Por cada Representación Irreducible (R.I.) α, de dimensión nα, se definen nα2 operadores como combinaciones lineales de los operadores Tgp (p=1,...,|G|) de la Representación Regular, combinaciones lineales cuyos coeficientes son los elementos de matriz de la R.I. α . De ellos (ver la primera línea de la anterior imagen) sólo los operadores con subíndices coincidentes son operadores de proyección, y su suma da el operador proyección sobre el subespacio invariante correspondiente a la R.I. α (ver la segunda línea). La suma sobre todas las R.I. de los operadores proyección sobre sus respectivos subespacios invariantes da el operador identidad (tercera línea).
La última línea indica la relación de la nomenclatura de las fórmulas con las variables usadas en Octave. Para S3 tenemos
# --- OPERADORES de PROYECCION y relacionados ---
# P3_11 es la proyeccion sobre la fila 1 de la R.I. 3
# En la R. Regular se proyecta sobre un subespacio de dimension 2
P3_11=(2/6)*( U3{1}(1,1)*Reg{1}+
U3{2}(1,1)*Reg{2}+
U3{3}(1,1)*Reg{3}+
U3{4}(1,1)*Reg{4}+
U3{5}(1,1)*Reg{5}+
U3{6}(1,1)*Reg{6});
# P3_22 es la proyeccion sobre la fila 2 de la R.I. 3
# En la R. Regular se proyecta sobre un subespacio de dimension 2
P3_22=(2/6)*( U3{1}(2,2)*Reg{1}+
U3{2}(2,2)*Reg{2}+
U3{3}(2,2)*Reg{3}+
U3{4}(2,2)*Reg{4}+
U3{5}(2,2)*Reg{5}+
U3{6}(2,2)*Reg{6});
# Los 2 operadores siguientes no son proyecciones, pero sirven para formar los partner que
# completan las bases de los 2 subespacios de dimension 2 que se tranforman segun la R.I. 3
P3_21=(2/6)*( U3{1}(2,1)*Reg{1}+
U3{2}(2,1)*Reg{2}+
U3{3}(2,1)*Reg{3}+
U3{4}(2,1)*Reg{4}+
U3{5}(2,1)*Reg{5}+
U3{6}(2,1)*Reg{6});
P3_12=(2/6)*( U3{1}(1,2)*Reg{1}+
U3{2}(1,2)*Reg{2}+
U3{3}(1,2)*Reg{3}+
U3{4}(1,2)*Reg{4}+
U3{5}(1,2)*Reg{5}+
U3{6}(1,2)*Reg{6});
# Con P3_11 y P3_21 se obtiene una base de un subespacio de dimension 2 que se transforma segun R.I. 3
# Con P3_12 y P3_22 se obtiene una base de otro subespacio de dimension 2 que se transforma segun R.I. 3
# P3 proyeccion asociada a la R.I. 3, de dimension 2
# como la R. Regular contiene dos veces la R.I. 3, se proyecta sobre un subespacio de dimension 4
P3 = P3_11 + P3_22;
# P1 proyeccion sobre la R.I. 1, de dimension 1, trivial
P1 = (1/6)*(U1{1}*Reg{1}+U1{2}*Reg{2}+U1{3}*Reg{3}+U1{4}*Reg{4}+U1{5}*Reg{5}+U1{6}*Reg{6});
# P2 proyeccion sobre la R.I. 2, de dimension 1, antisimetrica
P2 = (1/6)*(U2{1}*Reg{1}+U2{2}*Reg{2}+U2{3}*Reg{3}+U2{4}*Reg{4}+U2{5}*Reg{5}+U2{6}*Reg{6});
# Debe ser P1+P2+P3 = eye(6)
all(all(P1+P2+P3-eye(6) < ones(6,6)*0.00001)) # debe dar 1
Con la Representación Regular es posible obtener las funciones base de cada R.I. contenida en la misma. Partimos de una función φ (vector en el espacio vectorial de dimensión 6 en que se define la Representación Regular) y generamos seis funciones, usando los operadores P(α)ki Estas funciones resultan ser ortonormales si la función φ de partida es tal que {Tgp φ} es un conjunto de 6 vectores ortonormales, lo que se verifica si elegimos φ = [1 0 0 0 0 0]T .
Las R.I. 1 y 2 tienen dimensión 1, y figuran en la Representación Regular 1 vez, luego aportan cada una una función base:
φ1=√(6/1) P(1) φ (base de R.I. 1)
φ2=√(6/1) P(2) φ (base de R.I. 2)
Se usa directamente el operador proyección sobre el subespacio invariante unidimensional correspondiente, y el factor √(|S3|/nα) sirve en este caso para normalizar el resultado.
En cuanto a la R.I. 3, figura en la Representación Regular dos veces, tendremos dos subespacios invariantes que se transforman según R.I. 3, cada uno con una base de 2 funciones base. En cada base una función se transforma según la fila 1 de la R.I. 3, y la otra función según la fila 2.
Primera base de R.I. 3 :
φ11=√(6/2) P(3)11 φ (se transforma según la fila 1)
φ21=√(6/2) P(3)21 φ (se transforma según la fila 2)
Segunda base de R.I. 3 :
φ12=√(6/2) P(3)12 φ (se transforma según la fila 1)
φ22=√(6/2) P(3)22 φ (se transforma según la fila 2)
En este caso se deben usar los 4 operadores con dos subíndices, no sirve por demasiado general el operador proyección P(3) sobre el subespacio invariante 4-dimensional. Tampoco basta con los operadores proyección P(3)11=P(3)1 y P(3)22=P(3)2 , que proyectan sobre sendos subespacios 2-dimensionales de vectores que se transforman según la fila 1 por un lado, y según la fila 2 por el otro. Son imprescindibles los operadores con dos subindices distintos, que afortunadamente no son operadores de proyección, sino más bien de "cruce". Por ejemplo aplicando P(3)21 a un vector que se transforma según la fila 1 (como φ11 ) se obtiene otro "compañero" o partner, que se transforma según la fila 2 (como φ21) y ambos forman una base que se transforma según la R.I. 3. Esto en el ejemplo concreto de la base formada por φ11 y φ21 quiere decir que para todo elemento g del grupo se verifica que
Tg φ11 = U(3)11(g) φ11 + U(3)21(g) φ21
Tg φ21 = U(3)12(g) φ11 + U(3)22(g) φ21
En código Octave:
fi = [1 0 0 0 0 0]';
# para obtener vectores de norma 1 debe multiplicarse por el factor sqrt del cociente
# entre el orden del grupo y la dimension de la R.I. respectiva
fi1=sqrt(6/1)*P1*fi; # R.I. 1
fi2=sqrt(6/1)*P2*fi; # R.I. 2
fi11=sqrt(6/2)*P3_11*fi; # R.I. 3
fi22=sqrt(6/2)*P3_22*fi; # R.I. 3
fi21=sqrt(6/2)*P3_21*fi; # R.I. 3
fi12=sqrt(6/2)*P3_12*fi; # R.I. 3
# comprobar que fi11 y fi21 forman una base, transformandose entre si
numok=0;
for i = 1:6
numok = numok + all((U3{i}(1,1)*fi11+U3{i}(2,1)*fi21)-Reg{i}*fi11 < ones(6,1)*0.00001);
numok = numok + all((U3{i}(1,2)*fi11+U3{i}(2,2)*fi21)-Reg{i}*fi21 < ones(6,1)*0.00001);
endfor
numok # debe ser 12
# comprobar que fi12 y fi22 forman una base, transformandose entre si
numok=0;
for i = 1:6
numok = numok + all((U3{i}(1,1)*fi12+U3{i}(2,1)*fi22)-Reg{i}*fi12 < ones(6,1)*0.00001);
numok = numok + all((U3{i}(1,2)*fi12+U3{i}(2,2)*fi22)-Reg{i}*fi22 < ones(6,1)*0.00001);
endfor
numok # debe ser 12
Puede comprobarse que los seis vectores de la base final así obtenidos son ortonormales. La matriz Mfinal de un operador lineal en la base final se obtiene a partir de la matriz Minicial del mismo operador en la base inicial mediante
Mfinal = C-1 Minicial C
cuando se define la matriz del cambio de base C como aquella cuya i-ésima columna da la expresión del i-ésimo vector de la base final como combinación lineal de los vectores de la base inicial.
(No es raro encontrar en la literatura que se llama matriz del cambio de base a la que tiene por columna i-ésima el desarrollo del i-ésimo vector de la base inicial en términos de los vectores de la final, con lo que según ese convenio C y C-1 intercambian posiciones en la expresión anterior. Este convenio alternativo suele aparecer al tratar de cómo cambian las coordenadas de un vector al cambiar de base. Otra fuente de confusión con la que tener cuidado.)
Usando la fórmula anterior para cada operador de la representación Regular, podemos comprobar que en la base final sus matrices son en efecto diagonales por cajas, y en cada caja de R.I. con la submatriz de la R.I. correspondiente.
# la matriz de cambio de base es
MC=[fi1 fi2 fi11 fi21 fi12 fi22];
MCI=eye(6)/MC;
# matrices en la base final de los 6 operadores de la Representacion Regular
MCI*Reg{1}*MC
MCI*Reg{2}*MC
MCI*Reg{3}*MC
MCI*Reg{4}*MC
MCI*Reg{5}*MC
MCI*Reg{6}*MC
Pero volviendo a la Representación Regular, partiendo de φ = [1 0 0 0 0 0]T se obtienen dos bases {φ11 , φ21 } y {φ12 ,φ22 } con 4 vectores ortonormales entre sí. Partiendo de otro vector diferente χ = [0 0 0 0 1 0]T se obtienen otras dos bases ortonormales (que se transforman según la R.I. 3) {χ11 , χ21 } y {χ12 ,χ22 }.
Pues bien, hay dos resultados generales e importantes. Resulta que cualquier vector según la fila 1 de una base es ortogonal a un vector según la fila 2 de cualquier base. Por ejemplo :
φ11 . χ22 = 0 = φ21 . χ12
Y además, para cualesquiera dos bases el producto escalar de los respectivos vectores según la fila 1 y según la fila 2, son iguales. En nuestro ejemplo :
φ11 . χ12 = φ21 . χ22
De la misma forma para este otro par de bases :
φ12 . χ12 = φ22 . χ22
pero ¡ojo! puede ser que φ11 . χ12 ≠ φ12 . χ12 .
Conviene recordar que en las expresiones anteriores el primer subíndice indica la fila por la que se transforma el vector, y el segundo distingue las dos bases posibles partiendo de un vector dado, sea φ o χ . En Octave podemos comprobar de golpe la última condición para los 4 posibles emparejamientos de las 2 bases obtenidas de un φ con las 2 obtenidas de un χ , y las 8 condiciones de ortogonalidad:
fi = [1 0 0 0 0 0]';
fi11=sqrt(6/2)*P3_11*fi;
fi22=sqrt(6/2)*P3_22*fi;
fi21=sqrt(6/2)*P3_21*fi;
fi12=sqrt(6/2)*P3_12*fi;
chi = [0 0 0 0 1 0]';
chi11=sqrt(6/2)*P3_11*chi;
chi22=sqrt(6/2)*P3_22*chi;
chi21=sqrt(6/2)*P3_21*chi;
chi12=sqrt(6/2)*P3_12*chi;
# comprobar independencia de la fila del prod. escalar misma fila
# primer subindice indica fila, segundo diferencia bases
# 4 combinaciones de 2 bases de fi con 2 de chi
all([ \
fi11'*chi11 - fi21'*chi21 \
fi12'*chi11 - fi22'*chi21 \
fi11'*chi12 - fi21'*chi22 \
fi12'*chi12 - fi22'*chi22 ] < ones(1,4)*0.00001) # debe dar 1
# Los 4 productos de cada combinacion no tienen por que coincidir :
[ fi11'*chi11 fi12'*chi11 fi11'*chi12 fi12'*chi12 ]
# comprobar ortogonalidad entre diferentes filas
# de cualquier base de fi con cualquiera de chi
all([
fi11'*chi21 - 0 \
fi21'*chi11 - 0 \
fi12'*chi21 - 0 \
fi22'*chi11 - 0 \
fi11'*chi22 - 0 \
fi21'*chi12 - 0 \
fi12'*chi22 - 0 \
fi22'*chi12 - 0 ] < ones(1,8)*0.00001) # debe dar 1
Viene a implicar que, por ejemplo, si me topo con una representación reducible de dimensión 15 que contiene 5 veces una misma R.I. de dimensión 3, puedo encontrar para un operador escalar, como pueda ser el Hamiltoniano H de un sistema mecanocuántico suficientemente simétrico, una base 15-dimensional en que la matriz 15x15 de H se descomponga en 5x5 submatrices, cada una de ellas de 3 filas por 3 columnas, rellenas de ceros salvo en la diagonal, en que sus 3 elementos coinciden. Por tanto como valores distintos en la matriz 15x15 sólo tenemos 5x5 elementos, a los que se llama elementos de la matriz reducida. Y no está mal pasar de tener que calcular 225 números a reducir la cosa a sólo 25.
Fugaz felicidad que hay que aprovechar, ahora que creo entender lo que escribo, pues no tardando mucho veré esto mismo con extraños ojos de incomprensión.
