era un compendio de la equivalencia fundamental entre "punto de la recta proyectiva" y "recta que pasa por el origen de coordenadas", o "subespacio vectorial de dimensión \(1\) en espacio vectorial de dimensión \(2\)". Dejemos de lado los pares de puntos sobre la circunferencia b, o el punto sobre la circunferencia c. El punto P de la recta proyectiva con coordenada \( x \) tiene, en su inmersión en el plano bidimensional ordinario, coordenadas \( (x,1) \). Pero podemos usar como representante suyo cualquier punto ( como el C o cualquiera de los B ) de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por P, con las coordenadas homogéneas \( (x_1,x_2) \), es decir, tenemos \( x = x_1 / x_2 \).
¿Y de dónde viene la equivalencia? Realmente lo que da carta de naturaleza, lo que imprime carácter a la recta proyectiva, es el grupo de transformaciones descrito por la transformación de Möbius (siendo \(a d -b c \neq 0 \) )
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Esta transformación puede reescribirse en coordenadas homogéneas, usando \( x = x_1 / x_2 \) y \( x' = x_1' / x_2' \) como
\[
\frac{x_1'}{x_2'} = \frac{a x_1+b x_2}{c x_1+d x_2}
\]
Pero entonces resulta que las aplicaciones lineales no singulares del espacio vectorial bidimensional, que podemos expresar matricialmente por
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \end{array} \right] = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]
\]
con la condición \( a d - b c \neq 0 \), se corresponden con las transformaciones proyectivas de la recta. Toda aplicación lineal, en dimensión \(2\), se plasma en una transformación proyectiva, en dimensión \(1\). Puede haber distintas aplicaciones líneales que lleven a la misma transformación proyectiva. Por ejemplo todas en las que \( b=c=0 \ ; \ a = d = k \neq 0\) , que cambian un vector por otro múltiplo, dejan invariante cada subespacio vectorial monodimensional, y corresponden por tanto a la transformación proyectiva identidad. Hay un homomorfismo, que no isomorfismo, entre el grupo de aplicaciones lineales en dimensión \(2\) y el grupo de transformaciones de Möbius en dimensión \(1\). Ahí radica la equivalencia citada.
Otra relación interesante es la que hay entre la recta proyectiva y la recta afín. Esta última viene a ser lo que queda de la primera cuando restringimos las posibles transformaciones proyectivas entre puntos de la recta a únicamente aquellas que dejan fijo el punto ideal, del infinito, aquellas en que \( x=\infty \mapsto x'=\infty \). Esta restricción, vista en el ámbito del espacio vectorial de dimensión 2, implica quedarnos con aquellas aplicaciones lineales que dejan invariante la recta \( x_2=0 \), el eje de abcisas en la figura anterior.
Para imponer esta restricción a \( {x'}_2 = c x_1 + d x_2 \) debe ser \( c=0 \) , lo que nos lleva a quedarnos con las transformaciones de Möbius del tipo
\[
x \mapsto x' = \frac{a}{d} x + \frac{b}{d}
\]
que es justamente la expresión de una transformación afín en dimensión \(1\). En una dimensión tan reducida la aplicación afín más general consiste en combinar una traslación con una homotecia. Estas dos operaciones, trasladar y multiplicar la distancia a un punto dado por una constante, dejan el infinito en el infinito.
Al final vamos a parar a la concepción del Erlangen Program de Felix Klein, de que una geometría se determina por unos elementos junto con el grupo de transformaciones de los mismos. Si el grupo es muy grande, muy general, las propiedades invariantes por todo el grupo serán pocas, pero esenciales. Si restringimos nuestro interés a un subgrupo más pequeño de transformaciones, pueden aparecer más propiedades que resultan invariantes, y más específicas.
Las propiedades proyectivas en dimensión \(1\) son escasas. La razón doble es una propiedad proyectiva, pero no la razón simple. Al poner restricciones, por ejemplo al limitarnos a las transformaciones afines, surgen nuevas propiedades. En la recta afín la razón simple sí es un invariante. Si restringimos aún más, a sólo aquellas transformaciones que preserven la distancia entre puntos, tendremos la recta euclídea.
En el plano afín se estudiarán como relacionadas, como afines, susceptibles de ponerse en el mismo saco, figuras que no compararíamos ni relacionaríamos desde un punto de vista euclídeo. En la geometría euclídea ponemos en el mismo saco sólo las figuras congruentes, que pueden hacerse coincidir mediante un movimiento "rígido", o a lo sumo semejantes, que difieran sólo en la escala, pero no en la forma. El grupo de transformaciones admisibles es bastante reducido. Sin embargo afines pueden ser figuras no semejantes, deformadas una respecto a la otra por dilataciones o compresiones diferentes respecto de dos ejes distintos. Se amplía el grupo de transformaciones a considerar. Por cierto, el término afín se debe, como tantos otros, a Leonard Euler, y deriva del latín affinitas, relación por matrimonio. Euler quería transmitir que aunque una figura y su imagen afín no eran similares, no obstante estaban relacionadas (como cuenta I. M. Yaglom en la nota 63, p. 152, del muy recomendable "Geometries, Groups and Algebras in the Nineteenth Cebntury - A History").
En fin, todo está relacionado, euclídeo, proyectivo, lineal, afín, aunque saltando de dimensión. De una proyección central en un plano euclídeo (dimensión 2) se sacó la expresión analítica de las transformaciones proyectivas de la recta (dimensión \(1\) ), que pueden relacionarse con las transformaciones lineales del plano (dimensión \(2\) ).
Subiendo una dimensión, pasando de la recta al plano proyectivo, de dimensión \( 2 \), la cosa podría empezar con las aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión \( 3 \)
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{array} \right] =
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]
\]
Esta es la expresión, en términos de coordenadas homogéneas, con
\[
x= \frac{x_1}{x_3} \ \ \ ; \ \ \ y= \frac{x_2}{x_3}
\]
de las transformaciones del espacio proyectivo de dimensión \( 2 \)
\[
(x,y) \mapsto (x', y') = \left( \frac{a_{11} x +a_{12} y +a_{13}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} , \frac{a_{21} x +a_{22} y +a_{23}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} \right)
\]
Cada punto del plano proyectivo, plano que casi podemos "pintar" en el espacio tridimensional coincidiendo con el plano de ecuación \( x_3=1 \), viene representando de nuevo por una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Cada recta que pasa por el origen y está contenida en el plano \( x_3=0 \) equivale a un punto del plano proyectivo en el infinito, y todas ellas en conjunto forman la recta del infinito. Esta figura está basada en la figura 64 del magnífico "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" de Felix Klein, Dover. En junio de 2006 salió en Nivola, en la colección ciencia abierta nº 15, el primer volumen "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética, Álgebra, Análisis", pero parece que la traducción del segundo volumen, de Geometría, se hace de rogar, y hay que recurrir a Dover Publications Inc., Mineola, New York. Salvo que se domine el alemán como para mirar el manuscrito del autor.
Restringirnos a transformaciones proyectivas que apliquen esa recta del infinito sobre sí misma implica pedir que \( x_3 = 0 \mapsto {x'}_3=0 \), y para ello es necesario que \( a_{31}= 0 = a_{32} \), con lo que llegamos a las aplicaciones afines del plano
\[
\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] = \frac{1}{a_{33}} \left(
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \right)
\]
Otro día Kleineo un poco.
