Klein presenta estas transformaciones como "evolución" de las anteriores transformaciones dualísticas: la relación bilineal de \(x\) e \(y\) con \(x'\) e \(y'\),
\[
a_1 x x'+b_1 x y' + c_1 x + a_2 y x' + b_2 y y'+c_2 y - a_3 x' - b_3 y' - c_3=0
\]
se generaliza a cualquier relación expresada mediante la aequatio directrix, o ecuación directriz, denominación debida a Plücker:
\begin{equation}\label{eq1p111}
\Omega(x,y;x',y') = 0
\end{equation}
siendo \(\Omega\) una función de las coordenadas de los planos \(E\) y \(E'\), arbitraria salvo por cumplir unas mínimas condiciones de continuidad. La siguiente figura, esta vez una recreación de las figuras 79 y 80 de "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry", o de Geometría traducido por R. Fontanilla, es muy conveniente para entender la relación entre los dos planos.
A cada punto \(P\) del plano \(E\) se le asocia una curva \(C'_P\) en el plano \(E'\) determinada precisamente por esa ecuación (\ref{eq1p111}) tomando las coordenadas de \(P\) como constantes. A cada punto \(Q'\) del plano \(E'\) le corresponde una curva \(C_{Q'}\) en el plano \(E\). Si \(Q'\) pertenece a la curva \(C'_P\), entonces su curva asociada, \(C_{Q'}\), debe pasar por \(P\).
Al recorrer \(P\) una curva \(K\) en \(E\) se obtiene una familia de curvas en \(E'\) cuya envolvente es otra curva \(K'\) en \(E'\). Así se establece una relación entre las curvas de los planos \(E\) y \(E'\) obtenida de \(\Omega=0\) . En detalle, lo que se deduce es una relación entre elementos-de-línea entendidos como un punto \(P(x,y)\) y una dirección \(PP_1\), la de la tangente a \(K\) en \(P\) cuando \(P_1(x+dx,y+dy)\) se acerca a \(P\) sobre \(K\).
La curva \(C'_P\) asociada a \(P\) es \(\Omega(x,y;x',y')=0\) y la \(C'_{P_1}\) asociada a \(P_1\) en el límite hasta términos lineales puede ponerse como
\[
\Omega(x+dx,y+dy;x',y') = \Omega(x,y;x',y') + \frac{\partial\Omega}{\partial x}dx + \frac{\partial\Omega}{\partial y}dy= 0
\]
Usando \(p=dy/dx\), tangente del ángulo definido por \(PP_1\), la intersección de ambas curvas, en el límite, da el punto \(P'\) de tangencia a \(K'\). \(P'\) se obtiene por tanto de las dos ecuaciones
\begin{equation}\label{eq2p112}
\begin{aligned}
\Omega(x,y;x',y') &= 0 \\
\frac{\partial\Omega}{\partial x} + \frac{\partial\Omega}{\partial y} p &= 0
\end{aligned}
\end{equation}
La tangente a \(K'\) en \(P'\) es la tangente a \(C'_P\) en ese mismo punto, que se expresa por
\[
\frac{\partial\Omega}{\partial x'}dx' + \frac{\partial\Omega}{\partial y'}dy'= 0
\]
y puede ponerse, empleando \(p'=dy'/dx'\), como
\begin{equation}\label{eq3p112}
\frac{\partial\Omega}{\partial x'} + \frac{\partial\Omega}{\partial y'} p'= 0
\end{equation}
Así, dados en \(E\) un punto \(P\) y una dirección \(p\) , mediante \(\Omega\) se les hace corresponder un punto \(P'\) y una dirección \(p'\) en \(E'\), que se determinan resolviendo las ecuaciones (\ref{eq2p112}) y (\ref{eq3p112}). Queda claro el nombre dado por Lie de transformaciones de contacto: dos curvas que se tocan en un punto \(P\), son tangentes una a la otra, se transforman en otras que también se tocan, son tangentes una a la otra en \(P'\). La tangencia de dos curvas es un invariante bajo una transformación de contacto.
Conviene no dejarse engañar por la notación, no hay una correspondencia entre los puntos \(P\) y \(P'\), pues \(P'\) depende tanto de \(P\) como de \(p\), o de la curva \(K\) que se considere.
En cuanto al excelente MathJax, que llevo usando hace ya bastantes entradas, hoy he practicado por primera vez con la numeración de ecuaciones y con la referencia a dichas ecuaciones. Nada como esas páginas de ejemplo para aprender. He tenido que actualizar la plantilla de blogger para incluir lo indicado sobre numeración automática de ecuaciones.
