Una posibilidad es partir de unas nociones básicas y unos axiomas, agrupados en teoremas de conexión, teoremas de orden y propiedades de continuidad, con los que derivar lógicamente toda la geometría proyectiva del espacio. Después, desde ella, pasar a la geometría métrica al introducir el plano en el infinito y el círculo esférico imaginario. Pero aunque este sea para Klein el camino más simple, pues empieza operando con variedades lineales en el ámbito proyectivo, y sólo después en la métrica se adjunta una variedad cuadrática, reconoce su carácter abstracto y tedioso. Para la enseñanza en general es preferible otro método, que pasa a exponer.
Desarrollo de la geometría plana con énfasis en los Movimientos
Partimos de la noción de punto y recta, y axiomas de conexión, orden y continuidad. Respecto a los de conexión, a través de dos puntos siempre pasa una y sólo una recta, mientras que dos rectas tienen uno o ningún punto en común.
Se evita el rodeo por las proyectividades introduciendo de principio el grupo de \(\infty ^3\) movimientos en el plano, que han de definirse mediante una serie de axiomas guiados por nuestra experiencia con cuerpos rígidos. Un movimiento debe transformar todo punto en otro del espacio finito. Debe transformar toda recta en otra, sin excepciones, luego debe ser una colineación.
Dados dos puntos \(A\) y \(A'\), y rayos \(a\) y \(a'\) que pasan por tales puntos, siempre hay un único movimiento que transforma \(A\) en \(A'\) y \(a\) en \(a'\).
Es de especial relevancia que el grupo de los movimientos cuenta con un subgrupo, el de las \(\infty ^2\) traslaciones del plano. Una traslación que aplique \(A\) en \(A'\), aplica la línea que pasa por ambos puntos en sí misma. Aplicando repetidamente una traslación, un punto \(A\) se aplica sucesivamente en otros puntos \(A'\), \(A''\), etc., de la misma línea. Con las traslaciones convenientemente definidas aún no puede hablarse de coordenadas rectangulares, pero sí de coordenadas paralelas generales. Empleando dos rectas \(x\) e \(y\) que se cortan, y una traslación "unidad" según cada una de esas direcciones, el punto de intersección puede llevarse a cualquier otro de coordenadas enteras componiendo tales traslaciones unidad repetidas cierto número de veces. Pero también es factible definir las traslaciones "fraccionarias" sobre cada eje. La traslación que lleva el punto \(2\) del eje \(y\) sobre el punto \(1\) del eje \(x\) resulta que también lleva el punto \(1\) del eje \(y\) al que podemos definir como punto \(1/2\) del eje \(x\). Aunque parezca obvio, que esa traslación en efecto llegue a un punto del eje \(x\) debe asegurarse mediante un axioma de "entresidad": una línea que entre en un triángulo por un lado debe abandonarle atravesando por otro lado. Las coordenadas no se asignan midiendo segmentos, sino en base al grupo de traslaciones. Y una vez obtenidas las racionales, para conseguir las irracionales hay que emplear los axiomas de continuidad, que establecen la correspondencia única entre los puntos de una recta y los números reales. En este sentido Klein habla del trayecto (path curve) descrito por un punto \(A\) trasladado en cierta direccción, trayecto que es una línea recta. Al moverse el punto en una dirección dada recorre una línea recta, y va pasando de forma continua por los puntos de la recta en que \(A\) se aplica por las traslaciones en esa dirección.
Tras todo lo anterior se consigue relacionar todo punto del plano con su par de coordenadas numéricas. Podemos emplear el aparato analítico y expresar que toda línea recta viene dada por una ecuación de primer grado \(\alpha x + \beta y + \gamma =0\), que por ello se llama ecuación lineal.
Hasta aquí, usando el subgrupo de \(\infty ^2\) traslaciones podriamos también deducir la geometría afín y la proyectiva. En el ámbito de esta se citó el teorema de Möbius de que cada colineación es una transformación proyectiva, dada por tanto por una sustitución lineal integral o lineal fracional. Como en el caso métrico que nos ocupa los movimientos son colineaciones, pero transforman puntos finitos en puntos finitos, todo movimiento corresponderá a una sustitución lineal integral de las coordenadas \(x,y\).
Para llegar a introducir la noción de métrica y de ángulo entre líneas ya no bastan las traslaciones, hemos de usar el grupo entero de movimientos, como las rotaciones en torno a un punto \(O\) que dejan al mismo fijo. Por el axioma anterior, solo hay un movimiento que lleve un rayo \(a\) a otro \(a'\), ambos pasando por \(O\). Al igual que en las traslaciones se asumía una continuidad, y un punto trazaba un trayecto rectilíneo, las rotaciones de forma continua llevan un punto \(A\) distinto a \(O\) según un trayecto cerrado, comunmente llamado circunferencia de centro \(O\). Los segmentos \(OA\), \(OA'\), etc., para cada punto del trayecto de \(A\) por las rotaciones en torno a \(O\), son congruentes.
También la repetición de rotaciones puede establecer una escala numérica para las mismas, como pasaba con las traslaciones. Como hay una rotación que debe equivaler a la identidad, podría tomarse como unidad, pero por tradición Klein elige la rotación de ángulo recto, aquella que repetida cuatro veces equivale a la identidad. En tal caso las rotaciones se parametrizan por el intervalo desde \(0\) a \(4\).
Las traslaciones permiten llevar la escala de las rotaciones respecto a un punto \(O\) para usarla en las rotaciones respecto a otro punto \(O_1\). Para ello se emplea el carácter de grupo que tienen los movimientos. Se consigue así el equivalente a "todos los ángulos rectos son congruentes" de los elementos de Euclides.
Las rotaciones permiten llevar la escala sobre una línea \(x\) a otra \(y\) que la corte, dando sentido al concepto de distancia entre dos puntos. Y con el ángulo recto disponible, podemos emplear las coordenadas rectangulares en lugar de las coordenadas paralelas generales.
Para determinar las expresiones analíticas de las rotaciones en coordenadas rectangulares, Klein apela al conocimiento de la exponencial compleja. Por esa vía, sin apelar a noción geométrica alguna, se llega a la conveniencia de usar como escala de rotaciones no 1 para el ángulo recto, sino \(\pi/2\), con lo que una rotación de parámetro o ángulo \(\omega\) se expresa por las fórmulas habituales. Entonces, interpretando geometricamente los resultados analíticos, se deduce el teorema de pitágoras, y el significado geométrico de las funciones trigonométricas. Se tienen las expresiones analíticas de la distancia entre dos puntos, o del ángulo entre dos direcciones.
Finalmente se introduce el concepto de área, llegando a la expresión del área de un triángulo mediante el determinante con los tres pares de coordenadas, expresión con la que se empezó la obra. También trata la noción de curva plana en general, la de longitud del arco de una curva, y la de área del sector entre la curva y dos radiovectores a puntos sobre la misma.
En resumen,
este primer desarrollo de la geometría se caracteriza por situar en primer plano la existencia y la estructura de un grupo triparamétrico de movimientos, introduciendo coordenadas para hacer las subsiguientes inferencias exclusivamente dentro del campo de la aritmética.
Otro desarrollo de la geometría métrica - El rol del axioma de las paralelas
La alternativa al primer desarrollo expuesto sigue la senda empleada desde Euclides, evitando escrupulosamente usar la idea de movimiento, pues ello conllevaría usar la noción de tiempo, ajena a la geometría.Primero se parte como antes de los puntos, líneas y axiomas de conexión, orden y continuidad. En segundo lugar se introducen de principio la distancia entre dos puntos y el ángulos entre dos líneas, junto con los axiomas que permitan su medida mediante números. En tercer lugar, a falta de movimientos, se llega al primer teorema de congruencia: si dos triángulos tienen iguales dos lados y el ángulo incluido, entonces son congruentes, iguales en todas sus partes. Después puede proseguirse con la presentación tradicional del teorema de pitágoras y otros resultados.
Pero resulta necesario introducir un último axioma referido a la teoría de las paralelas. En el primer desarrollo, el carácter del grupo de traslaciones establecía las paralelas como caminos trazados a resultas de las traslaciones en la misma dirección. Pero ahora, considerando una línea \(g\) y un punto exterior \(O\), los rayos desde \(O\) a puntos distintos de \(g\) que se alejan de \(O\) en uno u otro sentido llegan a definir en el límite de alejamiento infinito dos rayos, candidatos a ser llamados "paralela a \(g\) que pasa por \(O\)". El axioma necesario viene a decir que esas dos posibiliddes son una misma y única línea, la paralela a \(g\) por \(O\).
Cita Klein los intentos, desde la antigüedad, de convertir este hecho intuitivamente cierto en teorema deducible del resto de axiomas precedentes, y que sólo en el siglo XIX se llegó a establecer que otra geometría sin ese axioma de las paralelas era posible. Artífices principales fueron Gauss, en secreto, y el ruso Lobatschefsky y el húngaro Bolyay. Pero a continuación cita Klein a otro protagonista, Riemann, y su famoso "Über die Hypothesen welche der Geometrie zugrunge liegen". Ahí Riemann cuestiona la suposición de que la línea recta haya de ser de longitud infinita, y diferencia entre los conceptos de espacio infinito y espacio ilimitado. La superficie de una esfera no es infinita, pero es ilimitada. En ella la línea recta puede ser una curva cerrada, similar al círculo. Los rayos desde un punto exterior \(O\) a los puntos de una recta tal, al alejarse por ambos lados de la cercanía de \(O\) pueden "dar la vuelta" y retornar a las cercanías de \(O\), resultando que ¡no hay paralela alguna a \(g\) pasando por \(O\)! Aparece pues con Riemann una segunda clase de geometría no euclídea, en contraste con la descubierta por Gauss, Bolyai y Lobatschefsky.
Esto puede al principio parecer paradójico, pero el matemático observa pronto aquí una relación con la teoría ordinaria de las ecuaciones cuadráticas, que apunta una mejor comprensión del asunto. De hecho, una ecuación cuadrática tiene dos raices reales diferentes, o ninguna (siendo ambas imaginarias), o bien, como caso de transición, una raíz real doble. Esto es enteramente análogo a las dos paralelas diferentes de Gauss, a la ausencia de paralelas en Riemann, y finalmente al caso de transición de una paralela contada en dos formas, como la misma posición límite, en la geometría euclídea.
Tras lo cual Klein entra en unas breves consideraciones "filosóficas". La aparición de alternativas geometrías no euclídeas con soporte lógico igual de válido que la euclídea indica la insuficiencia de nuestra percepción para establecer la validez de un postulado como el de las paralelas.
En vista del hecho de que nuestra percepción espacial está adaptada solo a una parte limitada de espacio, y solo con un limitado grado de precisión, puede obviamente ser satisfecha tanto por una de las geometrías no euclídeas como por la euclídea.
Después entra Klein en el tratamiento matemático de la geometría no euclídea a través de la geometría proyectiva. Desde esta se había llegado a la geometría métrica adjuntando una forma cuadrática especial, \(\Phi_0=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\), en coordenadas de plano, y que igualada a cero representaba el círculo esférico imaginario. Las expresiones para el ángulo entre dos planos y la distancia entre dos puntos eran invariantes simultáneos de la figura dada (los dos planos o los dos puntos) y la forma \(\Phi_0\).
Pues bien, a la geometría no euclídea se llega por el mismo camino pero empleando otra forma cuadrática "próxima" a la anterior, \(\Phi =\alpha^2+\beta^2+\gamma^2- \epsilon \delta^2\), siendo \(\epsilon\) un parámetro que puede llegar a ser arbirariamente pequeño, positivo (caso no euclideo de Gauss), negativo (caso no euclideo de Riemann), o nulo (caso euclideo precedente con \(\Phi_0\)).
La adaptación para encontrar la expresión no euclídea del ángulo entre planos es bastante directa. Para la distancia no euclídea entre dos puntos hay más detalles, pero juega un papel esencial la forma \(f=\epsilon(\xi^2+\eta^2+\zeta^2) - \tau^2\).
Si buscamos el significado geométrico de la forma \(f\), y de las expresiones analíticas alcanzadas, resulta que tenemos, para \(\epsilon>0\), la geometría no euclídea de la primera clase, para \(\epsilon<0\) la de la segunda clase, y para \(\epsilon=0\) por supuesto la geometría euclídea. Desde luego no puedo dar aquí el argumento completo. Para ello he de referirles a mi artículo en el volumen 4 del Mathematische annalen. Entonces propuse para estas tres geometrías los nombres hiperbólica, elíptica, y parabólica, pues la existencia de dos paralelas reales, dos imaginarias, o dos coincidentes, corresponde precisamente con el comportamiento de las asíntotas de estas tres cónicas, respectivamente. Encontrará estos nombres frecuentemente en la literatura.
Volviendo a la primera forma de desarrollar la geometría euclídea, basada en los movimientos, la configuración del grupo de traslaciones llevaba ya implícita el axioma euclideo de las paralelas. Pero la geometría no euclídea puede desarrollarse también así.
Una ecuación homogénea general de segundo grado tiene diez términos y por tanto nueve constantes esenciales. En la colineación espacial más general hay quince parámetros arbitrarios, de modo que hay una sextuple infinidad de colineaciones que transforman una forma cuadrática dada, por ejemplo nuestra forma \(\Phi\), en sí misma. De hecho, esta es la condición de que las relaciones de medida que hemos introducido deban permanecer sin cambio. Así pues, también en cada geometría no euclídea hay un grupo sextuple-infinito de "movimientos" que dejan inalterados \(\omega\) y \(r\). (ángulo entre planos y distancia entre puntos)
Pero en el caso no euclideo no hay un subgrupo de los "movimientos" que pueda jugar el papel de las traslaciones en el caso euclideo.
Concluye Klein esta parte con varias observaciones: el reconocimiento de la geometría no euclídea y su relación con otras ramas de la matemática; la necesidad de que los maestros conozcan algo sobre la geometría no euclídea, pero que esta no se incluya en la docencia normal de la escuela. Sobre la influencia de la geometría no euclídea, destaca su impulso para estudiar el papel de cada uno de los axiomas y su dependencia lógica, en especial los de continuidad, y cita como fruto ejemplar de tales esfuerzos los "Grundlagen del Geometrie" de Hilbert. Pueden desarrollarse "pseudogeometrías" discretas, prescindiendo de los axiomas de continuidad, o una geometría no arquimediana. Lejos queda con esto la pretensión de una, la geometría, acorde con nuestra percepción.
Pero Klein se opone, no obstante, a una corriente nominalista en que todo se reduzca a un juego lógico con axiomas establecidos "por capricho"
Los axiomas de la geometría, de acuerdo a mi forma de pensar, no son arbitrarios, sino asertos razonables, inducidos en general por la percepción, y determinados en cuanto a su contenido preciso por su conveniencia.
El remate final del libro aborda consideraciones sobre las matemáticas griegas y sobre su obra principal, los Elementos de Euclides. Klein discrepa con la idea general de que los griegos de la antigüedad se esmeraron en unos pocos campos de saber en los que alcanzaron los mayores logros, como el de la geometría en el caso de las matemáticas, y con la excesiva consideración por los Elementos:
Los Griegos trabajaron fructíferamente no solo en geometría, sino en los más variados campos de las matemáticas; sin embargo hoy hemos ido más allá que ellos en todos los campos y ciertamente también en geometría.
No es una postura arrogante de Klein, sino tratar con justicia los Elementos. Esta obra de Euclides tiene un caracter muy específico, es un compendio o recolección pensada como una introducción, útil como preparación para los estudios filosóficos en general, interesada en construir un sistema lógico cerrado. Para tal fin Euclides prescindió de gran cantidad de conocimiento matemático existente en la época, como el referente a las cónicas sobre las que el mismo Euclides escribió una obra hoy perdida. Tampoco son representativos los Elementos de la forma de entender la matemática de los Griegos. Representa una corriente despectiva con los aspectos prácticos, o de matemática aplicada, como algo inferior. En contraste Klein cita la obra de Arquímedes y el carácter más global, incluyendo aspectos genéticos (como en el Método, los aspectos de génesis de las ideas que luego se plasman con rigor), práctivos y de cómputo, como la aproximación de \(22/7\) para \(\pi\). Como al parecer de Klein esa visión despectiva de los aspectos prácticos persiste en su tiempo, en la docencia de algunas universidades, deja clara su posición al respecto:
Debemos valorar con alta estima cualquier logro admirable, ya sea en el campo teórico o en el práctico, y debemos permitir que cada individuo se dedique a aquello a lo que sienta mayor inclinación. De esta forma cada persona se sentirá más versatil cuantos más talentos posea. Los más eminentes matemáticos, como Arquímedes, Newton, Gauss, siempre han incluido uniformemente tanto la teoría como las aplicaciones.
Tambien señala Klein algunas de las carencias de las matemáicas Griegas que se remediaron sólo con el Renacimiento: no tenían una aritmética o análisis independientes, ni fracciones decimales, ni una notación con el uso de letras, ni números negativos o imaginarios, su cálculo era geométrico, con operaciones que habían de interpretarse como segmentos u otras magnitudes geométricas y no con números.
En el repaso de los 13 libros de Euclides elogia especialmente el quinto, al parecer debido a Eudoxo, en que se establece en forma geométrica el equivalente del número real positivo, equiparable al desarrollo moderno de Dedekind.
Lo que se hace en el libro V es definir la igualdad entre dos razones \(a/b\) y \(c/d\)
de segmentos cualesquiera \(a,b,c,d\). La razón \(a/b\) la llama Euclides logos, y la igualdad de las dos razones, analogía, pero el significado de esta palabra ha sufrido una deriva, salvo en trigonometría al citar las analogías de Neper. Son agradables estos toques léxicos de Klein.
La igualdad de las razones se establece si resulta que para cualesquiera enteros \(m,n\), resulta que si \(m a > n b\) entonces \(m c > n d\), y si \(m a = n b\) entonces \(m c = n d\), y si \(m a < n b\) entonces \(m c < n d\).
Lo que no le gusta a Klein es que pueda seguirse enseñando en las escuelas esta exposición euclídea cuando los alumnos han tenido ya una presentación moderna del mismo tema, lo que puede conducir más a confusión que a otra cosa.
Los libros 7, 8 y 9 dedicados a la teoría de enteros y las fracciones racionales, en forma parcialmente geométrica, se muestra ajeno por completo al libro 5. En la actualidad, las fracciones racionales son un tipo especial de número real. El libro 10 es "especialmente tedioso y difícil de entender debido a su forma geométrica de expresión". Ya en el libro 11 empieza la estereometría, pero separada completamente de la planimetría. EL libro 12 aplica el método de exhaución. El 13 contiene la teoría de los sólidos regulares.
Con los Elementos la intención de Euclides era "la derivación lógica de todos los teoremas geométricos a partir de un conjunto de premisas establecidas de antemano". La nobleza del ideal ha dotado de una autoridad a los Elementos que hace que algunos (en Inglaterra especialmente) les consideren como insuperable exposición de los fundamentes de la geometría. Klein no discute el mérito e importancia histórica de los Elementos, pero hace un examen de los mismos desde la modernidad.
Y aquí concluye el repaso a la Geometría de La Matemática Elemental desde un punto de vista superior, de Felix Klein.
