Como alternativa a la fotografía, vamos a calcular la posición del Sol a una misma hora de cada día, eligiendo una especialmente adecuada, las 12h de un buen reloj ajustado a la hora local de nuestro meridiano.
La posición del Sol a esa hora puede determinarse por dos coordenadas angulares. Una es lo que se denomina ángulo horario, que en nuestro caso coincide con la EDT expresada como ángulo en vez de en minutos de tiempo (recordando que 24h corresponden a 360º). Ese ángulo es la separación, en ascensión recta, entre el Sol verdadero y nuestro meridiano local, pues justo a las 12h de reloj en ese meridiano culmina el Sol Ecuatorial Medio, ECUA. La otra coordenada necesaria es la declinación del Sol.
Mostramos aquí de nuevo la Figura 2 de la citada entrada, copiando la explicación de la misma
- A es nuestro origen de medida de arcos en el sistema equinoccial, el punto de Aries.
- AB es un arco sobre la eclíptica, cuya magnitud λ da la longitud eclíptica del punto B.
- AC es un arco sobre el ecuador, cuya magnitud α da la ascensión recta del punto B, igual a la del punto C, que es la proyección de B sobre el ecuador, dado que el arco BC es parte de un meridiano celeste.
- Los lados AB y AC forman un ángulo ε igual a la inclinación (u oblicuidad) de la eclíptica.
Podemos añadir ahora que la declinación δ del punto B es el ángulo correspondiente al arco BC. En nuestro caso el punto B es el ocupado por el Sol, y la posición de este se fija inequívocamente con las dos coordenadas α, ascensión recta, y δ, declinación.
La trigonometría esférica nos proporcionaba, como se vió, una relación entre α y λ :
Pues bien, también nos ofrece esta otra relación entre δ y λ:
De modo que a los cálculos para obtener EDT, que nos daban α, les añadimos una función más para calcular δ en función de λ, que dependía a su vez del tiempo, y tenemos las dos coordenadas del Sol para cada día del año, a las 12h local, lo que nos lleva a la siguiente gráfica del Analema.
Esta típica figura de 8 desigual corresponde al analema visto desde un lugar en el ecuador terrestre. Nos podemos imaginar tumbados allí, en el suelo plano, boca arriba, con la cabeza hacia el Norte, los pies hacia el Sur, el brazo derecho extendido hacia el Oeste, el brazo izquierdo extendido hacia el Este, divididos imaginariamente en dos mitades por la línea meridiana que corre de Norte a Sur. Sobre nosotros el cenit corresponde justamente al origen de coordenadas (0,0) en la gráfica anterior. En el eje de abscisas se representa el ángulo horario del Sol, antes mencionado. Respecto a la Tierra, la esfera celeste va de Este a Oeste. Si a las 12h de buen reloj local el Sol está al Oeste del meridiano, es que ya ha culminado, su hora solar verdadera es mayor de las 12h, y EDT es positiva. Cuando el Sol se sitúa al Este es cuando la EDT (y la abscisa en la gráfica) es negativa. En cuanto a la declinación, mostrada en el eje de ordenadas, se toma como positiva hacia el Norte y como negativa hacia el Sur.
Si en vez de estar en el ecuador imaginamos que nos deslizamos sobre el meridiano hacia el Norte hasta una latitud de 40º, el origen (0,0) se nos habrá movido respecto a nuestro nuevo cenit justo 40º hacia el Sur. Si quisieramos poner las coordenadas referidas al nuevo cenit, deberíamos cambiar los valores del eje de ordenadas. El punto de cruce del 8 del analema está en el ecuador a unos 9º al norte del cenit. En la latitud de 40º Norte, ese mismo punto estará a 31º al Sur del cenit de esa latitud, o a 59º sobre el horizonte Sur. En la latitud de 40º Sur, ese punto estaría a 49º al norte del cenit, o 41º sobre el horizonte Norte. Esto nos podría ayudar a estimar la latitud a partir de una fotografía de un analema.
Pero en las fotografías el analema suele salir inclinado respecto al horizonte, no perpendicular como es el caso mostrado en la gráfica. La "culpa" es dos dos factores. Por un lado las fotos suelen hacerse en latitudes medias septentrionales. Además se han tomado por lo general a horas tempranas o tardías, no a las 12h hora local. Eso facilita que el analema esté cerca del horizonte y salga en la foto junto a algún rasgo del paisaje.
El analema puede considerarse una figura "adherida" a la esfera celeste. El Sol se desliza por ella a lo largo del año, pero además cada día la rotación terrestre hace dar vueltas al analema desde el Este al Oeste por el cielo visible, y del Oeste al Este bajo el horizonte.
¿Cómo se vería el analema en una latitud de 40º Norte a lo largo de un día? Nuestra amiga la trigonometría esférica nos permite pasar de unas coordenas ecuatoriales, como la declinación y ángulo horario, a las llamadas coordenadas horizontales, que nos situan un punto respecto al terreno con dos coordenadas angulares: la distancia o ángulo cenital y el azimut. En lugar de la distancia cenital puede usarse la altura sobre el horizonte.
En las dos gráficas siguientes se muestra el analema cada hora del día para una latitud 40ºN y luego para otra 40º Sur. En el eje de abscisas se usa un azimut particular en cada caso, midiendo desde el Sur en la latitud Norte, y desde el Norte en la latitud Sur, para que el origen 0 de azimut corresponda a la hora del mediodía medio, las 12h de reloj local. Desde ese origen, en ambas gráficas los valores positivos de azimut corresponden a ir al Oeste (y a horas despues de las 12h), y los valores negativos de azimut a ir hacia el Este (y a horas antes de las 12h). En el eje de ordenadas se ha preferido, en vez de la distancia cenital, representar la altura sobre el horizonte, siendo éste el origen 0, con valores positivos para el hemisferio visible, y valores negativos para el hemisferio oculto bajo el horizonte.
Aunque estas gráficas dan una idea del aspecto del analema a cada una de las 24 horas del día, son representaciones cartesianas de dos coordenadas esféricas, que habría que deformar para "pegarlas" sobre la esfera celeste o colocarlas sobre una fotografía. Las coordenadas esféricas son especialmente malas cerca de los puntos singulares. Para las coordenadas horizontales (distancia cenital o altura y azimut) los puntos singulares son el cenit y el nadir, a una altura sobre el horizonte de +90 y -90º respectivamente, pero con azimut indeterminado, pues en la inmediata proximidad de ambos puntos hay otros con cualquier valor de azimut que queramos. Este "mal comportamiento" se ve de forma espectacular al representar la gráfica del mismo tipo que las dos anteriores, pero para el ecuador.
En la primera gráfica de esta entrada el analema se representaba en unas coordenadas ecuatoriales cuyos puntos singulares son los polos, pero que se portan muy bien cerca del cenit. Sin embargo en esta última gráfica la figura del analema a las 12h es casi irreconocible, pues está en las proximidades del cenit, punto singular para las coordenadas horizontales. Sin embargo lo que se visualiza muy bien aquí es que la salida y la puesta del analema sobre el horizonte es perpendicular al mismo. En el ecuador el eje de giro terrestre es paralelo a la línea meridiana, y todos los objetos celestes ascienden rectos (perpendiculares) sobre el horizonte al Este, describen un semicirculo y se ponen por el horizonte al Oeste, formando también un ángulo recto con él. En esa latitud a la esfera celeste se le denomina esfera recta. Precisamente la ascensión recta se mide sobre esos circulos en que los astros dan vueltas, perpendiculares al horizonte ecuatorial.
