Distintos grupos de transformaciones dan lugar a distintos tipos de geometría. Los movimientos (traslaciones, rotaciones , reflexiones) dan lugar a la geometría métrica, donde tienen sentido conceptos como distancia entre puntos y ángulo entre rectas, o que una cónica tiene determinados focos y ejes principales. Con las más amplias transformaciones afines se pierde el concepto invariante de distancia, ángulo, o la distinción entre círculo y elipse; pero se mantienen conceptos como el paralelismo entre rectas, centro y diámetros conjugados de una cónica, y la clasificación de las mismas en tres clases, o la diferencia entre finito e infinito.
Más generales que las afines son las transformaciones proyectivas. Ahora desaparece toda barrera entre las cónicas, o entre lo finito y el infinito. Pero persiste la relación entre polo y polar respecto de una cónica.
Otro tipo de transformaciones como las de radios recíprocos dan lugar a una geometría en que línea y círculo, o plano y esfera, son miembros de un mismo colectivo.
Los grupos de transformaciones pueden depender de un número finito, o incluso infinito, de parámetros. En el espacio, las transformaciones proyectivas dependen de 16 coeficientes, pero como es inesencial un factor multiplicador, su grupo depende de 15 parámetros independientes; un subgrupo del anterior es el de las transformaciones afines, que depende de 12 parámetros; y un subgrupo de este es el llamado grupo principal, que depende de 7 parámetros: los movimientos comportan 6, y el cambio de escala 1.
A partir de la geometría de un grupo, imponiendo ciertas condiciones restrictivas, se obtiene la geometría de un subgrupo. Del más general grupo proyectivo se pasa al afín imponiendo que el plano en el infinito permanezca inalterado, lo que se plasma en 3 ecuaciones, que reducen el número de parámetros de 15 a 12. Y si a las transformaciones afines se les impone dejar invariante, además del plano del infinito, el círculo esférico imaginario, entonces se obtiene el grupo principal con 7 parámetros. Este círculo es una cónica con 6 constantes homogéneas, es decir, su invariancia impone 5 condiciones, que hacen pasar los parámetros "libres" de 12 a 7.
Esta forma de ver las cosas se debe a A. Cayley, en 1859, que declaró "la geometría proyectiva es toda la geometría", dado que la geometría afín y la métrica pueden presentarse como casos concretos englobables dentro del marco proyectivo. Por ejemplo, que métricamente una recta sea perpendicular a un plano se corresponde con que el punto en que la recta corta al plano en el infinito, y la recta en que el plano corta al plano en el infinito, son polo y polar respecto del círculo esférico imaginario, toma proyección.
En este punto se abre una digresión para entender cómo el principio de Cayley "hace posible una estructura sistemática completa de la geometría sobre una base analítica", gracias al desarrollo de la teoría de invariantes de las sustituciones lineales.
Tenemos unas variables \(\xi,\eta,\zeta,\tau\) , que podemos someter a sustituciones lineales generales
\begin{equation}\label{ec1p136}
\begin{aligned}
\xi' & = a_1 \xi + \ldots + d_1 \tau\\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\tau' & = a_4 \xi + \ldots + d_4 \tau
\end{aligned}
\end{equation}
¿Cómo afectan estas sustituciones a posibles expresiones que dependan de uno o más conjuntos de tales variables?
Por ejemplo, pueden considerarse funciones enteras racionales homogéneas, llamadas formas. Concretamente una forma lineal se define por
\begin{equation}
\phi = \alpha \xi + \ldots + \delta \tau
\end{equation}
y una forma cuadrática por
\begin{equation}
f = A \xi^2 + \ldots + 2G\xi \tau + \ldots + K \tau^2
\end{equation}
Nos preguntamos cómo se transforman los coeficientes de tales formas al someter las variables a las sustituciones \eqref{ec1p136}. Resulta que para la forma lineal \(\phi\) tenemos que los antiguos coeficientes \(\alpha,\ldots,\delta\) se expresan en términos de los nuevos \(\alpha',\ldots,\delta'\) igual que las variables nuevas \(\xi',\ldots,\tau'\) se expresaban por \eqref{ec1p136} en términos de las variables viejas \(\xi,\ldots,\tau\), salvo por una transposición de la matriz de los coeficientes
\begin{equation}\label{ec2p137}
\begin{aligned}
\alpha & = a_1 \alpha' + \ldots + a_4 \delta' \\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\delta & = d_1 \alpha' + \ldots + d_4 \delta'
\end{aligned}
\end{equation}
Esta sustitución \eqref{ec2p137} transpuesta y con los roles de nuevo y viejo cambiados se llama contragrediente de la original \eqref{ec1p136}, y se dice que los coeficientes \(\alpha,\ldots,\delta\) on contragredientes a las variables \(\xi,\ldots,\tau\). Cualquier conjunto de valores similar a estos, \(\xi_1,\ldots,\tau_1\), \(\xi_2,\ldots,\tau_2\), ... que se someta a la sustitución \eqref{ec1p136} se llaman variables cogredientes.
En cuanto a las formas cuadráticas como \(f\), al realizar la sustitución \eqref{ec1p136} a cada factor de los productos \(\xi^2,\ldots,\xi\tau,\ldots,\tau^2\) que aparecen en ellas, se obtiene una relación lineal entre estos y \(\xi'^2,\ldots,\xi'\tau',\ldots,\tau'^2\).
\begin{equation}\label{ec3p138}
\begin{aligned}
\xi'^2 & = a^2_1 \xi^2 + \ldots + 2 a_1 d_1 \xi \tau + \ldots + d^2_1 \tau^2\\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\xi'^2 & = a^2_1 \xi^2 + \ldots + (a_1 d_4 + a_4 d_1) \xi \tau + \ldots + d^2_1 \tau^2\\
\ldots & \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\tau'^2 & = a^2_4 \xi^2 + \ldots + 2 a_4 d_4 \xi \tau + \ldots + d^2_4 \tau^2\\
\end{aligned}
\end{equation}
También hay una relación lineal, precisamente cogrediente respecto de la anterior, entre los coeficientes "viejos" \(A,\ldots,G,\ldots,K\) y los "nuevos" \(A',\ldots,G',\ldots,K'\).
Con estos prolegómenos, Klein formula así el problema general de la teoría de invariantes:
Dado cualquier conjunto de puntos \(1,2,\ldots\), y también ciertas formas lineales, cuadráticas, o superiores, \(\phi_1,\phi_2,\ldots,f_1,f_2,\ldots\), llamamos invariante a una función de las coordenadas \(\xi_1,\ldots,\tau_1; \xi_2,\ldots,\tau_2; \ldots\) y de los coeficientes
\(\alpha_1,\ldots, \delta_1\) ; \(\alpha_2, \ldots, \delta_2\) ; ... ; \(A_1,\ldots,K_1\) ; \(A_2,\ldots; K_2\) ; ... que permanece inalterada bajo las sustituciones lineales \eqref{ec1p136} de las variables y las sustituciones asociadas del sistema de coeficientes que acabamos de determinar. Se ha de estudiar el agregado de todos los posibles invariantes.
A continuación aparecen unos términos tan conocidos como potencialmente confusos
Las palabras covariante y contravariante se usan a veces para tipos particulares de lo que en general se llaman invariantes. Si en la expresión invariante aparecen las propias variables \(\xi_1,\ldots,\tau_1; \xi_2,\ldots,\tau_2; \ldots\) , hablamos de covariantes; si aparecen los coeficientes de las formas lineales \(\alpha_1,\ldots, \delta_1;\alpha_2,\ldots, \delta_2;\ldots\), hablamos de contravariantes. Si unas sufren una sustitución lineal, las otras experimentan la sustitución contragrediente, ya empecemos con las variables, ya con los coeficientes. En cuanto a la interpretación geométrica, aquí estamos obviamente ante una expresión del principio de dualidad, pues \(\alpha,\ldots,\delta\) devienen coordenadas homogéneas de líneas o planos si consideramos \(\xi,\ldots,\tau\) como coordenadas de puntos.
La cita esta abreviada y un tanto editada. Actualmente, si partimos de un vector \(\mathbf{v} \in V\), a sus coordenadas \(v^i\), equivalentes a las \(\xi,\ldots,\tau\), se las llama contravariantes. Una forma es un vector del espacio dual, \(\boldsymbol{\sigma} \in V^*\), y a sus coordenadas \(\sigma_i\), equivalentes a las \(\alpha,\ldots,\delta\), se las llama covariantes. Cuando se define un producto escalar en \(V\), de dimensión finita, hay un isomorfismo canónico que asocia a cada vector de \(V\) una forma de \(V^*\), y las coordenadas de ésta pueden considerarse las coordenadas covariantes \(v_i\) del vector \(\mathbf{v}\). Lo que no se ha perdido es la idea de dualidad.
Klein concreta aún más la noción de invariante, circunscribiendose a las funciones racionales de las coordenadas y los coeficientes que sean homogéneas en las coordenadas de cada punto y los coeficientes de cada forma. Entonces tal invariante puede ponerse como cociente de dos funciones enteras racionales homogéneas, que pueden no ser invariantes en sí mismas, llamándose en tal caso invariantes relativos. Cada uno de ellos, numerador y denominador, puede transformarse cual invariante, salvo por un factor, que necesariamente ha de ser una potencia del determinante \(r\) de los términos que definen la transformación \eqref{ec1p136}. Si el factor es \(r^\lambda\) el invariante es relativo de peso \(\lambda\). Para que el cociente sea un invariante absoluto, numerador y denominador deben ser invariantes relativos con el mismo peso. Los invariantes relativos más sencillos son los polinomios de menor grado posible formados con las variables. A partir de ellos pueden formarse los de grado mayor. Mediante productos y sumas de invariantes relativos de igual peso pueden deducirse nuevos invariantes. Uno de los grandes logros de Hilbert fue demostrar que para todo número finito de cantidades dadas siempre hay un "sistema completo de invariantes", finito, a partir del cual todos los demás pueden construirse racional e integralmente, es decir, mediante cocientes de polinomios. No está de más recordar la nomenclatura de Klein.
El ejemplo más sencillo descrito por Klein es el de los invariantes formados con las coordenadas \(\xi_i,\tau_i\) de \(n\) puntos en el plano. Las transformaciones a considerar son
\begin{equation*}
\begin{split}
\xi' & = a_1 \xi + d_1 \tau \\
\tau' & = a_4 \xi + d_4 \tau
\end{split}
\end{equation*}
Entonces
\begin{equation}
\Delta'_{ik} = \left\lvert
\begin{array}{lcl}
\xi'_i & \tau'_i \\
\xi'_k & \tau'_k
\end{array} \right\rvert = \left\lvert
\begin{array}{lcl}
a_1 \xi_i+ d_1 \tau_i & a_4 \xi_i+ d_4 \tau_i \\
a_1 \xi_k + d_1 \tau_k & a_4 \xi_k+d_4 \tau_k
\end{array} \right\rvert = \left\lvert
\begin{array}{lcl}
a_1 & d_1 \\
a_4 & d_4
\end{array} \right\rvert \cdot \left\lvert
\begin{array}{lcl}
\xi_i & \tau_i \\
\xi_k & \tau_k
\end{array} \right\rvert = r \Delta_{ik}
\end{equation}
Los \(n(n-1)/2\) invariantes \(\Delta_{ik}\) de peso \(1\) forman el sistema completo de invariantes. A partir de ellos cualquier invariante relativo puede ponerse como suma de términos \( C \cdot \Delta^s_{ik} \cdot \Delta^t_{lm}\) que tengan igual peso \(s+t\). Cualquier invariante absoluto puede ponerse como cociente de dos inavriantes relativos de igual peso. Un invariante absoluto bien sencillo sería por ejemplo \(\Delta_{ik} / \Delta_{lm}\).
De paso Klein nos explica qué es un syzygy, una identidad entre invariantes del sistema completo, que indica un "acoplamiento" entre invariantes. En el caso del plano, y de los invariantes formados con las coordenadas de \(4\) puntos, resulta que un syzygy es
\begin{equation}\label{ecCp141}
\Delta_{12} \Delta_{34} + \Delta_{13} \Delta_{42} +\Delta_{14} \Delta_{23} =0
\end{equation}
Si se tienen varios syzygys, pueden combinarse para dar otros, y resulta que también hay un sistema completo de los mismos a partir de los que se obtienen todos los demás. En el caso de los \(4\) puntos del plano el anterior es el único syzygy.
El "inciso invariante" cobra sentido cuando Klein aplica la teoría de invariantes a la geometría. Si se toman las variables \(\xi,\ldots,\tau\) como coordenadas rectangulares ordinarias (no homogéneas) en un espacio \(n\)-dimensional, las sustituciones lineales homogéneas \eqref{ec1p136} de la teoría de invariantes representan las transformaciones afines de tal espacio que mantienen el origen fijo. Un invariante relativo, salvo por una constante, no se altera por esas transformaciones, luego tiene un significado geométrico en la geometría afín. Recíprocamente, toda magnitud geométrica afín debe poder expresarse mediante el sistema completo de invariantes.
En el caso de dos dimensiones, el invariante relativo \(\Delta_{12}\) representa dos veces el área del triángulo determinado por el origen \(0\) y los puntos \(1,2\), lo que se denotó al principio del libro mediante \((012)\). El cociente \(\Delta_{12}/\Delta_{34}\) es un invarante absoluto, como absoluto es el carácter de la ecuación \(\Delta_{12}=0\) que indica que los tres puntos son colineales.
Para un conjunto de puntos bidimensionales \(1,2,3,4,\ldots\) el sistema completo de invariantes son los \(\Delta_{ik}\). Recordando lo visto en la primera parte, el área del polígono formado por cuatro puntos era
\begin{equation}
(1,2,3,4) = \Delta_{12} +\Delta_{23} +\Delta_{34} +\Delta_{41}
\end{equation}
ejemplo de que una carácterística geométrica se expresa polinómicamente en términos del sistema completo de invariantes. El syzygy \eqref{ecCp141} representa, geométricamente, una identidad entre las áreas de los seis triángulos formados por cuatro puntos arbitrarios y el origen, un teorema general de la geometría afín. Y todo teorema, como relación expresable entre invarientes, conllevará un syzygy. Es decir
la teoría de los invariantes permite la enumeración sistemática de todas las posibles magnitudes y teoremas, sin excepción, pues suministra el sistema completo de invariantes y syzygys
Pero hay otra forma de interpretar las variables \(\xi,\ldots,\tau\): como \(n\) coordenadas homogéneas de un espacio proyectivo \(n-1\) dimensional. Dos transformaciones como \eqref{ec1p136} que difieran en un factor constante serán equivalentes. Como las coordenadas que interesan son los cocientes \(\xi/\tau,\ldots\), en el marco de la geometría proyectiva de entre todos los invariantes hay que considerar solo aquellos que sean homogéneos de orden cero en las variables \(\xi,\ldots,\tau\).
En el caso de dos variables \(\xi,\tau\), tenemos la recta proyectiva cuyos puntos se indican por la coordenada \(x= \xi/\tau\). Que un invariante \(\Delta_{12}\) tome un valor concreto no tiene sentido proyectivamente, salvo que se anule, lo que indica simplemente la obviedad que \(1\) y \(2\) coinciden.
Para tener un invariante numérico hay que considerar al menos cuatro puntos, para poder formar el cociente
\begin{equation}\label{ecBp146}
\frac{\Delta_{12}\Delta_{34}}{\Delta_{14}\Delta_{32}}
\end{equation}
que es homogéneo de dimensión cero en cada uno de los cuatro pares de variables \((\xi_1,\tau_1),\ldots,(\xi_4,\tau_4)\), luego es un invariante absoluto, el más simple posible, y que no es otra cosa que... ¡la razón doble!.
El syzygy fundamental \eqref{ecCp141} cobra ahora otra interpretación. Dividiendo por el último sumando y teniendo en cuenta \(\Delta_{23}=-\Delta_{32}, \Delta_{24}=-\Delta_{42}\)
\begin{equation}
\frac{\Delta_{12}\Delta_{34}}{\Delta_{14}\Delta_{32}}=1-\frac{\Delta_{13}\Delta_{24}}{\Delta_{14}\Delta_{23}}
\end{equation}
que relaciona la razón doble de \(1,2,3,4\) definida por \eqref{ecBp146} con la formada por los mismos puntos al permutar \(2\) con \(3\). Con otras formas de manipular el syzygy \eqref{ecCp141} se deducen las relaciones entre los seis valores distintos que surgen de la razón doble de cuatro puntos con todas las permutaciones posibles en su orden.
Tras indicar la relación de la teoría de invariantes con las magnitudes y teoremas de las geometrías afín y proyectiva, Klein remata con la sistematización de la geometría afín y métrica basada en el principio de Cayley:
la geometría afín, o la geometría métrica, surgen de la geometría proyectiva cuando adjuntamos a la variedad dada el plano en el infinito \(\tau=0\), o este plano junto con el círculo esférico imaginario \(\tau=0, \xi^2+\eta^2+\zeta^2=0\), respectivamente.
En el caso más sencillo de la geometría afín, de entre todas las transformaciones proyectivas nos quedamos con el subgrupo que deja invariante el plano del infinito, de modo que toda transformación de dicho subgrupo siempre transforma un punto de ese plano en otro punto del mismo plano \(\tau=0\). Recordemos que en el espacio \(4\)-dimensional todo plano que pasa por el origen viene dado por
\begin{equation}
\alpha \xi +\beta \eta + \gamma \zeta + \delta \tau = 0
\end{equation}
siendo las coordenadas de plano \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) , y \((\xi,\eta,\zeta,\tau)\) las coordenadas de punto. Esa expresión analítica muestra la dualidad punto-plano. Pues bien, también podemos considerar las coordenadas de plano como los coeficientes de una forma \(\phi\). El plano del infinito se describe por las coordenadas de plano \((0,0,0,1)\). Podemos considerar que viene representado por la forma \(\phi_\infty = 1 \cdot \tau\), que se anula precisamente para todo punto del plano del infinito.
Klein no usa la notación \(\phi_\infty\). Más bien habla de la forma \(\tau\) usando la misma letra que se emplea para la última de las coordenadas \(\xi,\eta,\zeta,\tau\), lo que me resultaba confuso.
Esta forma concreta es la que, en la teoría de invariantes, hemos de considerar adjunta al sistema de cantidades (coordenadas de puntos, formas, etc) que se quiera considerar. El valor de esa forma (como de cualquiera) es un escalar, por propia definición de lo que entendemos por forma. El adjuntar la forma \(\phi_\infty\) quiere decir que los invariantes relativos de la geometría afín necesitarán emplear esa forma. Por ejemplo el volumen del tetraedro determinado por \(4\) puntos \(P_i(x_i,y_i,z_i)\) se expresa por
\begin{equation*} T =
\left\lvert \begin{array}{cccc}
x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1
\end{array}\right\rvert =
\frac{1}{\tau_1 \tau_2 \tau_3 \tau_4}
\left\lvert \begin{array}{cccc}
\xi_1 & \eta_1 & \zeta_1 & \tau_1 \\ \xi_2 & \eta_2 & \zeta_2 & \tau_2 \\ \xi_3 & \eta_3 & \zeta_3 & \tau_3 \\ \xi_4 & \eta_4 & \zeta_4 & \tau_4
\end{array}\right\rvert
\end{equation*}
El determinante de la derecha es un invariante relativo fundamental de \(4\) puntos, lineal en las coordenadas de cada punto. En el denominador tenemos los valores de la forma \(\phi_\infty\) para cada uno de los cuatro puntos, es decir, podriamos haber puesto más exactamente \(\phi_\infty (P_i)\) en lugar de cada \(\tau_i\). La clave es que el cociente \(T\) es un invariante relativo homogéneo de dimensión cero en la coordenadas de cada punto. Esta era la condición expresada antes, para interpretar la teoría de invariantes con \(n\) variables en un marco proyectivo de dimensión \(n-1\). Tenemos que las \(4\) coordenadas homogéneas \((\xi,\eta,\zeta,\tau)\) correponden a un espacio proyectivo tridimensional, y el espacio afín tridimensional ( y sus invariantes relativos) se obtiene al hacer intervenir la forma \(\phi_\infty\). En el caso general proyectivo para conseguir un invariante relativo homogéneo de grado cero puede usarse cualquier forma. En el caso específico afín nos limitamos a lo que pueda conseguirse con \(\phi_\infty\).
La restricción a la geometría métrica se consigue adjuntando una forma cuadrática en coordenadas de plano. El círculo esférico imaginario, que se describe en coordenads de punto por el par de ecuaciones \(\tau=0\) y \(\xi^2+\eta^2+\zeta^2=0\), puede expresarse en coordenadas de plano mediante una sola ecuación \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0\), que es la que cumplen todos los planos envolventes del círculo esférico imaginario.
Un plano tangente a uno de los puntos \((\xi_P,\eta_P,\zeta_P,0)\) debe tener coordenadas \((\alpha_P,\beta_P,\gamma_P,\delta_P)\) que cumplan \(\alpha_P \xi_P +\beta_P \eta_P + \gamma_P \zeta_P + \delta_P 0 = 0 \), lo que se consigue con \(\alpha_P=\xi_P,\beta_P=\eta_P,\gamma_P=\zeta_P\) y entonces también se anula la suma de los cuadrados de estas coordenadas de plano, excluyendo la irrelevante \(\delta_P\).
Se considera la forma cuadrática en coordenadas de plano \(\Phi_0=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\), definida por unos coeficientes \((1,1,1,0)\). Esta es la forma a adjuntar (al sistema de magnitudes de las que obtener los invariantes) para conseguir la geometría métrica, empleando la dualización punto-plano cuando sea menester. Por ejemplo, en la expresión del ángulo entre dos planos (o dos formas) \(\phi_1=(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1,\delta_1)\) y \(\phi_2=(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2,\delta_2)\)
\begin{equation}
\omega = arc cos \left( \frac{\alpha_1 \alpha_2 +\beta_1 \beta_2 +\gamma_1 \gamma_2}{\sqrt{\alpha_1^2+\beta_1^2+\gamma_1^2}\sqrt{\alpha_2^2+\beta_2^2+\gamma_2^2}} \right)
\end{equation}
aparecen los valores de la forma cuadrática \(\Phi_0\) para cada forma: \(\Phi_0(\phi_1)\) y \(\Phi_0(\phi_1)\), y su versión bilineal, la denominada por Klein forma polar
\begin{equation}
\Phi_{0b}(\phi_1,\phi_2) = \alpha_1 \alpha_2 +\beta_1 \beta_2 +\gamma_1 \gamma_2
\end{equation}
Entonces " \(cos(\omega)\) es homogéneo de dimensión cero en cada uno de los dos sistemas \(\alpha_1,\ldots,\delta_1\) y \(\alpha_2,\ldots,\delta_2\) así como en los coeficientes \(1,1,1,0\) de la forma cuadrática dada, de modo que la expresión tiene un significado independiente en la geometría métrica".
En el caso de la distancia entre dos puntos en el espacio, se usa dualmente la forma cuadrática \(\Phi_0\) aplicada a coordenadas de punto, en vez de a coordenadas de plano. El determinante de los coeficientes de la forma es un invariante, del que pueden obtenerse otros cuando se flanquea el determinante con columna(s) y fila(s) (a la derecha y abajo) con las coordenadas de un punto (o de varios). Flanqueando con las coordenadas de cada punto \(P_1\) o \(P_2\), o con las de ambos, se llega a expresar la distancia entre ambos mediante tales invariantes, en un cociente homogéneo de dimensión cero. Pero la distancia así obtenida resulta ser un invariante de peso \(-2\), y por tanto no es un invariante absoluto. El invariante absoluto se consigue adjuntando un segmento arbitrario, tomado como unidad, y usando el cociente entre la distancia de dos puntos cualesquiera y la distancia entre los extremos del segmento.
En el marco de la teoría de invariantes cobra más sentido el principio del determinante de Grassmann, empleado al principio de la obra para definir las magnitudes geométricas elementales. También se desprende que "el principio del determinante de Grassmann es algo especial, y no da por sí mismo todas las variedades de la geometría afín". A esta conclusión llega Klein tras estudiar el ejemplo de geometría tridimensional afín con centro fijo, y cómo se transforman los nueve términos obtenidos al multiplicar cada coordenada \(\xi_1,\eta_1,\tau_1\) de un punto por las de otro \(\xi_2,\eta_2,\tau_2\).
\begin{equation}
\xi_1\xi_2, \ \ \xi_1\eta_2, \ \ \xi_1\tau_2, \ \ \eta_1\xi_2, \ \ \eta_1\eta_2, \ \ \eta_1\tau_2, \ \ \tau_1\xi_2, \ \ \tau_1\eta_2, \ \ \tau_1\tau_2
\end{equation}
Con esos nueve términos pueden formarse seis combinaciones simétricas respecto de las coordenadas de los dos puntos, y tres combinaciones antisimétricas.
\begin{equation}
\begin{split}
2\xi_1\xi_2, \ \ \xi_1\eta_2+\eta_1\xi_2, \ \ \xi_1\tau_2+&\tau_1\xi_2, \ \ 2\eta_1\eta_2 , \ \ \eta_1\tau_2+\tau_1\eta_2, \ \ \tau_1\tau_2 \\
\xi_1\eta_2-\eta_1\xi_2, \ \ \xi_1\tau_2-&\tau_1\xi_2, \ \ \eta_1\tau_2-\tau_1\eta_2
\end{split}
\end{equation}
Las combinaciones simétricas por un lado, y las antisimétricas por otro, se transforman entre sí, sin mezclarse con las de simetría diferente. Las nueve cantidades definen un tensor, que puede expresarse como suma de una parte simétrica y otra antisimétrica. Las tres componentes de la parte antisimétrica son las que pueden asociarse a una magnitud geométrica definida mediante el principio del determinante de Grassmann . Pero ajeno a este principio, en el "marco invariante" tenemos como significativos geométricamente el propio tensor general de nueve componentes, así como su parte simétrica.
En fin, esta es una parte especialmente "dura" de la obra de Klein, para leer (y releer) con calma y atención.
