El arcoíris es uno de tantos estupendos regalos visuales de la naturaleza. En alguna ocasión el regalo es doble, como se observa en esta fotografía.
Además del arcoíris normal, o primario, por encima del mismo se observa el arcoíris secundario, menos intenso, más difuminado, y entre ambos una zona especialmente oscura, la llamada franja de Alejandro.
Hay una espectacular página explicativa (en inglés) de los fenómenos atmósféricos, incluidos los arcoíris, además de la wikipedia y otros muchos recursos, pero aún así aquí va otro "arcoíris", que de paso es una buena forma de aplicar Geogebra, un "Software de matemática, libre, para enseñar y aprender".
La explicación del fenómeno óptico usa unos pocos conceptos básicos. La luz se propaga en línea recta, según haces de rayos. Las pequeñas gotas de lluvia en suspensión son esféricas. En estas esferas de agua los rayos incidentes se someten a las leyes de refracción (la ley de Snell) y de reflexión. Como la luz del Sol está compuesta de muchos colores, también interviene el fenómeno de la dispersión, por el que el índice de refracción del agua varía con el color de la luz.
El esquema explicativo se muestra en el siguiente applet 1 de Geogebra.
applet 1: rayos primario y secundario del arcoíris |
En el applet 1 se puede mover el control que hace variar h entre sus extremos 1 y -1. Para valores entre 0 y 1 el rayo primario sale con un ángulo δ respecto al rayo incidente, hacia abajo; el rayo secundario sale hacia arriba. Para valores de h entre 0 y -1 se ve la simetría de la situación, el rayo primario va hacia arriba y es el secundario el que va hacia abajo. Otro control del applet, n, nos permite variar el índice de refracción usado al calcular el ángulo de refracción, que equivale a variar el color del rayo incidente. Aproximadamente para un rayo azul se tiene n=1.338 y para uno rojo n=1.332. El control permite una variación mayor para apreciar mejor el efecto. Los controles de GeoGebra admiten un menú desplegable al pulsar el botón derecho del ratón, y una de las opciones es "Animación Automática". Cuando se elige, se puede pausar o reiniciar la animación mediante un botón que aparece en la esquina inferior izquierda del applet.
El ángulo δ es el que interviene en la formación del arcoíris: es el formado entre la visual del observador a la gota (dirección en la que llega al ojo el rayo, ya sea principal o secundario) y la dirección de los rayos del Sol. En el siguiente applet 2 se esquematiza la situación del arcoíris.
applet 2: geometría externa del arcoíris |
El otro control del applet 2 nos permite variar δ aunque en un margen muy estrecho, aproximadamente el correspondiente al arcoíris primario. ¿Por qué se ven los vivos colores del arcoíris sólo en un margen estrecho de ángulos cuando en el applet 1 los posibles valores de δ al variar h entre 1 y -1 abarcan un amplio rango? Podemos hacernos una idea con la siguiente gráfica (izquierda; detalle ampliado a la derecha), que presenta el ángulo δ del rayo refractado, primario y secundario, en función del valor del parámetro de impacto del rayo incidente.
El ángulo δ varía bastante con h, salvo en el máximo de la curva del arcoíris primario (o el mínimo del secundario). Para el ángulo en que la curva del color rojo alcanza su máximo, no se encuentra ningún rayo azul, y sí una acumulación de rayos rojos con valores de h cercanos al correspondiente al máximo. Y para el ángulo en que se alcanza el máximo de la curva azul, los rayos rojos coincidentes corresponden a valores de h alejados del máximo rojo, que no "enturbian" la aportación del máximo azul. Por ello el ángulo δc con el que vemos un color del arcoíris es aquel en que se alcanza el máximo en la curva δ versus h para ese color. Es este ángulo el que se varía en el control del applet 2.
La gráfica muestra también el orden inverso de los colores del arcoíris secundario respecto al primario, y que en aquel la separación de colores es mayor, al haberse acumulado más refracción. Las mismas gotas que contribuyen al arcoíris primario con su mitad superior (h>0), contribuyen al secundario con su mitad inferior (h<0). También podemos ver el origen de la oscuridad en la franja de Alejandro: en el rango de ángulos entre el máximo del arcoíris primario y el mínimo del secundario no hay rayos primarios ni secundarios de ningún color. Sí los hay en cambio por debajo del primario y por encima del secundario.
Por cierto, el máximo (y el mínimo) de la anterior gráfica se pueden "ver" con el applet 1, seleccionando el control h y variando su valor poco a poco con las teclas de flecha arriba o abajo. En la zona de máximo el rayo principal apenas cambia su ángulo al cambiar h. La configuración geométrica del applet 1 permite deducir las fórmulas para el ángulo δ mostradas en la gráfica izquierda.
En el apartado "cómo se hizo", para obtener el par de gráficas anterior se ha usado, como no, Octave, con el siguiente código
# h parametro de impacto
h=[0.0:0.001:1];
nazul=1.338
nrojo=1.332
#
function [fy] = deltaprimario(h,n)
fy = (4*asin(h/n)-2*asin(h))*180/pi;
endfunction
function [fy] = deltasecundario(h,n)
fy = (-6*asin(h/n)+2*asin(h)+pi)*180/pi;
endfunction
#
subplot(1,2,1)
plot(h,deltaprimario(h,nrojo),'-r',h,deltaprimario(h,nazul),'b',h,deltasecundario(h,nrojo),'-r',h,deltasecundario(h,nazul),'b')
hold on
set (gca (), "xlim", [0., 1]);
set (gca (), "ylim", [0, 180]);
cuadrox=[0.01,0.99,0.99,0.01,0.01]
cuadroy=[43, 43, 50,50,43]
plot(cuadrox,cuadroy,'-.k')
set(text(0.1,47,strcat('{\fontsize{12}FRANJA OSCURA DE ALEJANDRO}')),"color","black")
xlabel("parámetro de impacto h (primario) ó -h (secundario)");
ylabel(strcat('\delta (grados)'));
set(text(0.6,20,"arcoíris primario"),"color","black")
set(text(0.6,15,strcat('\delta = -2\alpha + 4\beta')),"color","black")
set(text(0.6,110,"arcoíris secundario"),"color","black")
set(text(0.6,115,strcat('\delta = 2\alpha - 6\beta +180')),"color","black")
set(text(0.1,85,strcat('\delta ángulo entre la visual al ')),"color","black")
set(text(0.1,80,strcat('arcoíris y la dirección del sol')),"color","black")
set(text(0.7,170,strcat('sen(\alpha) = |h|')),"color","black")
set(text(0.7,165,strcat('sen(\beta) = |h|/n')),"color","black")
set(text(0.7,160,strcat('n_{rojo} = 1.332')),"color","red")
set(text(0.7,155,strcat('n_{azul} = 1.338')),"color","blue")
subplot(1,2,2)
plot(h,deltaprimario(h,nrojo),'-r',h,deltaprimario(h,nazul),'b',h,deltasecundario(h,nrojo),'-r',h,deltasecundario(h,nazul),'b')
hold on
set (gca (), "xlim", [0.75, 1]);
set (gca (), "ylim", [20, 75]);
cuadrox=[0.76,0.99,0.99,0.76,0.76]
cuadroy=[43, 43, 50,50,43]
plot(cuadrox,cuadroy,'-.k')
set(text(0.78,47,strcat('{\fontsize{12}FRANJA OSCURA DE ALEJANDRO}')),"color","black")
xlabel("h ó -h");
ylabel(strcat('\delta (grados)'));
En cuanto a los applets de GeoGebra, con este programa se trabaja de forma interactiva usando las múltiples herramientas de que dispone, nada como experimentar libre y gratuitamente cada uno, eso sí, sin prisas. Se puede guardar el resultado en un archivo de formato binario con extensión ggb. Para publicar el applet en un blog hay que usar unas etiquetas específicas, <applet> y demás, como las que se ven al editar el código fuente de esta página web. El caso es que se tiene que incluir el código binario que se guarda en el fichero ggb, generado con el programa GeoGebra, pero codificado en Base 64. Para hacer tal conversión es muy útil otro programa gratuito, el editor Notepad++, usando el menú Plugins-MIME Tools - Base64 Encode.La contemplación del colorido arcoíris no requiere applets ni refracción ni reflexión, sino el momento oportuno, usualmente fugaz, de la confluencia adecuada de Sol, lluvia y observador. Aunque no comparable, trastear con el "arcoíris" en GeoGebra o en Octave puede ser una experiencia entretenida ... y mucho, mucho más prolongada.
