El caso es que al aplicar el método de los operadores P(α)ki a una función normalizada como
ξ = 1/√5 [ -1 -1 1 0 -1 1]T
las
ξij = √(|G|/nα) P(α)ki ξ
que resultan no son ortonormales, como sí sucedía en los casos vistos de φ y χ. En estos dos casos teníamos una única componente 1 y el resto 0, respecto a la base inicial del álgebra del grupo. Al aplicar los 6 operadores de la Representación Regular a φ o a χ se obtiene un conjunto ortonormal de 6 funciones, con una sola componente 1 cada vez en una posición diferente. En el caso de ξ tenemos 6 funciones normalizadas, de norma 1, pero no ortogonales, luego no forman una base ortonormal, y al aplicar los operadores √(|G|/nα) P(α)ki obtenemos funciones no ortonormales.
Lo que no impide que las 6 funciones formen una base respecto a la que la representación regular se diagonaliza, como se ve en Octave
xi = [-1 -1 1 0 -1 1]';
xi11=P3_11*xi;
xi22=P3_22*xi;
xi21=P3_21*xi;
xi12=P3_12*xi;
xi1=P1*xi;
xi2=P2*xi;
MCx=[xi1 xi2 xi11 xi21 xi12 xi22];
MCxI=eye(6)/MCx;
MCxI*Reg{1}*MCx
MCxI*Reg{2}*MCx
MCxI*Reg{3}*MCx
MCxI*Reg{4}*MCx
MCxI*Reg{5}*MCx
MCxI*Reg{6}*MCx
Es muy importante el hecho de que en la Representación Regular, al aplicar sus 6 operadores a un vector general, obtenemos 6 vectores linealmente independientes, y hay una matriz invertible que pasa de esos 6 vectores a otros 6 que forman una base final que diagonaliza las matrices de los operadores. Esa matriz invertible 6x6 se compone de los elementos matriciales de todas las R.I. (Representaciones Irreducibles) del grupo: 4 elementos de la R.I. 3, que es 2x2, y un elemento de cada una de las 2 R.I. 1-dimensionales, por cada uno de los 6 operadores de la representación. Es lo mismo que expresan los operadores P(α)ki pero puesto de otro modo. Si ψ es un vector general y ψg = Tg ψ , resulta que
ψ(α)ki = √(|G|/nα) P(α)ki ψ = √(nα/|G|) ∑g U(α)*ki(g) ψg
A la derecha aparecen combinaciones lineales de las seis ψg generadas con los operadores Tg de la Representación Regular, hechas con coeficientes obtenidos de todas las R.I. A la izquierda, al ir dando valores uno por una a los k e i para cada α, tenemos los 6 vectores de la base final "diagonalizante", precisamente la base en la que los operadores tienen la forma diagonal por cajas cuyos elementos son los U(α)ki(g) . Concretamente en nuestro caso para α=1 y también para α=2, tenemos k=i=1; y para α=3, ki toma los valores 11, 21, 12, y 22. La matriz de paso de los seis ψg a los seis ψ(α)ki es unitaria gracias a las propiedades de ortogonalidad de los elementos matriciales de las R.I.
Pero ¿qué pasa si tenemos una representación reducible S de matrices 6x6 que contenga 3 veces la R.I. 3, y por tanto ninguna vez las R.I. 1 y 2? Encontraremos 3 bases de dos vectores cada una, transformándose según la R.I. 3, pero no será suficiente ahora partir de un único vector general para obtener las 3 bases. Resulta que en este caso nunca conseguiremos, al aplicar los operadores de esa representación a un vector general, más de 4 vectores linealmente independientes, en vez de los 6 del caso de la Representación Regular.
De un vector general ψ se obtienen ahora seis vectores ψg = Sg ψ . Pero podemos formar la combinación lineal
ψs = (ψ1 +ψ2 +ψ3 +ψ4 +ψ5 +ψ6 )
que verifica que para todo elemento del grupo
Sg ψs = ψs
con lo que ψs genera un subespacio invariante de dimensión 1 que se transforma como la R.I. 1, la trivial. Pero como esta R.I. no está contenida en la representación S, debe ser Sg ψs = 0 = ψs y tenemos una combinación lineal de los seis ψg igual a cero con coeficientes no nulos, por lo que son linealmente dependientes, y hay una relación entre ellos:
ψ1 +ψ2 +ψ3 +ψ4 +ψ5 +ψ6 = 0
Otra combinación posible es
ψa = (ψ1 -ψ2 -ψ3 -ψ4 +ψ5 +ψ6 )
que se transforma al aplicar los Sg como la R.I. 2, que de nuevo no está contenida en S por lo que también debe ser
ψ1 -ψ2 -ψ3 -ψ4 +ψ5 +ψ6 = 0
Estas dos relaciones reducen el conjunto de seis vectores ψg como máximo a cuatro vectores linealmente independientes.
Usando los P(αS)ki definidos ahora usando los Sg , en vez de los Tg de la Representación Regular, lo que ocurre es que P(1S) y P(2S) se anulan, algo coherente con que S no contiene ni la R.I. 1 ni la R.I. 2. Sólo nos quedan los cuatro P(3S)ki para, usando un ψ general, dar dos de las tres bases que se transforman según la R.I. 3. A partir de la diferencia entre ψ y su proyección sobre esas dos bases podemos obtener la tercera.
En el siguiente ejemplo con Octave se crea la representación S haciendo el producto de kronecker de la R.I. 3, matrices 2x2, con la matriz identidad 3x3, y obtener así una representación de matrices 6x6 que es reducible, por construcción, usando tres veces la R.I. 3, y sin contener pues las R.I. 1 y 2. De hecho se definen las matrices de S respecto a la base "diagonalizante", y respecto a la misma se obtienen los operadores P(αS)ki , lo que no hace menos general el que sea P(1S) = 0 = P(2S) . Con un vector general ψ se generan los seis ψg = Sg ψ y con la función rank() vemos que sólo 4 son linealmente independientes.
# representacion 6x6 contiene 3 veces R.I. 3
S33=cell(6,1);
for k=1:6
S33{k}=kron(eye(3,3),U3{k});
endfor
# --- OPERADORES de PROYECCION y relacionados ---
Y3_11=(2/6)*( U3{1}(1,1)*S33{1}+
U3{2}(1,1)*S33{2}+
U3{3}(1,1)*S33{3}+
U3{4}(1,1)*S33{4}+
U3{5}(1,1)*S33{5}+
U3{6}(1,1)*S33{6});
Y3_22=(2/6)*( U3{1}(2,2)*S33{1}+
U3{2}(2,2)*S33{2}+
U3{3}(2,2)*S33{3}+
U3{4}(2,2)*S33{4}+
U3{5}(2,2)*S33{5}+
U3{6}(2,2)*S33{6});
Y3_21=(2/6)*( U3{1}(2,1)*S33{1}+
U3{2}(2,1)*S33{2}+
U3{3}(2,1)*S33{3}+
U3{4}(2,1)*S33{4}+
U3{5}(2,1)*S33{5}+
U3{6}(2,1)*S33{6});
Y3_12=(2/6)*( U3{1}(1,2)*S33{1}+
U3{2}(1,2)*S33{2}+
U3{3}(1,2)*S33{3}+
U3{4}(1,2)*S33{4}+
U3{5}(1,2)*S33{5}+
U3{6}(1,2)*S33{6});
Y3 = Y3_11 + Y3_22 # debe ser matriz identidad
Y1 = (1/6)*(U1{1}*S33{1}+U1{2}*S33{2}+U1{3}*S33{3}+U1{4}*S33{4}+U1{5}*S33{5}+U1{6}*S33{6}) # debe ser matriz 0
Y2 = (1/6)*(U2{1}*S33{1}+U2{2}*S33{2}+U2{3}*S33{3}+U2{4}*S33{4}+U2{5}*S33{5}+U2{6}*S33{6}) # debe ser matriz 0
psi=[1 2 -3 4 7 -13 ];
psig=cell(6,1);
for k=1:6
psig{k}=S33{k}*psi';
endfor
psig{1}+psig{2}+psig{3}+psig{4}+psig{5}+psig{6} # debe dar 0
psig{1}-psig{2}-psig{3}-psig{4}+psig{5}+psig{6} # debe dar 0
[psig{1} psig{2} psig{3} psig{4} psig{5} psig{6} ]
rank([psig{1} psig{2} psig{3} psig{4} psig{5} psig{6} ]) # debe ser 4 o menos
