- 1 → 1; 2 → 2; 3 → 3 , la identidad Id : (1)(2)(3)
- 1 → 2; 2 → 1; 3 → 3 : (12)(3)
- 1 → 1; 2 → 3; 3 → 2 : (1)(23)
- 1 → 3; 2 → 2; 3 → 1 : (13)(2)
- 1 → 2; 2 → 3; 3 → 1 : (123)
- 1 → 3; 2 → 1; 3 → 2 : (321)
La representación directa con flechas se suele sustituir por otras dos notaciones estándar. Una opción es usar dos filas encerradas entre paréntesis; en la fila superior se colocan ordenados los elementos origen (en nuestro caso 1, 2 y 3) y en la fila inferior, justo debajo de cada uno de los anteriores, su imagen por la permutación.
Otra opción es usar la notación de ciclos, parecida a la indicada arriba, empleando una sola fila y agrupando entre paréntesis los elementos relacionados cíclicamente. En el ejemplo de la segunda fila (12) indica el ciclo 1 → 2 y 2 → 1. En la práctica se omiten los paréntesis con un único elemento, como (3) para representar 3 → 3, que se dan por supuestos. La base de esta notación es que toda permutación puede expresarse como producto de ciclos. En nuestro ejemplo tan sencillo con las 6 permutaciones usaremos esa notación de ciclos y también unas letras casi arbitrarias ( e es la letra fetén para designar al elemento neutro), como sigue :
e = Id
a = (12)
b = (23)
c = (31)
f = (123)
g = (321)
Hay que tener en cuenta que (123) y (231) y (312) representan exactamente lo mismo, la permutación que designamos por f, o en la notación explícita de arriba por
1 → 2; 2 → 3; 3 → 1
Es cuestión de imaginar flechas desde cada elemento al siguiente, y desde el último hasta el primero, para completar el ciclo.
Mientras que el conjunto X de partida, de 3 elementos, tenía un nombre arbitrario, al conjunto de sus permutaciones se le designa mediante S3. En general Sn es el grupo de permutaciones,o grupo simétrico, sobre un conjunto de n elementos. Ya se vé como crece la cosa, partimos de X con 3 elementos y sacamos S3 que tiene 6 elementos. En general, Sn tiene n! elementos.
Además mientras que los elementos de X son "cosas" amorfas, los de Sn son aplicaciones biyectivas, que pueden componerse, y con la operación de "composición de aplicaciones" resulta que Sn tiene estructura de grupo. ¡Y qué grupo!, pues como demostró Cayley, todo grupo finito G es isomorfo a un subgrupo de Sn , con n el orden (número de elementos) de G.
La composición o producto de los elementos de S3 se expresa comodamente mediante la tabla de Cayley
Por ejemplo, la composición de aplicaciones de hacer primero la (31) y después la (23) se designa por (23)º(31), o simplemente por (23)(31), y es igual a (123). Los colores de la figura indican la forma de encontrar el producto, buscando el primer factor (el de la derecha) en la fila superior, el segundo factor (el de la izquierda) en la columna de la izquierda, y mirando la celda de cruce de la columna del primer factor y la fila del segundo.
Esa tabla de multiplicación es la que determina la particular estructura algebraica de grupo de S3. Se obtiene de un caso concreto, el estudio de las permutaciones de un conjunto de tres elementos. Pero desde un punto de vista abstracto, esa tabla puede escribirse con símbolos cualesquiera, sin un significado intrínseco, idea que se recoge en la figura de más abajo.
¿Es el grupo S3 "simple", o puede verse de alguna forma como compuesto? La respuesta la da el concepto de subgrupo normal N de un grupo G, aquel subconjunto no trivial de G que conserva la estructura de grupo y que en cierto modo permite obtener un grupo cociente G/N.
En el caso de S3 podemos encontrar, aparte de los triviales {e} y {e,a,b,c,f,g}, los 4 subgrupos no triviales siguientes: {e,a}, {e,b}, {e,c}, {e,f,g}.
Resulta que el único subgrupo normal es el último, N={e,f,g}, que es isomorfo al grupo cíclico C3. El grupo cociente S3/N es isomorfo al grupo cíclico C2. De modo que podriamos poner
S3/C3 ≈ C2
que gráficamente puede expresarse con las tablas de Cayley así
Los elementos e,f, y g del subgrupo normal (de color naranja en la figura), al multiplicarse entre ellos dan siempre otro elemento del mismo subgrupo: hacen como conjunto o clase el papel de elemento neutro. Los tres elementos restantes de S3, a,b y c (de color amarillo en la figura), hacen el papel del elemento inversión de C2, pues al multiplicarse entre sí dan un elemento de N, y al multiplicarse por un elemento de N dan otro elemento de {a,b,c}. Es decir, S3 se particiona en dos clases disjuntas E = {e,f,g} e I = {a,b,c}, sobre las que se puede definir la operación de grupo a partir de la tabla de S3, dando lugar a una tabla como la de C2:
{E,I} ≈ C2.
Esto es el grupo cociente G/N: sus elementos son clases de equivalencia en que N particiona a G, y en las que surge una estructura de grupo directamente a partir de la que tiene G. La clase de equivalencia que tiene el papel de elemento neutro es la constituida por el propio subgrupo normal N.
A un grupo normal también se le llama invariante, y esta es una faceta muy penetrante del significado de grupo normal. ¿Invariante respecto a qué? Repecto a todas las conjugaciones del grupo, que son las que encarnan la simetría de la ley de grupo. Una conjugación, o automorfismo interior, de G es una aplicación biyectiva τu : G → G de la forma
τu(v) = u v u-1
que preserva la ley de grupo, pues τu(v w) = u v w u-1 = u v u-1 u w u-1 = τu(v) τu(w).
En los grupos abelianos la única conjugación existente es la identidad, y todo subgrupo es invariante, es decir, normal. En este caso la "normalidad" es la norma, multiplicar por la izquierda es lo mismo que multiplicar por la derecha, el orden de los factores no altera el producto.
En el caso de los grupos no abelianos, la falta de conmutatitividad hace diferente izquierda y derecha e importante el orden de los factores, pero no obstante puede subyacer cierta simetría, plasmada en el conjunto de conjugaciones, que permita recuperar en ciertos casos la "normalidad" a pesar de la "no conmutatividad".
Enumeremos las conjugaciones en el caso del grupo S3 dando las imagenes de los elementos e,a,b,c,f y g en este orden:
τe : e , a , b , c , f , g . τe = Id
τa : e , a , c , b , g , f . τa = (bc)(fg)
τb : e , c , b , a , g , f . τb = (ac)(fg)
τc : e , b , a , c , g , f . τc = (ab)(fg)
τf : e , b , c , a , f , g . τf = (abc)
τg : e , c , a , b , f , g . τg = (cba)
A la vista de lo anterior, observamos que todas las conjugaciones transforman e en e, algo nada raro dada su condición de elemento neutro. Pero tambien observamos que transforman entre sí los elementos de {a,b,c}, y entre sí también los elementos de {f,g}. La simetría apreciable en la tabla de multiplicación de S3, se hace patente con la expresión de las conjugaciones como ciclos: mantenemos la estructura, la LEY del grupo S3, si al intercambiar cualesquiera dos de a,b, o c, a la vez intercambiamos f con g; o si "hacemos circular" a la vez a, b y c un paso a la izquierda o la derecha, dejando quietos f y g.
El conjunto de conjugaciones divide a S3 en las tres clases de equivalencia por conjugación {e}, {a,b,c} y {f,g}. Sólo el subgrupo {e,f,g} permanece invariante por la acción de todas las conjugaciones, pues contiene por entero a clases de equivalencia por conjugación, en concreto a {e} y {f,g}. Sin embargo un subgrupo como {e,a} contiene a {e}, pero no la clase completa {a,b,c}, y no es invariante por la acción de todas las conjugaciones. Por ejemplo τb transforma el subgrupo {e,a} en el subgrupo {e,c}. Cada subgrupo {e,a}, {e,b} y {e,c} se queda "pequeño" para aprovechar la simetría subyacente plasmada por las conjugaciones, y vencer la no conmutatividad.
El efecto de la no conmutatividad no superada por los tres subgrupos pequeños se ve tambien al tratar las clases adjuntas o contiguas por la izquierda y por la derecha respecto a un subgrupo.
Consideremos el subgrupo A={e,a}. Multiplicando cada elemento de A por cada elemento del grupo
S3 por la izquierda obtenemos las clases por la izquierda de S3 respecto a A:
eA = {e,a}; aA ={a,e }; bA={b,f}; cA={c,g}; fA={f,b}; gA={g,c}
Vemos que eA=aA, bA=fA, y cA=gA. Hay tres clases por la izquierda respecto a A: {e,a}, {b,f} y {c,g}.
Algo similar puede hacerse pero "por la derecha" :
Ae={e,a}; Aa={a,e}; Ab={b,g}; Ac={c,f}; Af={f,c}; Ag={g,b}
Tenemos tres clases por la derecha respecto a A: {e,a}, {b,g} y {c,f}.
Vemos que no coinciden con las anteriores por la izquierda, y de hecho bA ≠ Ab, cA ≠ Ac, fA ≠ Af, gA ≠ Ag.
Podriamos decir que la no conmutatividad ha podido con el grupo A, e impedido hacer a partir de él un cociente.
Sin embargo en el caso del subgrupo normal N={e,f,g} tenemos
eN={e,f,g}; aN={a,c,b}; bN={b,a,c}; cN={c,b,a}; fN={f,g,e}; gN={g,e,f}
luego hay sólo dos clases por la izquierda, {a,b,c} y {e,f,g}.
Y por el otro lado:
Ne={e,f,g}; Na={a,c,b}; Nb={b,a,c}; Nc={c,b,a}; Nf={f,g,e}; Ng={g,e,f}
de modo que las clases por la derecha coinciden plenamente con las clases por la izquierda.
Puede definirse una operación de grupo sobre las clases E={e,f,g} e I={a,b,c} en base a multiplicar cualquier representante y tomar la clase del elemento producto como la clase resultado. Por ejemplo EI es igual a I, pues fa = b ∈ I. Puede elegirse cualquier representante de E y de I y el resultado no varía, no depende del representante elegido. Esto no era posible en el caso del subgrupo A={e,a}.
Las clases por la izquierda y por la derecha respecto a cualquier subgrupo pueden verse como las imagenes de ese subgrupo por el conjunto de traslaciones por la izquierda y por la derecha.
Una traslación o desplazamiento por la izquierda en el grupo es una aplicación biyectiva
γu: G →G , γu(v) = u v
Una traslación o desplazamiento por la derecha en el grupo es una aplicación biyectiva
δu: G →G , δu(v) = v u
Cada elemento de G lleva asociada una traslación por la izquierda (y por la derecha) distinta. Ese conjunto de traslaciones por izquierda y derecha son biyecciones, aunque no automorfismos (salvo la identidad), pues no preservan la ley de grupo. Para los grupos abelianos γu = δu , igualdad que no se da en los no abelianos. En estos las conjugaciones nos agrupan en clases los elementos que en cierto modo restringido "casi" conmutan. Si τu(v) = u v u-1 = w , es que u v = w u. No conmutan u y v, pero al cambiarles de lado podemos encontrar un w "amigo" de v que nos consiga el mismo producto. Por aquí se ve la equivalencia plena entre la invariancia de un subgrupo, y el que las clases por la izquierda y por la derecha respecto a ese subgrupo coincidan.
Empezando con un conjunto X de 3 "cosas", pasamos a un ente más estructurado, S3, con 6 elementos que ya no son meras "cosas" sino aplicaciones con una estructura interna que se estudia empleando varios conjuntos de aplicaciones biyectivas γu, δu, τu definidas sobre S3, de modo que ellas son elementos de... S6, el grupo de permutaciones de 6 elementos. S6 tiene 6!=720 elementos. De todas esas 720 biyecciones, ¿cuantos son automorfismos? En general los automorfismos de un grupo dado forman otro grupo que tiene como subgrupo normal el grupo de todo los automorfismos interiores, y el grupo cociente de ambos es el grupo de los automorfismos exteriores. En el caso de S3 todos los automorfismos posibles son interiores, luego el grupo cociente de los automorfismos exteriores es trivial (isomorfo a {e}), como lo es el centro, por todo lo cual S3 es completo, como esta entrada.
