El caso es que en el libro VI de los Elementos en las proposiciones 28 y 29 se construye sobre un segmento dado un paralelógramo de área igual a una dada, pero con un lado menor (Elleipsis) o mayor (Hyperbolè) que el segmento dado. Estas proposiciones expresan geométricamente cómo obtener una de las dos raíces de una ecuación cuadrática. Las notas de la versión greco-inglesa editada por Richard Fitzpatrick indican que en el primer caso se "resuelve" \( x^2-\alpha x+\beta \) con \( \beta < \alpha^2 / 4 \), y en el segundo se "resuelve" \( x^2+\alpha x+\beta \).
Todo esto antes de que Apolonio metiera el corte al cono.
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| http://archive.org/details/treatiseonconics00apolrich |
\[
A x^2 + B x y + C y^2 + F x + G y + H =0
\]
se clasifica según el valor
\( K = 4 A C - B^2 \) así:
si \( K < 0 \), es una hipérbola;
si \( K = 0 \), es una parábola;
si \( K > 0 \), es una elipse.
Vemos que \(F,G,H\) no deciden nada en cuanto al tipo de cónica.
Y cuando llegaron las ecuaciones en derivadas parciales, las de segundo orden en dos variables, tan queridas de la física-matemática, se clasifican en ...
\[
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial y^2}=f(x,y) \ \ \text{(hiperbólica)}
\]
\[
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}-\kappa \frac{\partial \phi}{\partial y}=f(x,y) \ \ \text{(parabólica)}
\]
\[
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}=f(x,y) \ \ \text{(elíptica)}
\]
Aquí tenemos algo similar a la ecuación analítica de una cónica, solo que ahora la \(x\) e \(y\), coordenadas de la cónica, se sustituyen por sendos operadores derivada parcial respecto de \(x\), y respecto de \(y\). La primera ecuación se reconoce mejor como la ecuación de ondas si en vez de \(y\) ponemos \(t\), y con idéntico cambio la segunda se parece más a la forma habitual de la ecuación del calor de Fourier.
El caso "general"
\[A(x,y) \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}+B(x,y) \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x \partial y}+C(x,y) \frac{\partial ^2 \phi}{\partial y^2} + F(x,y) \frac{\partial \phi}{\partial x} +G(x,y) \frac{\partial \phi}{\partial y} + H(x,y) =0
\]
se clasifica como hiperbólico, parabólico o elíptico, en un punto \( (x_0,y_0)\) , con el mismo criterio que el empleado antes, mirando el valor de
\[4 A(x_0,y_0) C(x_0,y_0) - {B(x_0,y_0)}^2
\]
Cuando los coeficientes son constantes tenemos que la clasificación en un tipo u otro es la misma para todos los puntos.
Es curioso que las ecuaciones parabólicas describan procesos de difusión, o el flujo de calor, y las hiperbólicas describan sistemas vibrantes y movimiento ondulatorio. Pero las elípticas son más "cerradas", describen fenómenos estacionarios, como en las ecuaciones de Laplace y Poisson, donde cobran especial importancia las condiciones de contorno.
Esta tríada cónica también aparece en el ámbito mismo de la geometría, pero no ligada a algo tan concreto como cortes a un cono, sino a un nivel más "trascendental": la falta de hegemonía de la mismísima geometría por excelencia, la única, la Geometría Euclídea. Uno de los hilos más largos y preciosos de la historia de las matemáticas es el devenir del quinto postulado de Euclides
Que si una recta incide sobre otras dos formando del mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, al prolongarlas indefinidamente se encontrarán por el lado en que los ángulos sean menores que dos rectos.Con este enunciado no es de extrañar que se buscara "prescindir" del quinto, que debería deducirse de los cuatro anteriores, estos bien sencillos y obvios. Siglos y siglos pasaron, falsos éxitos se dieron, pero en el sigo XVIII, con las luces, se dio un progresivo acercamiento a la "solución", que al final obtuvo para sus adentros el gigante Gauss, y para pasar a la posteridad Nikolái Lobachevski por un lado y János Bolyai por el otro. La solución es sencilla, el quinto no se puede deducir de los otros cuatro, y puede negarse sin por ello dar lugar a contradicción. Más bien se da entonces lugar a ... una geometría no euclidea, la geometría hiperbólica. Es curioso que la aparición de esta es todo un acontecimiento cataclísmico, mientras que otra geometría no euclidiana, la geometría elíptica, había tenido un "familiar" bien estudiado y provechoso, la geometría esférica sobre la superficie de una esfera tridimensional.
Tenemos tres opciones, correspondientes a cada miembro del triunvirato. Aunque es poco común oir hablar de "geometría parabólica", esta podría ser la denominación de la geometría euclidea. Según la wikipedia inglesa,
Klein es responsable de los términos "hiperbólico" y "elíptico" (en su sistema llamó "parabólica" a la geometría euclídea, un término que no ha sobrevivido el paso del tiempo)En esta otra parte de la wikipedia inglesa se recoge la disconformidad de H. S. M. Coxeter, uno de los grandes geómetras del siglo XX, con el término "elíptico":
El nombre elíptico es tal vez equívoco. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino solo una analogía algo traída por los pelos. Una cónica central se llama elipse o hipérbola según no tenga asíntota o bien tenga dos. Analogamente un plano no euclídeo se llama elíptico o hiperbólico según que cada una de sus líneas o bien no tenga punto alguno en el infinito o bien tenga dos.A mí la analogía no me parece tan extravagante, más bien esclarecedora, por la similitud de "tres casos" con el intermedio (parábola) como límite separador entre los otros dos. Además las tres geometrías se "unifican" bajo el regazo de la geometría proyectiva, que para Arthur Cayley era "toda la geometría", y es en ese regazo en el que los tres tipos de cónicas también se mezclan y transforman entre sí, pues el cono doble es el heraldo mismo de la proyección.
El caso es que tendríamos algo así:
Geometría elíptica: por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela, una forma drástica de negar el quinto postulado euclídeo; la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que dos rectos; curvatura positiva, constante en el caso de la geometría esférica.
Geometría "parabólica", o euclídea: por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela, una de las formulaciones equivalentes del quinto postulado; la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos; curvatura constante nula.
Geometría hiperbólica: por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela (¡infinitas!), otra forma de negar el quinto de Euclides; la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos; curvatura negativa, constante en el caso del plano hiperbólico.
Tanto el caso elíptico como el hiperbólico pueden, localmente, aproximarse tanto como se quiera al "parabólico". Para triángulos suficientemente pequeños en las tres geometrías la suma de los ángulos es de casi dos rectos, con un casi proporcional al área del triángulo, por exceso en el caso elíptico, por defecto en el hiperbólico, y con un casi plenamente nulo en el caso parabólico.
Pero es globalmente donde las tres geometrías muestran sus diferencias. Ahí, globalmente, es donde la geometría esférica resulta ser sólo un "pariente" pero no un modelo de la geometría elíptica. Para conseguir tal modelo hay que recurrir a identificar los puntos antipodales sobre la esfera. Y ello para que sea válido uno de los postulados euclideos básicos, que por todo par de puntos distintos pasa una y solo una línea recta. En la esfera, considerando que las "rectas" son los círculos máximos, por los polos Norte y Sur (o cualquier otro par de puntos antipodales) pasan infinitas rectas. Al identificarlos, asunto arreglado, tenemos entonces un modelo genuino de geometría elíptica plana, pero con una estructura topológica global completamente diferente a la esférica: la esfera es una superficie de dos caras, el plano elíptico es una superficie de una sola cara, ¡que contiene una cinta de Möbius!
