos vectores, como v, resulta que siempre se puede definir otro espacio vectorial llamado dual del anterior y denotado por V*, a cuyos elementos se les llama 1-formas e, porque son funciones e:V → R que a cada vector v de V le asocian un escalar e(v), de ahí lo de "forma", y el 1- porque sólo hay un vector como argumento. Una 2-forma sería una función bilineal de VxV → R, y antisimétrica respecto al intercambio de los dos factores.
En V puedo elegir una base y expresar cualquier vector v por sus componentes respecto a la misma. A esas componentes se las denomina contravariantes porque varían de cierto modo al cambiar de base.
A partir de cualquier base B de V se puede definir una base dual B* en V* de un modo tal que usando las componentes (v1,...,vn) de v respecto a B, y las (e1,...,en) de e respecto a B*, se pueda poner para todo v de V y todo e de V* que
e(v)=v1 e1+...+vn en
Las componentes (e1,...,en) se denominan covariantes porque varían de otro cierto modo al cambiar de base en V (sí, en V, no V*), modo un tanto contrario o inverso a cómo varían las componentes de v. De ahí la nomenclatura co- y contra- para significar los dos diferentes modos de variar al cambiar de base en V.
El cambio de una base B a otra B' en V lleva aparejado un cambio de la base B* a otra B'* (NO se considera un cambio de base en V* que sea independiente del realizado en V). Precisamente la forma “contraria” con la que cambian los v1,...,vn por un lado y los e1,...,en por otro, es tal que los dos productos dan un mismo escalar:
e(v)=v1 e1+...+vn en=v'1 e'1+...+v'n e'n
pues el valor de la función e sobre el vector v no depende de la base de V empleada.
¡Vaya!, esto es como un producto escalar de vectores pero usando ahora un vector y una 1-forma.
Entonces podría interpretar que dr es un vector infinitesimal, diferencia de dos vectores posición muy próximos, con componentes (dx, dy, dz) respecto de una base cartesiana {i,j,k}, y la fuerza F una 1-forma de componentes (Fx, Fy, Fz) respecto a la base dual {i*,j*,k*}. Su producto es el escalar dW, el trabajo infinitesimal.
Claro que podría ser al revés, F es un vector de componentes (Fx,Fy,Fz) y la 1-forma es dr con componentes (dx, dy, dz), y de nuevo dW un escalar. Al leer sobre formas diferenciales no es raro encontrar que dx es una 1-forma.
Pero también he visto por algún lado que una forma diferencial es algo como ¡dW! A ver si dW no es un escalar sino que es una 1-forma, que al integrar sobre cierto camino me da el trabajo del campo de fuerza, que no es sino la diferencia de la energía potencial (función escalar ) evaluada entre el punto inicial y el final del camino.
En fin, hay varias opciones:
1) F vector, dr vector, dW escalar sacado de F y dr con el producto escalar.
2) F 1-forma, dr vector, dW escalar igual a F(dr)
3) F vector, dr 1-forma, dW escalar igual a dr(F)
4) dW 1-forma, de componentes (Fx,Fy,Fz) respecto a una base B* de V* cuyas 1-formas base son dx, dy y dz, que ellas mismas son 1-formas, no componentes de vectores ni componentes de 1-formas.
No me extraña que Don Koks se quede con la regla y los vectores, y fuera líos, porque si no de las 4 posibilidades ¿cual es la buena?
Me atrevería osadamente a decir, con la regla en la mano, que ... todas.
La 1) es la más clásica y de toda la vida. F y dr son vectores, cogemos un sistema de referencia cartesiano con vectores básicos ortonormales de modo que F=Fx i + Fy j + Fz k, y dr=dx i + dy j+ dz k, y dW es su producto escalar.
La 2) y la 3) pueden valer si usamos la métrica, pues entonces hay una correspondencia unívoca entre los vectores v de V y las 1-formas e de V*: cada vector tiene un alter ego en forma de 1-forma, y viceversa. Esto nos puede fallar si perdemos la métrica, pero teniendo siempre una regla a mano no hay problema.
La 4) si que es un poco más rara, pero puede entenderse si consideramos que aquí dW, dx, dy y dz no indican un escalar, ni un incremento infinitesimal, sino funciones. Concretamente dx es la función que para cada vector v nos da el valor de su primera componente, la que multiplica al vector base i. Este si que es un lío de notación, pues uso signos idénticos para cosas muy diferentes. Incluso podría poner una igualdad como dx(dr)=dx en que la primera dx es una 1-forma, dr es el vector de componentes (dx,dy,dz) y este último dx, que aparece en el segundo miembro de la igualdad, un número indicando la componente x del vector dr.
En este caso para no confundirse habría que expresar las componentes del vector dr de otro modo, por ejemplo como (dr1, dr2, dr3). Entonces dx, dy y dz son 1-formas, y como pueden multiplicarse por escalares y sumarse, pues las 1-formas tienen estructura de espacio vectorial, resulta que
Fx dx + Fy dy + Fz dz
es una 1-forma, que aplicada a dr da precisamente
{Fx dx + Fy dy + Fz dz}(dr)=Fx dx(dr) + Fy dy(dr) + Fz dz(dr) =
Fx dr1 + Fy dr2 + Fz dr3.
Puede decirse que dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz es una 1-forma que representa una fuerza en un punto y permite calcular el trabajo de la misma para cualquier desplazamiento dr pequeño alrededor del mismo. Si la fuerza fuese constante, igual en todo punto, esa forma nos serviría para calcular el trabajo de ese campo de fuerza constante entre dos puntos cualesquiera ra y rb, aplicando dW al vector rb-ra. El trabajo sería pues dW(rb-ra). Este sería un caso de campo conservativo y podríamos ver la situación “al revés”, considerando la función “menos energía potencial” W, que asigna un escalar W(r) a todo punto r.
Resulta que una función escalar W es, por definición, una 0-forma, y su derivada es ... una 1-forma, designada por dW. En este caso la d a la izquierda de W significa “diferencial (o derivada) exterior de”.
Pero hay una sutileza. Al hablar de V y V*, de v y e, y tomar Fx, Fy, Fz como escalares, se adopta un punto de vista local, de un punto concreto ra: los vectores de V y las 1-formas de V* son locales, ligados al punto ra. Cogiendo en cada punto un vector “local” se llega a la idea de campo vectorial. Cogiendo en cada punto una 1-forma “local” se llega a la idea de forma diferencial, que podría ponerse como algo así
dW(r)=Fx(r) dx(r) + Fy(r) dy(r) +Fz(r) dz(r)
Ahora Fx(r), Fy(r) y Fz(r) son tres funciones escalares definidas para cada r, y tanto dW(r) como dx(r), dy(r) y dz(r) son formas diferenciales. Lo normal es ver esto puesto así
dW=Fx(r) dx + Fy(r) dy +Fz(r) dz
mostrando sólo la dependencia de r de las Fx, Fy y Fz. En este caso ya se sobreentiende que por ejemplo dx no es una 1-forma "puntual", sino una forma diferencial, que lleva implícitas una 1-forma dx "local" en cada punto. Las formas diferenciales dx, dy, dz sirven de base para expresar la más general dW usando funciones escalares como coeficientes o componentes en vez de simples escalares sin más.
Por cierto, la forma diferencial dx es la diferencial de la función escalar x. Sí, aquí x más que como variable o valor escalar se entiende como función que a cada punto r le asigna el valor de su primera coordenada. De nuevo podríamos poner algo como x(r)=x donde el significado de la x en cada caso es diferente.
Las formas diferenciales trabajan a escala global, no puntual. Dada una función escalar como la “menos energía potencial” W(r), su diferencial es una forma diferencial que tiene como componentes las derivadas parciales (denotando la parcial respecto a x por ",x"):
W,x(r)=Fx(r) ; W,y(r)=Fy(r) ; W,z(r)=Fz(r).
Es decir
dW(r)=W,x(r) dx + W,y(r) dy +W,z(r) dz
como nos decía el análisis de siempre aunque sin llamar a dx forma diferencial.
La claridad de todo lo referido a tensores, formas diferenciales y demás se puede palpar en el artículo de la wikipedia inglesa sobre covariancia y contravariancia de vectores, y en su página de discusión.
Saber si la fuerza es un vector o una 1-forma no lo sabremos, pero es seguro que para alcanzar el conocimiento nos deberá acompañar. Mucho.
Las 1-formas no son absolutamente necesarias en física, e insistir en su uso cuando esta presente una métrica puede dar lugar a problemas de interpretación. Un ejemplo es el del cálculo del trabajo infinitesimal dW realizado por una fuerza F que acelera una masa m a lo largo de un desplazamiento infinitesimal dr. Escrito como dW=F.dr, a veces se interpreta que la fuerza es una 1-forma que se combina con, o actua sobre, el vector dr para producir el escalar dW. Pero entonces, como Newton nos dice que F=ma, y la aceleración es un vector (derivado del vector dr), podemos concluir que la fuerza es un vector. De modo que la fuerza ¿es un vector o una 1-forma?
Para nosotros la pregunta no surge, pues siempre tomamos el punto de vista pragmático de que existe una métrica, y sólo hay vectores. Al fin y al cabo, ¡todo laboratorio tiene al menos una regla! Los físicos miden cosas, de modo que la métrica es un lugar natural donde empezar. Además, eventualmente siempre se introduce una métrica en cualquier libro de texto sobre teoría tensorial en física, y esta métrica tiene entonces el efecto de hacer la idea de 1-formas superflua.
Esto en esencia coincide con lo que recuerdo de mis lejanos tiempos de estudiante. No recuerdo haber oído hablar de 1-formas, al menos con ese nombre, pero sí de vectores y tensores. En general todas esas cosas con pinta de magnitud dirigida y semejantes a flechas, eran vectores. El trabajo era un escalar, el producto escalar de dos vectores, vector fuerza y vector desplazamiento, multiplicando sus magnitudes por el coseno del angulo que forman.
El trabajo "elemental" dW (escalar) producido por la fuerza F (vector) al desplazarse la partícula un desplazamiento infinitesimal dr (vector) era dW=F.dr, que empleando las coordenadas cartesianas de ambos vectores quedaba así: dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz
La cosa se complicaba algo cuando uno empezaba a hablar de componentes contravariantes, las "normales de toda la vida", y las covariantes, que se transformaban de otro modo. Se adoptaba una nomenclatura de índices arriba para las componentes contravariantes e índices abajo para las covariantes. Se podía pasar de una versión a otra subiendo y bajando índices con el tensor métrico y su inverso, y además en los casos sencillos ambas componentes de una y otra versión coincidían. Esto se generalizaba a los tensores. Además se usaba el convenio de sumación de Einstein. Pero no recuerdo haber tratado con las formas diferenciales o los tensores antisimétricos, aunque sí haber recibido demasiado pronto la versión tensorial de las ecuaciones de Maxwell y no saber por dónde me daba el aire.
Más recientemente he leído cosas de formas diferenciales y hay una tendencia a emplear cada vez más ese lenguaje, que algunos consideran más potente. Parece que desde el punto de vista matemático esa mayor potencia se traduce en que todos los teoremas usuales de integrales de línea, superficie y volumen en R3 pueden generalizarse y expresarse concisamente empleando el lenguaje de las formas, y demostrarse válidos aún sin necesidad de métrica. Y en un libro como “Clasical dynamics. A contemporary approach” de José y Saletan, se formula la mecánica clásica introduciendo las variedades diferenciales, el fibrado tangente (formado por vectores) y el fibrado cotangente (formado por 1-formas). La formulación Lagrangiana "actúa" en el fibrado tangente, mientras la Hamiltoniana "actúa" en el fibrado cotangente.
Así pues aunque normalmente podamos vivir sólo con vectores y nuestra regla, en aplicaciones avanzadas conviene poder distinguir vectores y 1-formas. Después de todo no es tan complicado :-).
Si se parte de un espacio vectorial V, a cuyos elementos llamamos vectores, como v, resulta que siempre se puede definir otro espacio vectorial llamado dual del anterior y denotado por V*, a cuyos elementos se les llama 1-formas e, porque son funciones e:V → R que a cada vector v de V le asocian un escalar e(v), de ahí lo de "forma", y el 1- porque sólo hay un vector como argumento. Una 2-forma sería una función bilineal de VxV → R, y antisimétrica respecto al intercambio de los dos factores.
En V puedo elegir una base y expresar cualquier vector v por sus componentes respecto a la misma. A esas componentes se las denomina contravariantes porque varían de cierto modo al cambiar de base.
A partir de cualquier base B de V se puede definir una base dual B* en V* de un modo tal que usando las componentes (v1,...,vn) de v respecto a B, y las (e1,...,en) de e respecto a B*, se pueda poner para todo v de V y todo e de V* que
e(v)=v1 e1+...+vn en
Las componentes (e1,...,en) se denominan covariantes porque varían de otro cierto modo al cambiar de base en V (sí, en V, no V*), modo un tanto contrario o inverso a cómo varían las componentes de v. De ahí la nomenclatura co- y contra- para significar los dos diferentes modos de variar al cambiar de base en V.
El cambio de una base B a otra B' en V lleva aparejado un cambio de la base B* a otra B'* (NO se considera un cambio de base en V* que sea independiente del realizado en V). Precisamente la forma “contraria” con la que cambian los v1,...,vn por un lado y los e1,...,en por otro, es tal que los dos productos dan un mismo escalar:
e(v)=v1 e1+...+vn en=v'1 e'1+...+v'n e'n
pues el valor de la función e sobre el vector v no depende de la base de V empleada.
¡Vaya!, esto es como un producto escalar de vectores pero usando ahora un vector y una 1-forma.
Entonces podría interpretar que dr es un vector infinitesimal, diferencia de dos vectores posición muy próximos, con componentes (dx, dy, dz) respecto de una base cartesiana {i,j,k}, y la fuerza F una 1-forma de componentes (Fx, Fy, Fz) respecto a la base dual {i*,j*,k*}. Su producto es el escalar dW, el trabajo infinitesimal.
Claro que podría ser al revés, F es un vector de componentes (Fx,Fy,Fz) y la 1-forma es dr con componentes (dx, dy, dz), y de nuevo dW un escalar. Al leer sobre formas diferenciales no es raro encontrar que dx es una 1-forma.
Pero también he visto por algún lado que una forma diferencial es algo como ¡dW! A ver si dW no es un escalar sino que es una 1-forma, que al integrar sobre cierto camino me da el trabajo del campo de fuerza, que no es sino la diferencia de la energía potencial (función escalar ) evaluada entre el punto inicial y el final del camino.
En fin, hay varias opciones:
1) F vector, dr vector, dW escalar sacado de F y dr con el producto escalar.
2) F 1-forma, dr vector, dW escalar igual a F(dr)
3) F vector, dr 1-forma, dW escalar igual a dr(F)
4) dW 1-forma, de componentes (Fx,Fy,Fz) respecto a una base B* de V* cuyas 1-formas base son dx, dy y dz, que ellas mismas son 1-formas, no componentes de vectores ni componentes de 1-formas.
No me extraña que Don Koks se quede con la regla y los vectores, y fuera líos, porque si no de las 4 posibilidades ¿cual es la buena?
Me atrevería osadamente a decir, con la regla en la mano, que ... todas.
La 1) es la más clásica y de toda la vida. F y dr son vectores, cogemos un sistema de referencia cartesiano con vectores básicos ortonormales de modo que F=Fx i + Fy j + Fz k, y dr=dx i + dy j+ dz k, y dW es su producto escalar.
La 2) y la 3) pueden valer si usamos la métrica, pues entonces hay una correspondencia unívoca entre los vectores v de V y las 1-formas e de V*: cada vector tiene un alter ego en forma de 1-forma, y viceversa. Esto nos puede fallar si perdemos la métrica, pero teniendo siempre una regla a mano no hay problema.
La 4) si que es un poco más rara, pero puede entenderse si consideramos que aquí dW, dx, dy y dz no indican un escalar, ni un incremento infinitesimal, sino funciones. Concretamente dx es la función que para cada vector v nos da el valor de su primera componente, la que multiplica al vector base i. Este si que es un lío de notación, pues uso signos idénticos para cosas muy diferentes. Incluso podría poner una igualdad como dx(dr)=dx en que la primera dx es una 1-forma, dr es el vector de componentes (dx,dy,dz) y este último dx, que aparece en el segundo miembro de la igualdad, un número indicando la componente x del vector dr.
En este caso para no confundirse habría que expresar las componentes del vector dr de otro modo, por ejemplo como (dr1, dr2, dr3). Entonces dx, dy y dz son 1-formas, y como pueden multiplicarse por escalares y sumarse, pues las 1-formas tienen estructura de espacio vectorial, resulta que
Fx dx + Fy dy + Fz dz
es una 1-forma, que aplicada a dr da precisamente
{Fx dx + Fy dy + Fz dz}(dr)=Fx dx(dr) + Fy dy(dr) + Fz dz(dr) =
Fx dr1 + Fy dr2 + Fz dr3.
Puede decirse que dW=Fx dx + Fy dy + Fz dz es una 1-forma que representa una fuerza en un punto y permite calcular el trabajo de la misma para cualquier desplazamiento dr pequeño alrededor del mismo. Si la fuerza fuese constante, igual en todo punto, esa forma nos serviría para calcular el trabajo de ese campo de fuerza constante entre dos puntos cualesquiera ra y rb, aplicando dW al vector rb-ra. El trabajo sería pues dW(rb-ra). Este sería un caso de campo conservativo y podríamos ver la situación “al revés”, considerando la función “menos energía potencial” W, que asigna un escalar W(r) a todo punto r.
Resulta que una función escalar W es, por definición, una 0-forma, y su derivada es ... una 1-forma, designada por dW. En este caso la d a la izquierda de W significa “diferencial (o derivada) exterior de”.
Pero hay una sutileza. Al hablar de V y V*, de v y e, y tomar Fx, Fy, Fz como escalares, se adopta un punto de vista local, de un punto concreto ra: los vectores de V y las 1-formas de V* son locales, ligados al punto ra. Cogiendo en cada punto un vector “local” se llega a la idea de campo vectorial. Cogiendo en cada punto una 1-forma “local” se llega a la idea de forma diferencial, que podría ponerse como algo así
dW(r)=Fx(r) dx(r) + Fy(r) dy(r) +Fz(r) dz(r)
Ahora Fx(r), Fy(r) y Fz(r) son tres funciones escalares definidas para cada r, y tanto dW(r) como dx(r), dy(r) y dz(r) son formas diferenciales. Lo normal es ver esto puesto así
dW=Fx(r) dx + Fy(r) dy +Fz(r) dz
mostrando sólo la dependencia de r de las Fx, Fy y Fz. En este caso ya se sobreentiende que por ejemplo dx no es una 1-forma "puntual", sino una forma diferencial, que lleva implícitas una 1-forma dx "local" en cada punto. Las formas diferenciales dx, dy, dz sirven de base para expresar la más general dW usando funciones escalares como coeficientes o componentes en vez de simples escalares sin más.
Por cierto, la forma diferencial dx es la diferencial de la función escalar x. Sí, aquí x más que como variable o valor escalar se entiende como función que a cada punto r le asigna el valor de su primera coordenada. De nuevo podríamos poner algo como x(r)=x donde el significado de la x en cada caso es diferente.
Las formas diferenciales trabajan a escala global, no puntual. Dada una función escalar como la “menos energía potencial” W(r), su diferencial es una forma diferencial que tiene como componentes las derivadas parciales (denotando la parcial respecto a x por ",x"):
W,x(r)=Fx(r) ; W,y(r)=Fy(r) ; W,z(r)=Fz(r).
Es decir
dW(r)=W,x(r) dx + W,y(r) dy +W,z(r) dz
como nos decía el análisis de siempre aunque sin llamar a dx forma diferencial.
La claridad de todo lo referido a tensores, formas diferenciales y demás se puede palpar en el artículo de la wikipedia inglesa sobre covariancia y contravariancia de vectores, y en su página de discusión.
Saber si la fuerza es un vector o una 1-forma no lo sabremos, pero es seguro que para alcanzar el conocimiento nos deberá acompañar. Mucho.
lunes, 28 de julio de 2008
lecturas de verano
Aprovechando las vacaciones estivales en la aventada playa de la Barrosa, he leído un par de novelas recomendables.
"El asombroso viaje de Pomponio Flato", de Eduardo Mendoza, es de lectura ligera y agradable, tanto por la corta extensión del libro como por el humor que rezuman las peripecias poco detectivescas del romano Pomponio, contratado por el niño Jesús para exculpar a su padre José de la acusación de asesinato. La única pega a tal brevedad es que dura a lo sumo un día de vacaciones.
Algo más extenso y con más enjundia es "La elegancia del erizo" de Muriel Barbery. Una incursión en la especificidad individual llevada en secreto y los problemas que ello comporta en el día a día del trato social con los demás y en el sentido de la vida. Las dos protagonistas a las que escuchamos alternativamente son una portera de inmueble de ricos, y una adolescente despierta y reflexiva, ambas ocultas en su verdadero yo a los ojos ajenos. Claro que siempre hay alguien que puede descubrir la tapadera.
Si las vacaciones se prolongan tras acabar un par de novelas como las anteriores, siempre se puede recurrir a libros que no se acaban, de lectura no tan ligera aunque puedan resultar también interesantes, como "Synchronization. A universal concept in nonlinear sciences". La primera parte, con descripciones cualitativas y gran número de figuras, es "asequible".
En esencia se presenta la idea de oscilador autosostenido, la caracterización de su frecuencia y fase, y el hecho de que ambas pueden ser "atrapadas" y fijadas por el ritmo que marque una fuerza periódica externa u otro oscilador semejante que interactúe con el primero.
Precisamente el primer ejemplo de este fenómeno es el descubriminto por Huygens de la sincronización de dos relojes de péndulo colgados de dos vigas apoyadas en un soporte común.
En un apéndice del libro se incluye un extracto de una carta de Christiaan Huygens a su padre refiriendo su hallazgo, y otro con sus observaciones y experimentos para dar con la causa del fenómeno:
Mientras me vi obligado a guardar cama por unos días hice observaciones de mis nuevos relojes y me percaté de un maravilloso fenómeno que nadie hubiera imaginado. Los dos relojes, colgados uno al lado del otro a una distancia entre uno y dos pies, mantenían su marcha acompasada con una precisión tan grande que los dos péndulos oscilaban siempre a la vez. Mientras me admiraba de esto, al final encontré que ello ocurría por una especie de simpatía: cuando les hacía mover a distinta marcha, al cabo de una media hora siempre volvían a sincronizarse y mantenerse así mientras yo no interviniese.En efecto Huygens dedujo que la simpatía se debía a la interacción de ambos relojes a través del soporte común que compartían, cuyo movimiento era imperceptible. Que tal diminuta interacción permitiera la sincronización era posible por la gran proximidad de las frecuencias características de cada uno de los relojes.
...
Nunca antes han podido otros relojes hacer algo semejante como los de mi nueva invención, y de esto puede uno ver lo precisos que son, pues algo tan pequeño basta para mantenerlos en eterno acuerdo.
El libro explica que la sincronización depende de dos factores principales: la intensidad de la interacción entre osciladores (o de la fuerza externa aplicada), y la diferencia de frecuencias (detuning). Para una interacción dada, la sincronización se pierde si las frecuencias "naturales" de cada oscilador son demasiado diferentes. Las explicaciones se van complicando al tratar factores adicionales como la presencia de ruido, o los sistemas caóticos. Y en el camino nos encontramos con un exponente de Lyapunov nulo, con lenguas de Arnold y con escaleras del diablo.
Todo ello explicado con numerosos ejemplos de la física, la biología o la química, pero sin matemáticas, en las primeras 170 páginas (la parte "asequible"), y con detalle matemático a continuación. Entonces ya es mejor refrescar los conceptos sobre sistemas dinámicos no lineales, y dejarlo para después de las vacaciones.
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