Cualquier tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia.
A los efectos prácticos de cualquier usuario de navegador parlanchín que nos manda girar a izquierda o derecha, que ese cacharro sepa dónde estamos y por dónde ir es asimilable a la magia.
¿Qué "magia" usa el navegador o el móvil o cualquier dispositivo con GPS para saber dónde está?
Aunque llamamos a menudo "el gepeese" a los cacharritos que nos indican dónde estamos, realmente GPS hace referencia al Sistema de Posicionamiento Global, propiedad del ejército USA. Los soviéticos dieron la réplica con su GLONASS, y la Unión Europea anda tras una versión propia y civil, Galileo, al que citaba en noticias del espacio. También China está poniendo en marcha su propio sistema Compass.
Todos esos sistemas se engloban bajo unas siglas, GNSS, Sistemas de Navegación Global por Satélite. Permiten determinar (para ayudar en la Navegación) la posición y velocidad de un receptor, en cualquier parte de la Tierra (por eso lo de Global), con la ayuda de una constelación de Satélites. Para conseguirlo se hace uso no de una, sino de muchas, muchas magias acumuladas por los hechiceros científicos a lo largo de los siglos.
La magia más esencial y poderosa, que sustenta al resto de magias, es la Matemática. Por ejemplo, la geometría de un espacio euclídeo tridimensional nos permite resolver el problema siguiente: Dados tres puntos distintos S1, S2 y S3 no colineales, determinar el punto R tal que su distancia a S1 es D1, a S2 es D2 y a S3 es D3. Basta considerar las esferas centradas en cada punto Si, de radios dados por las distancias Di, y en su intersección común, de existir, se encontrará R. Por la simetría de las 3 esferas consideradas respecto al plano determinado por sus 3 centros, si hay una solución a un lado del plano, habrá otra "reflejada", y si la solución resulta estar en ese plano, será única.
Nuestros modernos cacharros electrónicos no saben hacer construcciones geométricas, pero se les da de maravilla operar con números. Un gran paso en la historia de las Matemáticas fue el desarrollo de la geometría analítica. Las construcciones geométricas se convierten en ecuaciones algebraicas, y la solución concreta de encontrar las 3 coordenadas cartesianas de R dadas las 9 de S1, S2 y S3, y las tres distancias D1, D2, D3, implica resolver 3 ecuaciones (de segundo grado) con 3 incógnitas.
(Rx-Six)2+(Ry-Siy)2+(Rz-Siz)2 = Di2 (i=1,2,3)
Ya podemos usar los rápidos calculistas electrónicos, cada vez más chicos y poderosos gracias a las magias cuánticas y lógicas, para resolver las ecuaciones.
Pero antes de resolver las ecuaciones y despejar las incógnitas, hay que obtener los datos, ¡y esa es la parte más difícil! Esos 3 puntos S1, S2 y S3 no colineales van a ser 3 satélites, no 3 puntos fijos. La razón para usar una constelación de satélites esta en la G de GPS, que allá donde vayamos sobre la Tierra y sus inmediaciones aéreas, encontremos los puntos de referencia necesarios, sobre nuestras cabezas. Resulta que con unos 24 a 30 satélites bien repartidos hacemos el apaño.
Mediante las magias correspondientes, largas de enumerar, se construyen y lanzan los satélites, y se les "sigue" estrechamente para saber no sólo dónde están sino por dónde van a estar, decírselo a los propios satélites, y que estos a su vez se lo digan a todo receptor que quiera y pueda entenderlos. Un satélite de un sistema GNSS en esencia va emitiendo continuamente una información como "soy satelifulanito de tal, ahora que son las tantas estoy justo en tales coordenadas".
Bueno, si soy el punto R del problema geométrico y a la vez un Receptor que entiende las señales del satélite S1, del S2 y del S3, podría en un instante dado tener los datos de las 9 coordenadas de los 3 puntos que ocupaban los satélites cuando salieron los 3 mensajes que me llegan a la vez. Solo me hace falta obtener la distancia a cada uno de esos 3 puntos.
Aquí la geometría recibe una ayuda de la física, que le dice "esa información desde el satélite llega al receptor por una onda electromagnética que viaja a la velocidad de la luz, c=299.792.458 m/s". Como el espacio recorrido es igual a la velocidad por el intervalo de tiempo empleado, y en el mensaje desde el satélite me dan "la hora" en que estaba en "esas coordenadas", miro el momento en que me ha llegado el mensaje (más tarde que cuando salió del satélite), hago la diferencia entre tiempo de salida y tiempo de llegada, multiplico por c, y ya tengo (repitiendo el proceso para cada satélite) D1, D2, D3, y a resolver las ecuaciones.
Llegados a este punto nos damos de bruces con un problemilla. Dar con la distancia entre S1 y R implica restar tiempos, medidos por diferentes relojes. S1 y R cada uno tiene su reloj. Si ambos estuviesen marcando exactamente la hora en perfecta sincronía, nada que objetar. Los relojes que van en los satélites son de lo mejorcito, relojes atómicos de Cesio o de Rubidio, varios en cada satélite por redundancia. Pero el reloj de un receptor, sin ánimo de ofender, no les llega a las suelas de los zapatos.
¿Entonces? Imaginemos un caso aproximadamente real. El satélite S1 está sobre la cabeza de nuestro receptor R a 20.100km de altura, y pasa por allí a las 12h 0minutos 0segundos 0 microsegundos mandando su mensaje, que le llega a R cuando por el reloj de R han pasado 66 milisegundos de las 12h en punto. Redondeando c=300.000km/s, la distancia estimada por R será 0,066.c = 19.800km. Por llevar el reloj adelantado 1 milisegundo (marca 66 cuando son 67), R comete un error en su estimación de la distancia a S1 de 300km. Incluso un adelanto tan pequeño como 10 microsegundos en el reloj de R implicaría un error en D1 de 3 km.
La conclusión es que R no puede estimar directamente la distancia verdadera a un satélite, D, pero sí una pseudodistancia pseudoD, que encierra una discrepancia c. deltaR respecto a la verdadera por culpa del adelanto (deltaR > 0) o atraso (deltaR < 0) de su reloj.
La nueva incógnita deltaR es desconocida pero la misma para cualquier distancia a diferentes satélites. Una nueva incógnita requiere, para resolver el sistema de ecuaciones, una nueva ecuación, que se obtiene fácilmente si además de los satélites S1, S2 y S3 interviene un cuarto satélite S4 favorablemente situado. El nuevo sistema de ecuaciones a resolver es
(Rx-Six)2+(Ry-Siy)2+(Rz-Siz)2 = (c . deltaR)2 + pseudoDi2 (i=1,2,3,4)
En el ejemplo de antes, uno de los datos obtenidos por R sería que pseudoD1=19.800km. Al resolver el sistema con las otras 3 pseudodistancias y las posiciones de los 4 satélites, debería obtenerse la posición de R y que deltaR es aproximadamente 1 milisegundo de adelanto sobre el tiempo verdadero.
En esencia así se obtiene la posición de R. Aunque nunca es tan fácil. En la vida real todo es fuente de error. Las posiciones de los satélites no se conocen con total exactitud. Las ondas electromagnéticas que llevan información del satélite al receptor pasan por la ionosfera y la estratosfera, donde su velocidad varía según las condiciones ambientales. Las características de esa señal se ven influidas además por el movimiento tanto del satélite como del receptor, con el efecto Doppler cambiando frecuencias. También hay que contar con los efectos relativistas. Y con el ruido y demoras en los circuitos electrónicos. Incluso los avanzados relojes atómicos de los satélites tienen sus errores.
Ante tanta "fuente de error", la Física y la Matemática contraatacan modelizando esas fuentes y sus "errores". En general se sigue una estrategia como la anterior cuando se ampliaban las ecuaciones de 3 a 4, con una nueva incógnita. Cada fuente de variabilidad adecuadamente modelizada conlleva una serie de nuevos parámetros con valores desconocidos pero que se pueden estimar incorporando nuevas ecuaciones. Cuanto más datos y más ecuaciones, más se mejoran las estimaciones de los parámetros de los modelos, y más se reducen los errores.
La resolución de ecuaciones y estimación de parámetros es un asunto denso y un tanto aburrido, no toda la magia es igual de atrayente. Pero hay números de magia especialmente sorprendentes, como el que hace cada Satelifulanito para decir quién es y, el más difícil todavía, con el que un Receptor avispado le escucha e identifica incluso en medio de un ensordecedor ruido. Es ... la magia del PRN.
