(una entrada olvidada como borrador desde principios de abril al fin ve la luz)
Reincidiendo con el tema del GPS, que da para mucho, hay otra forma de ver el efecto de la magia del PRN . En esa entrada el momento cumbre tenía lugar cuando el correlacionador encontraba un pico y conseguía "ver" la señal en medio del ruido abrumadoramente mayor. ¿Cómo de mayor en realidad? ¿Cual es el nivel de señal y de ruido en un receptor GPS típico?
La potencia de la señal C/A que llega a nuestro receptor desde un satélite GPS situado sobre su zenith es aproximadamente de -154,5 dBW. El circuito electrónico del receptor, que incluye un amplificador de bajo ruido, se caracteriza por un ruido con una densidad (espectral) de potencia de -201dBW/Hz.
El decibelio, dB, es una unidad muy empleada por los ingenieros para expresar cocientes o razones entre potencias (la potencia entendida como trabajo realizado por unidad de tiempo). Pongamos que la potencia Pa es 1000 veces la potencia de Pb. En vez de manejar el factor f=Pa/Pb=103, se pasa a una escala logarítmica. Si log designa la función logaritmo decimal, ese factor en decibelios resulta ser d = 30 dB, obtenidos de hacer d = 10 x log(103) = 10 x 3. En una escala logarítmica los productos se expresan mediante sumas, los cocientes como restas. Para los que estamos más acostumbrados a los factores normales, si
d = 10 log(f) podemos obtener f=10d/10
Pero cuidado, a veces uno encuentra expresiones con un 20 delante del logaritmo decimal, en vez de un 10, algo como
20 log (Va/Vb) = 10 log (Va2/Vb2)
Eso ocurre cuado las cantidades comparadas, designadas por V, no son una potencia sino una magnitud cuyo cuadrado, V2, es proporcional a la potencia, de ahí el factor 2 adicional. Lo típico es que se trate del voltaje o de la intensidad eléctricos.
El decibelio es una unidad adimensional pues Pa y Pb se miden en las mismas unidades, arbitrarias. Pero a veces se quiere expresar una potencia respecto a una unidad específica. Si como potencia de referencia se emplea 1 W (Vatio) en el divisor (Pb) , una potencia Pa puede expresarse en dbW, unidad no adimensional. También puede uno encontrarse con el dBm si como referencia se emplea un milivatio.
Vamos, que decir que a nuestro receptor llega una potencia de -154,5dBW es lo mismo que decir que llegan 10-15,45 W = 3,54 10-16 W. Acabaramos, tia Paca.
En cuanto a la densidad espectral del ruido, ahí se nos indica la potencia de ruido por unidad de frecuencia, expresando la potencia tambien respecto a una referencia de 1W. Para comparar la señal del satélite con el ruido, necesitamos también la densidad de potencia de la señal por unidad de frecuencia o bien, alternativamente, la potencia total de ruido.
Los satélites GPS emiten varias señales distintas, empleando modulación de una portadora. La C/A se emite en la banda L1 , centrada en 1575,42MHz (la frecuencia de la portadora). De esa señal es de la que nos llegan al receptor los -154.5dBW. ¿Pero cómo se reparte esa potencia en frecuencia? ¿Cae toda justo en el centro? Pues no, la potencia se "desparrama" en una banda de frecuencias de unos 2 MHz de ancha, que no parece mucho frente a los 1575,42 MHz, pero...
La razón de ese "desparrame" en frecuencias es precisamente la inclusión de los códigos PRN. Esta técnica del desparrame tiene un nombre bastante más decoroso, de espectro expandido o ensanchado, y una historia interesante (que también cuenta Britney). Además se usa por ciertas ventajas para resistir las interferencias tanto casuales como, sobre todo, malintencionadas.
Pero el caso es que tener la señal desparramada implica que el amplificador de bajo ruido al principio de nuestro receptor debe tener un ancho de banda de al menos esos 2MHz, y la potencia de ruido presente en el mismo será la densidad espectral de potencia, los -201dBW/Hz, por el ancho de banda del amplificador, 2MHz, es decir,
10-20,1 x 2 106 W = 10 -20,1+6+log(2) W = -138dBW
Y ahora sí, el cociente entre la potencia total de la señal, -154,5dBW, y la potencia total del ruido presente, -138 dBW, es la diferencia:
-154,5 - (-138) = -16,5 dB
es decir, la relación (Señal/Ruido) es 10-1,65, aproximadamente de 1 a 45, bastante ruido para tan poca señal, un abuso manifiesto. Los radioingenieros lo expresan más elegantemente diciendo que la señal está por debajo del fondo de ruido.
La magia que obra el correlacionador y los lazos de captura del retraso de la secuencia PRN (y con el retraso la propia PRN) es que si consiguen esa captura, entonces otros elementos electrónicos del receptor ya tratan con los bits de datos, que se suceden tan lentamente, sólo 50 por segundo, que corresponden a una anchura de banda de unos 100Hz, no de 2MHz como era el caso antes.
Entonces, para un elemento electrónico con la misma densidad espectral de 201 dBW/Hz, la potencia total del ruido es ...
10-20,1 x 102 W = 10 -20,1 + 2 W = -181dBW
mientras que la potencia de la señal que antes se desparramaba en 2MHz ahora, la mismita, los 154,5 dBW, la tenemos intacta como bits de datos, y la relación señal/ruido es ahora
154,5 - (-181) = 26,5dB
que es como dar la vuelta a la tortilla, ahora la señal gana al ruido 447 a 1.
Cuando la señal se recibe desde un satélite bajo en el horizonte, en vez de en el zenit, llega más debilitada, su potencia es de unos -162,5dBW. En ese caso la relación señal/ruido con el desparrame es
-162,5 - (-138) = -24,5 dB
o aproximadamente 1 a 282. Y una vez reconcentrada la potencia de señal en los bits de datos la relación señal/ruido en este caso es
-162,5 - (-181) = 18,5dB
o aproximadamente 71 a 1
Se sigue ganando lo mismo pero en una situación de entrada peor. Esta es la llamada ganancia de procesado, que pasando desde -181 dBW hasta -138 dBW supone ganar 43dB y corresponde a un factor 20000, que refleja lo que se ha reducido el ancho de banda sometido a ruido, desde los 2MHz de la señal desparramada con el PRN hasta los 100Hz de la señal de bits de datos. Si preferimos fijarnos en el tiempo mejor que en la frecuencia, la duración de un bit de datos es de 20 milisegundos mientras que la duración de un chip del código PRN es de algo menos de 1 microsegundo. El cociente entre ambos, (tiempo de bit/tiempo de chip), es el mismo factor que da la ganancia de procesado. Los tiempos y las frecuencias característicos son inversamente proporcionales. Se ha tomado como frecuencia típica el doble del inverso del tiempo típico, por ejemplo los 100Hz ( y no 50Hz=1/20ms) para los bits de mensaje de 20ms de duracion. Otro día llegará Fourier y Nyquist.
El efecto del correlacionador sobre el PRN desparramado es rejuntarle, pero curiosamente el efecto es el contrario sobre cualquier interferencia de radio frecuencia que se concentre en un estrecho margen dento de la banda de 2MHz del C/A: el proceso de correlación reparte la potencia de la señal espúrea en toda la banda de 2MHz y debilita así su efecto adverso.
¿Y de donde viene el ruido y esa cifra de -201dBW/Hz? Esa cifra engloba el ruido "ambiente" que capta la antena del receptor, de origen terrestre y celeste, y el ruido generado por la propia antena y demás componentes electrónicos que tratan la señal tras ella, cables incluidos, sobre todo por la agitación térmica de los portadores de carga (ruido térmico), y el carácter discreto de los mismos (shot noise). Cada componente en la cadena de elementos del receptor se caracteriza por una "temperatura de ruido" y una ganancia (o pérdida) en la señal entre su entrada y salida. Se aplican unas reglas para calcular el resultado conjunto de todos los elementos.
Dicho en términos de receta sería algo como: poner una antena de 100K (de temperatura de ruido, K Kelvin), un filtro y cable de 75,4K con ganancia 0,8, un amplificador de bajo ruido de 290K y ganancia 100, y tras él un cable y filtro de 2610K y ganancia 0,1 , sazonar con las fórmulas adecuadas (esa magia poco agraciada pero resultona) y ... ahí están los -201dBW/Hz sacados de la chistera.
Ese valor no anda muy lejos (3dB, un factor 2) de lo que se obtiene directamente con la expresión de la potencia de ruido de una resistencia en función de la temperatura, que viene a dar para la densidad espectral de potencia el sencillo valor de kT, siendo k la constante de Boltzman igual a 1,38 10-23J/K , y T la temperatura absoluta. Para T=290K, kT vale 4,00 10-21J = 10log(4)-21 J = -204 dBW/Hz . Ahí J indica Julio, unidad de energía, y J=W.s=W/Hz .
El valor constante (respecto a la frecuencia) kT para la densidad espectral de ruido térmico, es en realidad una aproximación para "bajas" frecuencias de una expresión mecanocuántica,
hf / (ehf/kT-1)
aunque a T=290K las "bajas" frecuencias llegan hasta los 1000 GHz, e incluso a T=2,9K llegan a lo 10 GHz.
