El perro y los soldados

Es lo malo que tiene internet, tanto ver esto y lo otro, que a veces te enredas. Como leyendo el problema que salía hace poco en gaussianos del perro y los soldados, que dice (sin los resaltes de colores, que son de mi cosecha)

Un grupo de 400 soldados está preparado para marchar. Están colocados formando un cuadrado de 20 metros x 20 metros, y su mascota (un perro) está colocado en el centro de la primera fila. El grupo de soldados comienza la marcha con una velocidad constante, y el perro empieza al mismo tiempo su marcha siguiendo el perímetro del cuadrado formado por los soldados en el sentido de las agujas del reloj, también a una velocidad constante. El perro ha sido entrenado de tal forma que cuando el grupo avanza 20 metros, él recorre el perímetro completo del cuadrado y vuelve a su posición del centro de la primera fila.
Los soldados han avanzado 20 metros, pero ¿qué distancia ha recorrido el perro?

Aparte de pasar un rato "a ver si sale", tiene un aroma a movimiento relativo, y es un buen ejemplo de dónde suelen estar las dificultades de los problemas: en saber interpretar correctamente el enunciado, extraer todos los datos útiles, explícitos o implícitos, y establecer todas las relaciones pertinentes en forma matemática para dar con la o las incógnitas requeridas.

Se puede encontrar en la web planteado el mismo problema y multitud de soluciones variopintas, alguna coincidente con la expresada aquí.

En mi caso, a lo primero que me recuerda el enunciado es a movimiento relativo. El cuadrado de soldados de lado L (en el problema L=20m) se mueve con velocidad constante s respecto a... imagino que respecto al terreno fijo. Supongo por ejemplo que van en sentido sur-norte. El perro sigue el perímetro del cuadrado móvil con velocidad constante p respecto a... vuelvo a suponer que respecto al terreno fijo. Al empezar el perro recorre el lado superior del cuadrado de soldados en sentido oeste-este, luego baja por el lado derecho en sentido norte-sur, gira en sentido este-oeste por el lado inferior, sube por el izquierdo en sentido sur-norte y completa el cuadrado en el lado superior de nuevo en sentido oeste-este. Siempre a velocidad p constante respecto al terreno fijo. Pero la descripción usando los lados del cuadrado es desde el sistema de referencia móvil de los soldados. Para estos el perro lleva una velocidad u al desplazarse por el lado superior o inferior, una velocidad v al descender por el lado derecho, y una velocidad w al subir por el lado izquierdo. Usando unos vectores unitarios i en sentido oeste-este y j en el sentido sur-norte, el vector velocidad del perro, respecto al terreno fijo, en cada tramo es
Lado superior   p = u i + s j  = p (i + j)/√2
Lado derecho   p = (s - v) j  = - p j
Lado inferior    p = -u i + s j = p (-i + j )/√2
Lado izquierdo p = (s + w) j = p j

Ya se ve que me gustan las letras para denotar las cantidades con las que trabajar. Son más generales que los números cuando hay valores numéricos conocidos (poner L en vez de 20 por ejemplo), podemos usarlas a nuestra conveniencia para designar cualquier dato que pueda ser de interés, y todavía no hay que pagar a la SGAE por usarlas, creo.

Las letras en negrita indican vectores. Las cuatro expresiones anteriores encierran parte de la información del enunciado. La condición de que el perro en todo momento sigue el perímetro del cuadrado móvil de soldados es equivalente a decir que cuando va por los lados superior o inferior la componente j de su velocidad es igual que la de los soldados, pues la velocidad de estos siempre es s = s j ; y que por los lados derecho e izquierdo la velocidad del perro tiene sólo componente según j. Ponemos que la velocidad del perro relativa a los soldados es en módulo la misma, u, en el lado superior y en el inferior, y solo cambia de sentido la componente i. Puede argumentarse que esto es así pues la componente j es la misma, s, en ambos casos y el módulo de la velocidad absoluta del perro, p, es el mismo como indica el enunciado, luego la otra componente debe ser la misma en módulo, y diferir sólo en el sentido.

Una vez llenos de letras y relaciones, ¿qué? Pues hay que buscar más relaciones. Con velocidades y longitudes, habrá que considerar tiempos. Pongamos que T es el tiempo en que el perro da la vuelta al cuadrado de soldados mientras estos han avanzado L, la longitud del cuadrado, marchando a la velocidad s, es decir
T = L / s

Desde el punto de vista de los soldados (el sistema de referencia móvil) el tiempo que el perro emplea en recorrer los lados superior e inferior es
A = 2 L / u
El tiempo que el perro emplea en recorrer el lado derecho es
B = L / v
y el tiempo que el perro emplea en recorrer el lado izquierdo es
C = L / w

Como estamos en la relatividad de Galileo, no la de Einstein, los intervalos de tiempo medidos por los soldados y por alguién quieto respecto al terreno son iguales. Podemos tranquilamente poner que

T = A + B + C
es decir
L / s = (2 L/ u) + (L / v) + (L/w)

De las expresiones anteriores para la velocidad vectorial del perro en que aparecen s, p, u, v y w, resulta que podemos expresar u, v y w en términos de s y de p. ¡Ajá!, s es un "dato", y p la incógnita.

Como p = v - s = w + s = √(u²+s²) , tenemos que

v= p + s = s(p/s + 1) = s(x + 1)
w=p - s = s(p/s - 1) = s(x-1)
u = √(p²-s²) = s √((p/s)²-1) = s √(x²-1)

donde hemos introducido la nueva variable

x = p / s

ratio de la velocidad del perro respecto a la de los soldados. Lo de usar esta variable, y sacar factor común a s es para poder simplificar las expresiones matemáticas a manipular, pasando de

L / s = (2 L/ u) + (L / v) + (L/w)
a

1 =  ( 2/ √(x²-1)) + (1/(x+1)) + (1/(x-1))

que a su vez operando por aquí y por allá conduce a esta bonita ecuación polinómica de cuarto grado:

x⁴- 4x³- 2x² + 4x + 5 =0

Nos ayudamos aquí del amigo Octave para calcular las raíces:

octave-3.2.4.exe:1> x=[1, -4, -2 , 4, 5]
x =
   1  -4  -2   4   5
octave-3.2.4.exe:2> roots(x)
ans =
   4.18113 + 0.00000i
   1.36734 + 0.00000i
  -0.77423 + 0.52454i
  -0.77423 - 0.52454i

El paso final es la "interpretación de las soluciones". Las dos complejas las descartamos sin más, y en cuanto a las dos reales, descartamos la segunda por ... Bueno, a mirar la secuencia de deducciones y dónde hay algo que permita descartarla. Tiempo al tiempo. Ah, al poner T=A+B+C se asume que cada uno de esos tiempos parciales es menor que el total. En concreto C < T se traduce también en que (1/(x-1))<1 , es decir, (x-1)>1 y por tanto debe ser x >2. 

Al final the winner is ... x = 4.18113 (5 decimales ya esta bien), es decir p = 4.18113 s.
Y el espacio recorrido por el perro, medido por un observador fijo respecto al terreno, es
p T = p L / s = L x = 4.18113 L
que para un cuadrado de 20 metros es una distancia de aproximadamente 83,623 metros.


De propina podemos ver los valores de las velocidades del perro en cada tramo, desde el punto de vista de los soldados:
 u = 4,0598 s ; v = 5,1811 s ; w = 3,1811 s

Y podemos decir mucho más. Que la distancia recorrida por el perro respecto al sistema móvil de los soldados es de 80 metros, el perímetro del cuadrado, aunque esto no subirá mucho la nota. Que el espacio recorrido por el perro no depende de la velocidad de los soldados. Ni del sentido de marcha, si despreciamos la aceleración de Coriolis (típico comentario para meter de rondón algo que suene a que sabemos lo que no nos preguntan y nos saldríamos de la escala si no fuese por la falta de tiempo). Y que la solución tampoco depende de que la mascota sea un perro con tal de que esté igual de bien entrenada, no ya marchando a la velocidad correcta en cada tramo sino, sobre todo, girando instantaneamente en las esquinas :-)