Tras las transformaciones afines, Klein aborda las Transformaciones Proyectivas, que analíticamente se definen, en el espacio tridimensional, porque \(x', y', z'\) son funciones lineales fraccionales de \(x, y, z\), con la restricción de compartir todas ellas el mismo denominador
\[
\begin{aligned}
x' & = \frac{a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4} \\
y' & = \frac{a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4} \\
z' & = \frac{a_3 x + b_3 y + c_3 z + d_3}{a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4}
\end{aligned}
\]
Si ese denominador común no es cero, a cada punto corresponde otro punto finito Pero según los puntos se acercan al plano en que se anula el denominador, sus puntos imágenes se alejan al infinito, se "desvanecen", se fugan. Ese plano \(a_4 x + b_4 y + c_4 z + d_4=0\) es el plano de fuga (en inglés vanishing plane). Los puntos de fuga se corresponden mediante la transformación proyectiva con los puntos en el infinito.
Las ecuaciones anteriores en \(n\) variables ( \(n=3\) en nuestro caso) y un término inhomogeneo, pueden expresarse de forma equivalente empleando \(n+1\) coordenadas homogéneas \(\xi, \eta, \zeta , ..., \tau\) . Para el caso \(n=3\) la relación entre ambas es tal que
\[
x=\frac{\xi}{\tau}, \ \ \ y=\frac{\eta}{\tau}, \ \ \ z=\frac{\zeta}{\tau}
\]
Las cuatro coordenadas homogéneas pueden variar libremente, siempre que no se anulen todas a la vez. A una terna \((x,y,z)\) corresponden infinitas cuaternas \( (\xi,\eta,\zeta,\tau) \), todas ellas proporcionales y distintas por un factor \(\rho \neq 0\) arbitrario.
Con \(\tau=0\), y una o más de las otras tres coordenadas homogéneas distintas de cero, se representa un punto en el infinito, que se añade a los puntos finitos "normales" para los que \(\tau \neq 0\) . Las transformaciones proyectivas en dimensión \(n\) pueden expresarse entonces en términos de transformaciones afines en dimensión \(n+1\) dadas por las ecuaciones:
\[
\begin{aligned}
\rho' \xi' & = a_1 \xi + b_1 \eta + c_1 \zeta + d_1 \tau \\
\rho' \eta' & = a_2 \xi + b_2 \eta + c_2 \zeta + d_2 \tau \\
\rho' \zeta' & = a_3 \xi + b_3 \eta + c_3 \zeta + d_3 \tau \\
\rho' \tau' & = a_4 \xi + b_4 \eta + c_4 \zeta + d_4 \tau
\end{aligned}
\]
El significado de la relación entre coordenadas ordinarias y homogéneas se ilustra mejor con \(n=2\), transformaciones proyectivas del plano \(E\) de coordenadas \((x,y)\), y coordenadas homogéneas \((\xi,\eta,\tau)\) en un espacio tridimensional, en el que puede "colocarse" el plano \(E\) como el dado por \(\tau=1\).
Como se aprecia en la siguiente figura (recreación de la figura 64 en la obra que nos ocupa), las coordenadas espaciales de todos los puntos \(H\) del espacio sobre una misma recta que pase por \(O\) sirven como coordenadas homogéneas del punto \(P\) en que esa recta corta al plano \(E\) . En éste los "puntos en el infinito" tienen coordenadas homogéneas finitas, pues cada recta del plano \(\tau=0\) que pasa por \(O\) se corresponde con uno de tales puntos, y el conjunto de ellas se corresponde con la "recta en el infinito".
Una transformación proyectiva \(P \mapsto P'\) del plano \(E\) se corresponde con cierta transformación afín del espacio, que transforma un haz de rectas que pasan por \(O\) , y cortan a \(E\) en los puntos \(P\) origen, en otro haz distinto que también pasa por \(O\), cuyo corte con \(E\) determina los puntos \(P'\) imagen. Klein denomina este procedimiento como el principio de proyección y sección, que convierte relaciones complicadas en un espacio \(n\)-dimensional a una forma más fácil de entender pero en un espacio \((n+1)\)-dimensional.
La aplicación afín en coordenadas homogéneas transforma planos en planos. Para \(n=2\) , la "recta en el infinito" (el plano \(\tau=0\) ) se transforma en una recta "ordinaria" (el corte con \(E\) del plano en que se transforma \(\tau=0\) ). Toda transformación proyectiva es una colineación y, mucho más reseñable, toda colineación del espacio es una transformación proyectiva.
El efecto de las transformaciones proyectivas sobre las variedades geométricas fundamentales difiere de lo visto para las transformaciones afines en lo que respecta al concepto de paralelismo. Las líneas paralelas son las que se intersectan en el plano del infinito, pero este puede convertirse en un plano ordinario, y las rectas transformadas se cortan en este, dejando por tanto de ser paralelas. No se mantiene el paralelismo. Tampoco son invariantes frente a transformaciones proyectivas las variedades de Grassmann, salvo la línea recta ilimitada. No son invariantes distancias o ángulos, ni la razón simple, pero sí es invariante la razón doble.
Klein desarrolla varios ejemplos de aplicación de las tranformaciones proyectivas:
- aplicar el espacio sobre un plano mediante perspectiva central.
- perspectiva de relieve, que incluye el anterior como caso límite.
- prueba de teoremas geométricos.
Recordatorio. Están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla.
