La catenaria en su forma más habitual y sencilla se presenta, con la forma de cadena colgante, como la curva coseno hiperbólico \(y(x)=\cosh(x)\), que en forma paramétrica es \((x,y)=(t, \cosh(t))\). Pero en nuestro caso, para estudiar su relación con la tractriz dibujada con el eje vertical, vamos a usar la catenaria "tumbada" hacia la derecha, es decir, la curva expresada en forma paramétrica como \((x,y)=(\cosh(t), t)\).
La catenaria es la evoluta de la tractriz: la envolvente de las rectas normales a la tractriz, el lugar geométrico de los centros de curvatura de la tractriz.
Imaginemos un hilo inextensible con un extremo sujeto a la catenaria lejos en la parte superior derecha, tensado sobre la catenaria de modo que el otro extremo está en el vértice \((1,0)\). Si desenrollamos el hilo gradualmente manteniéndole siempre tenso, el extremo libre describe precisamente la curva tractriz, que por eso es la involuta, o evolvente, de la catenaria.
Desde el extremo libre el hilo va recto hasta contactar tangencialmente con la catenaria. El segmento del hilo entre la tractriz y el punto de tangencia a la catenaria tiene una longitud igual a la de la catenaria desde ese punto de tangencia hasta el vértice. Esa longitud es a la vez la medida del radio de curvatura de la tractriz en el punto en que se encuentra el extremo libre del hilo, y el segmento es normal a la tractriz en ese punto. Las sucesivas posiciones del segmento describen las tangentes a la catenaria que, como hemos dicho, la envuelven.
Así de simple. Y estas relaciones geométricas se plasman en otras analíticas que demuestran que la tractriz cumple la otra definición como "curva del perro"; que nos dan una expresión paramétrica para la tractriz; y también que la curvatura de la superficie de revolución generada por la tractriz, la seudoesfera, es constante.
Refiriéndonos a esta otra figura, \(CTE\) es tangente a la catenaria en el punto \(C(x_C,y_C)\), el punto \(T(x_T,y_T)\) de la tractriz es el extremo libre del hilo desenrrollado, y el punto \(E(x_E,y_E)\) es el de corte de la tangente con el eje \(y\), asíntota de la tractriz.
Primero veamos que \(CT=1/ET\), recordando que \(\cosh^2(t) - \sinh^2(t) = 1\), y las derivadas de funciones hiperbólicas. Por un lado \(CT\) es igual a la longitud de la catenaria entre \((1,0)\) y \(C: (\cosh(t),t)\)
\begin{equation*}
\begin{aligned}
CT & = \int_0^{x_C} \sqrt{1+\left( \frac{dy}{dx}\right)^2} \ dx \\
& = \int_0^{t_C} \sqrt{1+\frac{1}{\sinh^2(t)}} \ \sinh(t) dt \\
& =\int_0^{t_C} \sqrt{\sinh^2(t) +1 } \ dt = \int_0^{t_C} \cosh(t) dt \\
& = \sinh(t_C)
\end{aligned}
\end{equation*}
Por otro lado podemos calcular \(CE\) al conocer las coordenadas de sus puntos extremos. \(C:(x_C,y_C)=(\cosh(t_C),t_C)\) . La tangente \(CTE\) tiene como pendiente \(dy/dx = 1 / \sinh(t_C)\). La ecuación de la recta \(CTE\) es
\[
\frac{y - y_C}{x -x_C} = \frac{1}{\sinh(t_C)}
\]
Para el punto \(E\), por tanto para \(x=0\), resulta que
\[
y_E=y_C-\frac{x_C}{\sinh(t_C)} = t_C - \frac{\cosh(t_C)}{\sinh(t_C)}
\]
\[
CE=\sqrt{x_C^2 + (y_C-y_E)^2} = \frac{\cosh^2(t_C)}{\sinh(t_C)}
\]
\[
ET= CE - CT = \frac{\cosh^2(t_C)}{\sinh(t_C)} - \sinh(t_C) =
\frac{\cosh^2(t_C)-\sinh^2(t_C)}{\sinh(t_C)} = \frac{1}{\sinh(t_C)}=\frac{1}{CT}
\]
Esta es la justificación de que la superficie de revolución generada por la tractriz al girar entorno al eje \(y\), la seudoesfera, tenga curvatura constante. Pues \(CT\) es uno de los radios de curvatura principales, el de la propia tractriz en el plano del dibujo. Y \(ET\) es el otro radio de curvatura principal, en una sección perpendicular al plano del dibujo. El producto de ambos radios de curvatura principales es constante, independiente del punto \(T\) de la seudoesfera. En el caso contemplado aquí el producto es igual a \(1\) al haber elegido la tractriz de radio unidad.
La ecuación de la tangente \(CTE\) también la satisface el punto \(T\) de la tractriz,
\[
\frac{y_C - y_T}{x_C -x_T} = \frac{1}{\sinh(t_C)}
\]
junto otra condición:
\[
CT^2 = (x_C-x_T)^2+(y_C-y_T)^2 = \sinh^2(t_C)
\]
Usando la primera para eliminar \(y_T\) en la segunda, de esta se obtiene que \(x_T=1/\cosh(t_C)\), y entonces volviendo a la primera, resulta que \(y_T=t_C - \tanh(t_C)\). Obtenemos así una ecuación paramétrica de la tractriz:
\[
(x,y)= (1/ \cosh(t), t-\tanh(t) )
\]
Y una vez tenemos que \(T:(x_T,y_T)=(1/ \cosh(t_C), t-\tanh(t_C) )\), la recta que pasa por \(T\) y es perpendicular a \(CTE\), tiene por ecuación
\[
\frac{y - y_T}{x -x_T} = - \sinh(t_C)
\]
Las coordenadas del punto \(F\), son entonces \(F:(0, y_T+x_T \sinh(t_C)\) con lo que
\[
TF = \sqrt{ (y_F - y_T)^2+x_T^2} = \sqrt{\frac{ 1 + \sinh^2(t_C) }{\cosh^2(t_C}} = 1
\]
Es decir, la evolvente (o involuta) de la catenaria en efecto es la tractriz "curva del perro".
Las figuras y las expresiones analíticas se basan en Geometry of Surfaces, de John Stillwell, capítulo 4.
Los términos evoluta, evolvente, involuta, envolvente, pueden liarnos fácilmente. En Diccionario AKAL de Matemáticas , página 324, se define
Evoluta de una curva plana - Evolvente de las normales de esta curva. Es igualmente el lugar de sus centros de curvatura. La evoluta de un círculo está reducida al centro de ese círculo.comiéndose la "n" de "Envolvente" de manera desafortunada. Una evoluta de una curva es la eNvolvente de las rectas normales a esa curva. Sin embargo una evolvente no es la envolvente, la envolvente es la evoluta. En caso de duda, se puede recordar que la catenaria es la evoluta de la tractriz, envolvente de sus normales; y la tractriz es la evolvente, o involuta, de la catenaria. Claro ¿no?
