La recta proyectiva puede presentarse de diferentes formas, y cuantas más perspectivas se tengan del asunto, tanto mejor. La base más geométrica del asunto tiene que ver precisamente con la proyección central. Sigamos la página 330 de "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner. En el plano euclídeo de toda la vida trazamos dos rectas cualesquiera r y r'. Tomamos un punto C no perteneciente a ninguna de dichas rectas. Este es el centro de una proyección central, por la que a cualquier punto P de r se le hace corresponder otro punto P' de r'. Los puntos P y P' que se corresponden entre sí son los situados sobre la misma recta "proyectante" que pasa por C.
Esta es una descripción netamente geométrica de la correspondencia entre r y r'. A partir de ella se obtiene una relación analítica entre las coordenadas x de P (respecto a un punto O origen de la recta r) y x' de P' (respecto de un punto O' origen de la recta r'). Mientras que la misma letra en P y P' sirve para recordar que son puntos correspondientes por la proyección de centro C, O y O' son puntos elegidos arbitrariamente como origen de las rectas r y r', pero O no se corresponde con O'.
Empleando el teorema de Tales se obtiene la relación incluida en la figura (g abarca desde J hasta O, e desde K hasta O, f desde K hasta O' ), que puede reescribirse (con \(a/c=h-f; b/c=he-gf; d/c=g\) ) bajo la siguiente forma general
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Una expresión analítica con esta forma tiene una gran variedad de nombres. Es una transformación proyectiva, y se conoce como transformación de Möbius, o como transformación lineal fraccional, o como transformación bilineal.
Esta es una notación muy extendida. Los números a, b, c y d determinan una transformación salvo por un factor común. Una posible normalización es elegir que \(a d -b c = 1\). Pero lo importante es exigir que
\[
a d - b c \neq 0
\]
pues de esa forma se garantiza una correspondencia biunívoca, y se habla de transformación no singular. Es lo que ocurre cuando el centro de proyección C está fuera de las rectas r y r'. En ese caso, a cualquier P sobre r le corresponde un único P' sobre r', y viceversa, siempre que incluyamos de alguna forma "el infinito". El punto J de r correspondería al "punto del infinito" de r'; y el "punto del infinito" de r se correspondería en r' con el punto en que r' corta la paralela a r que pasa por C. En términos analíticos, cuando x se hace infinito, \(x' = h - f\), o equivalentemente \( x' = a/c \). Y cuando \(x = -g\), o equivalentemente \( x= -d/c\), entonces \(x'=\pm \infty\).
Por contra un ejemplo de "caso raro", de transformación singular, en el que \(a d - b c = 0\), lo tenemos si llevamos el centro de proyección C a colocarse sobre r'. Entonces todos los puntos de r se proyectan sobre uno solo de r', el propio C. El único punto de r que podemos, en tal caso, asociar a otro punto de r', a cualquiera en realidad, es K. Analíticamente, de \(ad -bc=0\), y considerando \(c \neq 0\), entonces \(b = a d / c \) y
\[
x' = \frac{a(cx+d)}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} = h - f
\]
Da igual el valor de x, se obtiene el mismo valor de x'.
Volviendo a los casos "normales", cumpliendo que \(a d - b c \neq 0\), se distinguen las proyecciones ortogonales, en las que el centro de proyección C se aleja al infinito del plano euclídeo en una dirección transversal a r y r'. Corresponden a \(c=0\) pero \(a \neq 0 \neq d\) e implican una homotecia entre r y r', pues \( x' = (ax + b)/d\).
El caso es que en estas aplicaciones proyectivas de una recta en otra introducimos el "punto del infinito" como uno más, que entra en el juego de las correspondencias en pie de igualdad con el resto de "puntos finitos". Lo que no deja de serme chocante. Al mirar la recta real, tan recta, tan extensa, sin límite, alejándose al infinito positivo por la derecha, al negativo por la izquierda, los muy negativos cada vez más apartados de los muy positivos... Hasta puedo imaginar un drama romántico de amor imposible entre don \( - \infty\) y doña \( + \infty \). Quizá sea así en la recta real ampliada, pero no aquí. En este juego proyectivo resulta que esos dos lados de la recta aparentemente ajenos el uno al otro, al alejarse al infinito llegan a ¡juntarse! en un punto ideal, un único punto ideal del infinito (y más allá). Con ese puntazo, la abierta recta real deviene la cerrada recta proyectiva, en la que se juega el juego de transformaciones entre sus puntos, regido por la relación analítica
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Y este es un juego de grupo, que es lo que forman las transformaciones (no singulares) de Möbius.
Empezamos en el plano euclídeo proyectando con un centro rectas en rectas y obteniendo una relación analítica. Pero podemos pasar a unir en una ambas rectas, contando con nuestro punto ideal del infinito, y pensar sólo en ese grupo de transfomaciones de esa recta en sí misma. Todo lo que sea preservado por esas transformaciones lo podremos elevar a la categoría de enunciado de la geometría de la recta proyectiva.
La recta proyectiva real, aunque unidimensional, se entiende mejor en su inmersión bidimensional, pues resume ciertas características generales que se dan en el plano. Hay varias interpetaciones de la recta proyectiva, y de su punto ideal, en términos de elementos bidimensionales. Siguiendo a "Geometry by Its History", tres de ellas son las siguientes:
a) El conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen. Cada una de esas rectas del plano euclídeo es como un punto de la recta proyectiva. El punto ideal corresponde a la recta horizontal que pasa por el origen. Aunque estamos en el plano, solo nos interesan las rectas que pasan por el origen, los subespacios vectoriales de dimensión uno.
b) La circunferencia de radio unidad centrada en el origen de coordenadas, cuando se identifican como uno sólo los puntos antipodales. Qué bonito. Cada punto del plano proyectivo se asimila a cada par de puntos simétricos respecto al origen. De nuevo el punto ideal corresponde a una de tales parejas, una tan normal como el resto.
c) La circunferencia de diámetro unidad centrada en (0, 1/2), empleada en la proyección estereográfica desde el origen de coordenadas. Cada punto de dicha circunferencia se asimila a uno de la recta proyectiva, y el punto ideal de esta correspnde con el origen de coordenadas, que en cuanto a punto de esa circunferencia es uno como cualquier otro.
En la siguiente figura pintamos la recta proyectiva como la de ecuación y=1, y se muestra la relación de cada punto de la misma con los elementos indicados. Las distintas rectas que pasan por el origen del plano determinan el punto P sobre la recta proyectiva, el par de puntos B (en rojo y azul) sobre la circunferencia b, y el punto C sobre la circunferencia c (en verde). Cada punto de la recta proyectiva se puede especificar mediante sus coordenadas homogéneas, el par de abcisa y ordenada del punto P, o de cualquier otro punto sobre la recta que une P con el origen del plano euclideo, como pueden ser precisamente los puntos B o el C. Queda excluido el origen. Las coordenadas homogéneas del punto ideal son de la forma \( (k,0) \) con \(k \neq 0\).
