ese tres irreducible y básico (tercera parte)

No hay dos sin tres, más si el título es ese tres ...

El caso es que al aplicar el método de los operadores P^(α)_ki a una función normalizada como
ξ = 1/√5 [ -1 -1 1 0 -1 1]^T
las
ξ_ij = √(|G|/n_α) P^(α)_ki ξ
que resultan no son ortonormales, como sí sucedía en los casos vistos de φ y χ. En estos dos casos teníamos una única componente 1 y el resto 0, respecto a la base inicial del álgebra del grupo. Al aplicar los 6 operadores de la Representación Regular a φ o a χ se obtiene un conjunto ortonormal de 6 funciones, con una sola componente 1 cada vez en una posición diferente. En el caso de ξ tenemos 6 funciones normalizadas, de norma 1, pero no ortogonales, luego no forman una base ortonormal, y al aplicar los operadores √(|G|/n_α) P^(α)_ki obtenemos funciones no ortonormales.

Lo que no impide que las 6 funciones formen una base respecto a la que la representación regular se diagonaliza, como se ve en Octave

xi = [-1 -1 1 0 -1 1]'; 
xi11=P3_11*xi;
xi22=P3_22*xi;
xi21=P3_21*xi;
xi12=P3_12*xi;
xi1=P1*xi; 
xi2=P2*xi; 
MCx=[xi1 xi2 xi11 xi21 xi12 xi22];
MCxI=eye(6)/MCx;
MCxI*Reg{1}*MCx
MCxI*Reg{2}*MCx
MCxI*Reg{3}*MCx
MCxI*Reg{4}*MCx
MCxI*Reg{5}*MCx
MCxI*Reg{6}*MCx

donde sin normalizar nada se consigue la diagonalización. Otra cosa sería hacer productos escalares con componentes referidas a esa base final no ortonormal, en que no valdrían las muchas y útiles expresiones que sólo son válidas usando una base ortonormal.

Es muy importante el hecho de que en la Representación Regular, al aplicar sus 6 operadores a un vector general, obtenemos 6 vectores linealmente independientes, y hay una matriz invertible que pasa de esos 6 vectores a otros 6 que forman una base final que diagonaliza las matrices de los operadores.  Esa matriz invertible 6x6 se compone de los elementos matriciales de todas las R.I. (Representaciones Irreducibles) del grupo: 4 elementos de la R.I. 3, que es 2x2, y un elemento de cada una de las 2 R.I. 1-dimensionales, por cada uno de los 6 operadores de la representación. Es lo mismo que expresan los operadores  P^(α)_ki pero puesto de otro modo. Si  ψ  es un vector general y ψ_g = T_g ψ , resulta que

  ψ^(α)_ki   =  √(|G|/n_α) P^(α)_ki ψ  =  √(n_α/|G|) ∑_g U^(α)*_ki(g) ψ_g

A la derecha aparecen combinaciones lineales de las seis ψ_g generadas con los operadores T_g de la Representación Regular, hechas con coeficientes obtenidos de todas las R.I. A la izquierda, al ir dando valores uno por una a los k e i para cada α, tenemos los 6 vectores de la base final "diagonalizante", precisamente la base en la que los operadores tienen la forma diagonal por cajas cuyos elementos son los U^(α)_ki(g) . Concretamente en nuestro caso para α=1 y también para α=2, tenemos k=i=1; y para α=3, ki toma los valores 11, 21, 12, y 22. La matriz de paso de los seis ψ_g a los seis ψ^(α)_ki  es unitaria gracias a las propiedades de ortogonalidad de los elementos matriciales de las R.I.

Pero ¿qué pasa si tenemos una representación reducible S de matrices 6x6 que contenga 3 veces la R.I. 3, y por tanto ninguna vez las R.I. 1 y 2? Encontraremos 3 bases de dos vectores cada una, transformándose según la R.I. 3, pero no será suficiente ahora partir de un único vector general para obtener las 3 bases. Resulta que en este caso nunca conseguiremos, al aplicar los operadores de esa representación a un vector general, más de 4 vectores linealmente independientes, en vez de los 6 del caso de la Representación Regular.

De un vector general  ψ  se obtienen ahora seis vectores ψ_g = S_g ψ . Pero podemos formar la combinación lineal
ψ_s = (ψ₁ +ψ₂ +ψ₃ +ψ₄ +ψ₅ +ψ₆ )
que verifica que para todo elemento del grupo
S_g ψ_s = ψ_s
con lo que ψ_s genera un subespacio invariante de dimensión 1 que se transforma como la R.I. 1, la trivial. Pero como esta R.I. no está contenida en la representación S, debe ser S_g ψ_s = 0 = ψ_s y tenemos una combinación lineal de los seis ψ_g igual a cero con coeficientes no nulos, por lo que son linealmente dependientes, y hay una relación entre ellos:
ψ₁ +ψ₂ +ψ₃ +ψ₄ +ψ₅ +ψ₆ = 0
Otra combinación posible es
ψ_a = (ψ₁ -ψ₂ -ψ₃ -ψ₄ +ψ₅ +ψ₆ )
que se transforma al aplicar los S_g como la R.I. 2, que de nuevo no está contenida en S por lo que también debe ser
ψ₁ -ψ₂ -ψ₃ -ψ₄ +ψ₅ +ψ₆  = 0
Estas dos relaciones reducen el conjunto de seis vectores ψ_g como máximo a cuatro vectores linealmente independientes.

Usando los  P^(αS)_ki definidos ahora usando los S_g , en vez de los T_g de la Representación Regular, lo que ocurre es que P^(1S) y  P^(2S) se anulan, algo coherente con que S no contiene ni la R.I. 1 ni la R.I. 2. Sólo nos quedan los cuatro  P^(3S)_ki  para, usando un ψ general, dar dos de las tres bases que se transforman según la R.I. 3. A partir de la diferencia entre ψ y su proyección sobre esas dos bases podemos obtener la tercera.

En el siguiente ejemplo con Octave se crea la representación S haciendo el producto de kronecker de la R.I. 3, matrices 2x2, con la matriz identidad 3x3, y obtener así una representación de matrices 6x6 que es reducible, por construcción, usando tres veces la R.I. 3, y sin contener pues las R.I. 1 y 2.  De hecho se definen las matrices de S respecto a la base "diagonalizante", y respecto a la misma se obtienen los operadores P^(αS)_ki , lo que no hace menos general el que sea P^(1S) = 0 = P^(2S) . Con un vector general ψ se generan los seis  ψ_g = S_g ψ y con la función rank() vemos que sólo 4 son linealmente independientes.


# representacion 6x6 contiene 3 veces R.I. 3
S33=cell(6,1);
for k=1:6
   S33{k}=kron(eye(3,3),U3{k});
endfor
# --- OPERADORES de PROYECCION y relacionados ---
Y3_11=(2/6)*(  U3{1}(1,1)*S33{1}+
               U3{2}(1,1)*S33{2}+
               U3{3}(1,1)*S33{3}+
               U3{4}(1,1)*S33{4}+
               U3{5}(1,1)*S33{5}+
               U3{6}(1,1)*S33{6});
Y3_22=(2/6)*(  U3{1}(2,2)*S33{1}+
               U3{2}(2,2)*S33{2}+
               U3{3}(2,2)*S33{3}+
               U3{4}(2,2)*S33{4}+
               U3{5}(2,2)*S33{5}+
               U3{6}(2,2)*S33{6});
Y3_21=(2/6)*(  U3{1}(2,1)*S33{1}+
               U3{2}(2,1)*S33{2}+
               U3{3}(2,1)*S33{3}+
               U3{4}(2,1)*S33{4}+
               U3{5}(2,1)*S33{5}+
               U3{6}(2,1)*S33{6});
Y3_12=(2/6)*(  U3{1}(1,2)*S33{1}+
               U3{2}(1,2)*S33{2}+
               U3{3}(1,2)*S33{3}+
               U3{4}(1,2)*S33{4}+
               U3{5}(1,2)*S33{5}+
               U3{6}(1,2)*S33{6});
Y3 = Y3_11 + Y3_22 # debe ser matriz identidad
Y1 = (1/6)*(U1{1}*S33{1}+U1{2}*S33{2}+U1{3}*S33{3}+U1{4}*S33{4}+U1{5}*S33{5}+U1{6}*S33{6}) # debe ser matriz 0
Y2 = (1/6)*(U2{1}*S33{1}+U2{2}*S33{2}+U2{3}*S33{3}+U2{4}*S33{4}+U2{5}*S33{5}+U2{6}*S33{6}) # debe ser matriz 0
psi=[1 2 -3 4 7 -13 ];
psig=cell(6,1);
for k=1:6
   psig{k}=S33{k}*psi';
endfor
psig{1}+psig{2}+psig{3}+psig{4}+psig{5}+psig{6} # debe dar 0
psig{1}-psig{2}-psig{3}-psig{4}+psig{5}+psig{6} # debe dar 0
[psig{1} psig{2} psig{3} psig{4} psig{5} psig{6} ]
rank([psig{1} psig{2} psig{3} psig{4} psig{5} psig{6} ]) # debe ser 4 o menos

ese tres irreducible y básico (segunda parte)

Y los operadores muy especiales, que nos ayudan a "proyectar" son ...

Por cada Representación Irreducible (R.I.) α, de dimensión n_α, se definen n_α² operadores como combinaciones lineales de los operadores T_gp (p=1,...,|G|) de la Representación Regular, combinaciones lineales cuyos coeficientes son los elementos de matriz de la R.I. α . De ellos (ver la primera línea de la anterior imagen) sólo los operadores con subíndices coincidentes son operadores de proyección, y su suma da el operador proyección sobre el subespacio invariante correspondiente a la R.I. α (ver la segunda línea). La suma sobre todas las R.I. de los operadores proyección sobre sus respectivos subespacios invariantes da el operador identidad (tercera línea).

La última línea indica la relación de la nomenclatura de las fórmulas con las variables usadas en Octave. Para S₃ tenemos

# --- OPERADORES de PROYECCION y relacionados ---
# P3_11 es la proyeccion sobre la fila 1 de la R.I. 3
# En la R. Regular se proyecta sobre un subespacio de dimension 2
P3_11=(2/6)*(  U3{1}(1,1)*Reg{1}+
               U3{2}(1,1)*Reg{2}+
               U3{3}(1,1)*Reg{3}+
               U3{4}(1,1)*Reg{4}+
               U3{5}(1,1)*Reg{5}+
               U3{6}(1,1)*Reg{6});
# P3_22 es la proyeccion sobre la fila 2 de la R.I. 3
# En la R. Regular se proyecta sobre un subespacio de dimension 2
P3_22=(2/6)*(  U3{1}(2,2)*Reg{1}+
               U3{2}(2,2)*Reg{2}+
               U3{3}(2,2)*Reg{3}+
               U3{4}(2,2)*Reg{4}+
               U3{5}(2,2)*Reg{5}+
               U3{6}(2,2)*Reg{6});
# Los 2 operadores siguientes no son proyecciones, pero sirven para formar los partner que 
# completan las bases de los 2 subespacios de dimension 2 que se tranforman segun la R.I. 3 
P3_21=(2/6)*(  U3{1}(2,1)*Reg{1}+
               U3{2}(2,1)*Reg{2}+
               U3{3}(2,1)*Reg{3}+
               U3{4}(2,1)*Reg{4}+
               U3{5}(2,1)*Reg{5}+
               U3{6}(2,1)*Reg{6});
P3_12=(2/6)*(  U3{1}(1,2)*Reg{1}+
               U3{2}(1,2)*Reg{2}+
               U3{3}(1,2)*Reg{3}+
               U3{4}(1,2)*Reg{4}+
               U3{5}(1,2)*Reg{5}+
               U3{6}(1,2)*Reg{6});
# Con P3_11 y P3_21 se obtiene una base de un subespacio de dimension 2 que se transforma segun R.I. 3
# Con P3_12 y P3_22 se obtiene una base de otro subespacio de dimension 2 que se transforma segun R.I. 3
# P3 proyeccion asociada a la R.I. 3, de dimension 2
# como la R. Regular contiene dos veces la R.I. 3, se proyecta sobre un subespacio de dimension 4
P3 = P3_11 + P3_22;
# P1 proyeccion sobre la R.I. 1, de dimension 1, trivial
P1 = (1/6)*(U1{1}*Reg{1}+U1{2}*Reg{2}+U1{3}*Reg{3}+U1{4}*Reg{4}+U1{5}*Reg{5}+U1{6}*Reg{6});
# P2 proyeccion sobre la R.I. 2, de dimension 1, antisimetrica
P2 = (1/6)*(U2{1}*Reg{1}+U2{2}*Reg{2}+U2{3}*Reg{3}+U2{4}*Reg{4}+U2{5}*Reg{5}+U2{6}*Reg{6});
# Debe ser P1+P2+P3 = eye(6)
all(all(P1+P2+P3-eye(6) < ones(6,6)*0.00001)) # debe dar 1

Con la Representación Regular es posible obtener las funciones base de cada R.I. contenida en la misma.  Partimos de una función φ (vector en el espacio vectorial de dimensión 6 en que se define la Representación Regular) y generamos seis funciones, usando los operadores  P^(α)_ki  Estas funciones resultan ser ortonormales si la función  φ de partida es tal que {T_gp φ} es un conjunto de 6 vectores ortonormales, lo que se verifica si elegimos φ = [1 0 0 0 0 0]^T .

Las R.I. 1 y 2 tienen dimensión 1, y figuran en la Representación Regular 1 vez, luego aportan cada una una función base:

φ₁=√(6/1) P⁽¹⁾ φ (base de R.I. 1)
φ₂=√(6/1) P⁽²⁾ φ (base de R.I. 2)

Se usa directamente el operador proyección sobre el subespacio invariante unidimensional correspondiente, y el factor √(|S₃|/n_α) sirve en este caso para normalizar el resultado.

En cuanto a la R.I. 3, figura en la Representación Regular dos veces, tendremos dos subespacios invariantes que se transforman según R.I. 3, cada uno con una base de 2 funciones base. En cada base una función se transforma según la fila 1 de la R.I. 3, y la otra función según la fila 2.

Primera base de R.I. 3 :
φ₁₁=√(6/2) P⁽³⁾₁₁ φ  (se transforma  según la fila 1)
φ₂₁=√(6/2) P⁽³⁾₂₁ φ  (se transforma  según la fila 2)

Segunda base de R.I. 3 :

φ₁₂=√(6/2) P⁽³⁾₁₂ φ  (se transforma  según la fila 1)

φ₂₂=√(6/2) P⁽³⁾₂₂ φ  (se transforma  según la fila 2)

En este caso se deben usar los 4 operadores con dos subíndices, no sirve por demasiado general el operador  proyección P⁽³⁾ sobre el subespacio invariante 4-dimensional. Tampoco basta con los operadores proyección  P⁽³⁾₁₁=P⁽³⁾₁ y P⁽³⁾₂₂=P⁽³⁾₂ , que proyectan sobre sendos subespacios 2-dimensionales de vectores que se transforman según la fila 1 por un lado, y según la fila 2 por el otro. Son imprescindibles los operadores con dos subindices distintos, que afortunadamente no son operadores de proyección, sino más bien de "cruce". Por ejemplo aplicando P⁽³⁾₂₁ a un vector que se transforma según la fila 1 (como φ₁₁ ) se obtiene otro "compañero" o partner, que se transforma según la fila 2 (como φ₂₁) y ambos forman una base que se transforma según la R.I. 3.  Esto en el ejemplo concreto de la base formada por  φ₁₁ y  φ₂₁ quiere decir que para todo elemento g del grupo se verifica que

T_g φ₁₁ = U⁽³⁾₁₁(g) φ₁₁ + U⁽³⁾₂₁(g) φ₂₁
T_g φ₂₁ = U⁽³⁾₁₂(g) φ₁₁ + U⁽³⁾₂₂(g) φ₂₁

En código Octave:

fi = [1 0 0 0 0 0]';
# para obtener vectores de norma 1 debe multiplicarse por el factor sqrt del cociente
# entre el orden del grupo y la dimension de la R.I. respectiva
fi1=sqrt(6/1)*P1*fi; # R.I. 1
fi2=sqrt(6/1)*P2*fi; # R.I. 2
fi11=sqrt(6/2)*P3_11*fi; # R.I. 3
fi22=sqrt(6/2)*P3_22*fi; # R.I. 3
fi21=sqrt(6/2)*P3_21*fi; # R.I. 3
fi12=sqrt(6/2)*P3_12*fi; # R.I. 3
# comprobar que fi11 y fi21 forman una base, transformandose entre si
numok=0;
for i = 1:6
   numok = numok + all((U3{i}(1,1)*fi11+U3{i}(2,1)*fi21)-Reg{i}*fi11 < ones(6,1)*0.00001);
   numok = numok + all((U3{i}(1,2)*fi11+U3{i}(2,2)*fi21)-Reg{i}*fi21 < ones(6,1)*0.00001);
endfor
numok  # debe ser 12
# comprobar que fi12 y fi22 forman una base, transformandose entre si
numok=0;
for i = 1:6
   numok = numok + all((U3{i}(1,1)*fi12+U3{i}(2,1)*fi22)-Reg{i}*fi12 < ones(6,1)*0.00001);
   numok = numok + all((U3{i}(1,2)*fi12+U3{i}(2,2)*fi22)-Reg{i}*fi22 < ones(6,1)*0.00001);
endfor
numok  # debe ser 12

Puede comprobarse que los seis vectores de la base final así obtenidos son ortonormales. La matriz M_final de un operador lineal en la base final se obtiene a partir de la matriz M_inicial del mismo operador en la base inicial mediante

M_final = C^-1 M_inicial C

cuando se define la matriz del cambio de base C como aquella cuya i-ésima columna da la expresión del i-ésimo vector de la base final como combinación lineal de los vectores de la base inicial.

(No es raro encontrar en la literatura que se llama matriz del cambio de base a la que tiene por columna i-ésima el desarrollo del i-ésimo vector de la base inicial en términos de los vectores de la final, con lo que según ese convenio C y C^-1 intercambian posiciones en la expresión anterior. Este convenio alternativo suele aparecer al tratar de cómo cambian las coordenadas de un vector al cambiar de base. Otra fuente de confusión con la que tener cuidado.)

Usando la fórmula anterior para cada operador de la representación Regular, podemos comprobar que en la base final sus matrices son en efecto diagonales por cajas, y en cada caja de R.I. con la submatriz de la R.I. correspondiente.

# la matriz de cambio de base es
MC=[fi1 fi2 fi11 fi21 fi12 fi22];
MCI=eye(6)/MC;
# matrices en la base final de los 6 operadores de la Representacion Regular
MCI*Reg{1}*MC
MCI*Reg{2}*MC
MCI*Reg{3}*MC
MCI*Reg{4}*MC
MCI*Reg{5}*MC
MCI*Reg{6}*MC

Se pueden definir unos operadores P^(α)_ki para cualquier representación, usando sus correspondientes operadores T_gp . Si se trata de una representación reducible 3-dimensional que contiene por ejemplo una vez la R.I. 1 y una vez la R.I. 3, solo tenemos que obtener una base de esta R.I. 2-dimensional, y hay una redundancia en el uso de los cuatro operadores, nos basta con P⁽³⁾₁₁ y P⁽³⁾₂₂ . Para representaciones reducibles que contengan la R.I. 3 más de dos veces, tenemos que obtener más de las dos bases que se puede sacar con los cuatro P⁽³⁾_ki en el caso de la Representación Regular, en que esos 4 operadores producían las 2 bases partiendo de un solo vector general.  Con más de 2 bases, se necesitá usar más de un vector de partida al que aplicar los operadores.

Pero volviendo a la Representación Regular, partiendo de φ = [1 0 0 0 0 0]^T se obtienen dos bases {φ₁₁ , φ₂₁ } y {φ₁₂ ,φ₂₂ } con 4 vectores ortonormales entre sí. Partiendo de otro vector diferente χ = [0 0 0 0 1 0]^T se obtienen otras dos bases ortonormales  (que se transforman según la R.I. 3)  {χ₁₁ , χ₂₁ } y {χ₁₂ ,χ₂₂ }.
Pues bien, hay dos resultados generales e importantes. Resulta que cualquier vector según la fila 1 de una base es ortogonal a un vector según la fila 2 de cualquier base. Por ejemplo :

φ₁₁ . χ₂₂ =  0 = φ₂₁ . χ₁₂

Y además, para cualesquiera dos bases el producto escalar de los respectivos vectores según la fila 1 y según la fila 2, son iguales. En nuestro ejemplo :

φ₁₁ . χ₁₂ = φ₂₁ . χ₂₂

De la misma forma para este otro par de bases :

φ₁₂ . χ₁₂ = φ₂₂ . χ₂₂

pero ¡ojo! puede ser que φ₁₁ . χ₁₂ ≠ φ₁₂ . χ₁₂  .

Conviene recordar que en las expresiones anteriores el primer subíndice indica la fila por la que se transforma el vector, y el segundo distingue las dos bases posibles partiendo de un vector dado, sea  φ  o  χ . En Octave podemos comprobar de golpe la última condición para los 4 posibles emparejamientos de las 2 bases obtenidas de un φ con las 2 obtenidas de un  χ , y las 8 condiciones de ortogonalidad:

fi = [1 0 0 0 0 0]';
fi11=sqrt(6/2)*P3_11*fi;
fi22=sqrt(6/2)*P3_22*fi;
fi21=sqrt(6/2)*P3_21*fi;
fi12=sqrt(6/2)*P3_12*fi;
chi = [0 0 0 0 1 0]'; 
chi11=sqrt(6/2)*P3_11*chi;
chi22=sqrt(6/2)*P3_22*chi;
chi21=sqrt(6/2)*P3_21*chi;
chi12=sqrt(6/2)*P3_12*chi;
# comprobar independencia de la fila del prod. escalar misma fila
# primer subindice indica fila, segundo diferencia bases 
# 4 combinaciones de 2 bases de fi con 2 de chi
all([  \
fi11'*chi11 - fi21'*chi21  \
fi12'*chi11 - fi22'*chi21  \
fi11'*chi12 - fi21'*chi22  \
fi12'*chi12 - fi22'*chi22  ] < ones(1,4)*0.00001) # debe dar 1
# Los 4 productos de cada combinacion no tienen por que coincidir :
[ fi11'*chi11 fi12'*chi11 fi11'*chi12 fi12'*chi12 ]
# comprobar ortogonalidad entre diferentes filas 
# de cualquier base de fi con cualquiera de chi
all([ 
fi11'*chi21 - 0  \
fi21'*chi11 - 0  \
fi12'*chi21 - 0  \
fi22'*chi11 - 0  \
fi11'*chi22 - 0  \
fi21'*chi12 - 0  \
fi12'*chi22 - 0  \
fi22'*chi12 - 0  ] < ones(1,8)*0.00001) # debe dar 1

Que el producto escalar entre vectores de distintas bases que se transforman según la misma fila de una R.I. sea independiente de la fila, está en la base del Teorema de Wigner-Eckart, y justifica que existan los elementos de matriz reducida.

Viene a implicar que, por ejemplo, si me topo con una representación reducible de dimensión 15 que contiene 5 veces una misma R.I. de dimensión 3, puedo encontrar para un operador escalar, como pueda ser el Hamiltoniano H de un sistema mecanocuántico suficientemente simétrico, una base 15-dimensional en que la matriz 15x15 de H se descomponga en 5x5 submatrices, cada una de ellas de 3 filas por 3 columnas, rellenas de ceros salvo en la diagonal, en que sus 3 elementos coinciden. Por tanto como valores distintos en la matriz 15x15 sólo tenemos 5x5 elementos, a los que se llama elementos de la matriz reducida. Y no está mal pasar de tener que calcular 225 números a reducir la cosa a sólo 25.

Fugaz felicidad que hay que aprovechar, ahora que creo entender lo que escribo, pues no tardando mucho veré esto mismo con extraños ojos de incomprensión.

ese tres irreducible y básico (primera parte)

Un grupo como S₃ es muy útil para plasmar en un ejemplo concreto las ideas abstractas, pues es muy sencillo, pero no totalmente trivial. Revisando la pasada entrega, qué grupo el ese tres, podemos decir que es un grupo no conmutativo de orden |S₃| = 6, con 3 clases por conjugación, y una tabla de Cayley que plasma su ley de grupo.

Resulta que con Octave se puede "cargar" esa tabla de Cayley y usarla por ejemplo para comprobar si cierto conjunto de matrices se multiplican como  los elementos del grupo. En vez de usar las letras e para el elemento identidad, a b y c para los tres ciclos de longitud 2 y f y g para los dos ciclos de longitud 3, usamos índices numéricos del 1 al 6, en función de los cuales la tabla de Cayley queda como se ve a la derecha en la figura siguiente, que incluye las otras dos formas alternativas de poner lo mismo.

En Octave definimos la tabla como una matriz, así, con comentarios incluidos:

# tabla de Cayley de S3, con entradas en el orden 
# g1=(1)(2)(3) ; g2=(12) ; g3=(23) ; g4=(31) ; g5=(123) ; g6 = (321)
# de modo que gi o gj = gk con k=Cayley(i,j) 
Cayley=[ 1 2 3 4 5 6 ; 
         2 1 5 6 3 4 ; 
         3 6 1 5 4 2 ; 
         4 5 6 1 2 3 ; 
         5 4 2 3 6 1 ; 
         6 3 4 2 1 5 ];

Aquí está expresada la ley del grupo. El valor en la fila i, columna j, es el índice del elemento obtenido al multiplicar el i-ésimo (a la izquierda) por el j-ésimo elemento. Con esa información se puede construir automáticamente la llamada Representación Regular (por la izquierda), un conjunto de |S₃| matrices de |S₃| filas por |S₃| columnas. A cada elemento i le asociamos una matriz |S₃|x|S₃|. Cada fila j de esa matriz esta llena de ceros, excepto un uno que se coloca en la columna k determinada por la ley de grupo g_i o g_j = g_k.

Con Octave podemos usar dos importantes caracteristicas suyas: los Cell Array y las Permutation Matrices. Con lo primero tenemos un contenedor para guardar las 6 matrices, e indexarlas con un valor de 1 a 6. La peculiaridad de las permutation matrices es que permiten definir directamente cada matriz de la Representación Regular a partir de cada fila de la tabla de Cayley. En código queda más corto que cualquier explicación:

# matrices de la Representacion Regular, usando las "permutation matrices" de Octave
# la permutacion para el elemento k la establece la fila k de la tabla de Cayley
# usando un Cell Array ponemos las 6 matrices indexadas en un contenedor
Reg=cell(6,1);
for k=1:6
   Reg{k}=eye(6)(:,Cayley(k,:));
endfor

Tenemos pues 6 matrices distintas, en código Octave Reg{1} a Reg{6}. Para comprobar que se multiplican exactamente igual que los elementos de S₃ podemos hacer todos los productos posibles y ver que se obtiene en cada caso lo correcto, algo como


# la funcion all() de Octave puede usarse para comprobar que las matrices 
# asi definidas cumplen la ley de grupo, concretada en la tabla de Cayley.
# all(all(Reg{6}==r6)) devuelve 1 mientras all(all(Reg{6}==r5)) devuelve 0 
# i=3;j=5; all(all(Reg{i}*Reg{j}==Reg{Cayley(i,j)})) debe dar 1
numok=0
for i = 1:6
   for j = 1:6
      numok = numok + all(all(Reg{i}*Reg{j}==Reg{Cayley(i,j)})) ;
   endfor
endfor
numok  # debe ser 36, 1 por cada producto correcto

Hacemos la prueba lógica de que Reg{i}*Reg{j} sea igual a Reg{Cayley(i,j)} y aprovechamos la función de Octave all(). La comprobación lógica al comparar dos matrices 6x6 da una matriz 6x6 llena de unos si las matrices comparadas son iguales. Solo entonces al aplicar la función all dos veces se llega a obtener el valor 1, mientras que si las matrices comparadas no son exactamente iguales, al final obtendriamos un 0.

Qué bonito representar nuestros abstractos e,a,b,c, f,g con matrices que les "siguen el rollo" de la ley de grupo. Por un lado la Representación Regular es una de una infinidad de representaciones posibles del grupo  con conjuntos de matrices.

Por otro lado, la Representación Regular es la Madre de Todas las Representaciones, pues la Representación Regular contiene todas las posibles Representaciones Irreducibles (R.I.), los bloques elementales en base a los cuales puede descomponerse cualquier representación del grupo. Además contiene cada R.I. repetida tantas veces como la dimensión de la R.I., el número de filas o columnas de las matrices que forman la R.I.

Nuestro pequeño y manejable grupo S₃ tiene 3 representaciones irreducibles, dos de ellas de dimensión 1 ("matrices" 1x1, es decir, números), y otra de dimensión 2 (de matrices 2x2).

La primera es común a todo grupo, y se llama trivial con razón, pues se hace corresponder a cada elemento del grupo el mismo entero 1. La segunda es la que asigna 1 a las permutaciones pares (e,f y g) y -1 a las impares (a,b y c). Ambos casos son ejemplos de homomorfismo entre S₃ y un conjunto de matrices. La ley de grupo se preserva estructuralmente, pero perdiendo detalle, al asociar a elementos diferentes de S₃ un mismo elemento del grupo de matrices. La tercera R.I. de S₃ es sin embargo fiel o exacta, cada una de sus 6 matrices es diferente y forma un grupo isomorfo a S₃. La elección de matrices de esta R.I. no es única, pero es conveniente usar matrices unitarias, como estas:

Con Octave definimos las 6 matrices que ponemos en un cell array para accederlas más convenientemente, y comprobar que en efecto se multiplican como debe ser. En la comprobación hay que hacer un "apaño" para tener en cuenta el error de redondeo al tratar con valores decimales y no enteros como antes.

# Representaciones Irreducibles (R.I.) de S3 :
# R.I. 1, de dimension 1, la trivial, unidad o simetrica, a todo elemento de S3 se le hace corresponder un 1
U1 = { 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1};
# R.I. 2, de dimension 1, la de signo o antisimetrica, se asocia 1 a las 3 permutaciones pares, y -1 a las 3 impares
U2 = { 1 , -1 , -1 , -1 , 1 , 1};
# R.I. 3, de dimension 2, exacta o fiel. Sus matrices unitarias se definen a continuacion. 
um=0.5; # 1/2 un medio
mr=0.5*sqrt(3); #  1/2 por la raiz de 3
U3_1=[  1  0 ;  0   1];
U3_2=[  1  0 ;  0  -1];
U3_3=[-um  mr; mr  um];
U3_4=[-um -mr;-mr  um];
U3_5=[-um  mr;-mr -um];
U3_6=[-um -mr; mr -um];
U3 = {U3_1, U3_2, U3_3, U3_4, U3_5, U3_6};
# Comprobacion de la ley de grupo
# Como las entradas no son enteras hay que tener en cuenta el error de redondeo, 
# de ahí usar la resta y la desigualdad
numok=0
for i = 1:6
   for j = 1:6
      numok = numok + all(all( U3{i}*U3{j}-U3{Cayley(i,j)} < ones(2,2)*0.00001 )) ;
   endfor
endfor
numok  # debe ser 36, 1 por cada producto correcto
# comprobacion de la unitariedad. 
numok=0
for i = 1:6
   numok = numok + all(all( U3{i}*(U3{i}') - eye(2) < ones(2,2)*0.00001 )) ;
endfor
numok  # debe ser 6, 1 por cada matriz unitaria, o elemento del grupo

Las 6 matrices originales de la Representación Regular tienen sus unos repartidos por todas las filas y columnas. Son la expresión de 6 operadores lineales en una base concreta de un espacio vectorial de dimensión 6. Como tal espacio vectorial podemos tomar el constituido por todas las combinaciones lineales (con coeficientes c_i complejos, por ejemplo) de los elementos del grupo, considerados estos como vectores linealmente independientes que generan el espacio vectorial:

V_G = { c₁ g₁ + c₂ g₂ + c₃ g₃ + c₄ g₄ + c₅ g₅ + c₆ g₆ }

Además de tener así un espacio vectorial, se tiene el llamado álgebra de grupo, pues además de la suma de vectores se define el producto de dos vectores en base al producto de grupo, extendido linealmente a todo elemento del espacio vectorial:

(Σ_ic_i g_i).(Σ_jd_j g_j) = Σ_iΣ_j c_id_j g_i.g_j

Por tanto un g ∈ G puede considerarse según las circunstancias como un elemento del grupo, un vector del espacio vectorial, o un elemento del álgebra, que a la vez puede considerarse como un operador lineal, el de la acción por la izquierda, cuya matriz es la asociada a ese mismo elemento en la Representación Regular. Por tanto la Representación Regular esta definida, respecto a la base inicial de los elementos del grupo, de coordenadas g₁=(1 0 0 0 0 0)^T, ..., g₆=(0 0 0 0 0 1)^T  , por las matrices

Vamos a encontrar otra base final, respecto a la cual las matrices de esos 6 operadores tengan la forma diagonal por cajas correspondiente a las diferentes R.I. Esta segunda base expresa directamente la descomposición del espacio vectorial 6-dimensional como suma directa de un subespacio 1-dimensional  que corresponde a la R.I. 1, otro subespacio 1-dimensional  que corresponde a R.I. 2, y un subespacio 4-dimensional  que corresponde a dos copias de la R.I. 3, por lo que se desglosará en dos subespacios 2-dimensionales. La forma de obtener los vectores (o funciones en la jerga más fisico-mecano-cuantica) de esta segunda base es emplear unos operadores muy especiales, que nos ayudan a "proyectar" sobre cada uno de los 4 subespacios mencionados.

To be continued ...