ecuación del tiempo

Se denomina Ecuación Del Tiempo la diferencia entre el tiempo solar verdadero y el tiempo solar medio:

EDT = tiempo solar verdadero - tiempo solar medio

Suele representarse en una gráfica que muestra esa diferencia a lo largo de los dias del año. Según mis cálculos en 2009 es más o menos así:



En la Gráfica 1 la curva negra representa la ecuación del tiempo. La discrepancia entre el tiempo solar verdadero (el del reloj de Sol) y el tiempo solar medio (el del buen reloj convencional) tiene dos causas calculables de forma separada, que llevan aparejadas su ecuación correspondiente:

1- Ecuación de Inclinación de la Eclíptica (EIE). La órbita de la Tierra alrededor del Sol está contenida en un plano inclinado respecto al plano perpendicular al eje de rotación terrestre.

2- Ecuación de Excentricidad de la órbita (EEX). La órbita de la Tierra alrededor del Sol no es circular, sino una elipse con cierta excentricidad.

Estas dos contribuciones, EIE y EEX, que sumadas dan la ecuación del tiempo EDT se muestran también en la Gráfica 1.

(ojo, puede encontrarse en libros o webs la EDT definida con el signo cambiado, y la gráfica por tanto "patas arriba")

Visualizando la EDT con la Esfera Celeste

El cálculo de EDT requiere manejar dos sistemas de referencia diferentes. En la Figura 1 se ilustra el punto de vista geocéntrico: la Tierra (pequeña esfera azul claro) en el centro, girando sobre su eje. La esfera celeste (rejilla gris) con sus "estrellas fijas", no mostradas en la Figura 1. Y sobre esa esfera el Sol desplazandose a lo largo del año alrededor de la Tierra sobre la eclíptica (en rojo), en el mismo sentido de la rotación terrestre.

Vemos uno de los dos sistemas de referencia a usar en los cálculos, el que llamaré sistema equinoccial. Su centro, el de la Tierra. Su eje Z coincide con el eje de rotación terrestre, y el plano perpendicular al mismo determina sobre la esfera el ecuador celeste (en azul). Este corta a la eclíptica en dos puntos: el punto de Aries, por donde pasa el Sol el día del equinoccio de marzo, y el punto de Libra, por donde pasa el Sol el día del equinoccio de septiembre. El eje X se elige para que pase siempre por el punto de Aries. El eje Y se elige para formar un triedro a derechas. Debido a la precesión de los equinoccios nuestros ejes se mueven muy lentamente respecto a las "estrellas fijas".




La Figura 1 nos ayuda a "ver" la ecuación del tiempo. El tiempo solar medio discurre al ritmo fijo de un buen reloj, y su valor lo determina por definición un punto imaginario, el Sol Ecuatorial Medio, en adelante ECUA, que se mueve uniformemente sobre el ecuador celeste dando una vuelta completa respecto a nuestro sistema equinoccial en un año trópico. Si ajustamos nuestro buen reloj a la hora local del meridiano en que nos encontramos, el reloj debe marcar las 12h del día (solar medio) cuando ECUA culmine sobre nuestro meridiano superior. Hemos marcado este meridiano en gris sobre la superficie terrestre, y también el correspondiente sobre la esfera celeste, pasando por ECUA.

En la situación recogida en la Figura 1, el Sol aún no ha culminado sobre nuestro meridiano cuando justo lo hace ECUA. La Tierra aún tiene que girar hasta que nuestro meridiano "alcance" al Sol, y este culmine, momento en que será el mediodía, las 12h de tiempo solar verdadero. El tiempo solar verdadero va retrasado, a las 12h del tiempo solar medio aún no son las 12h del tiempo solar verdadero, luego EDT es negativa. ¿Por cuantos minutos?

Justo cuando ECUA culmina sobre nosotros, medimos la separación angular sobre el ecuador entre nuestro meridiano, y el meridiano en que se encuentra el Sol, un cuarto del cual se muestra en rojo oscuro en la Figura 1 y sirve para "proyectar" el Sol hasta el punto Sol2 sobre el ecuador celeste.

En ese momento sabemos la diferencia angular entre ECUA y Sol2. La relación entre diferencia angular y temporal se basa en que los 360º corresponden a 24 horas. Por ejemplo, si el Sol va 1º por delante de ECUA, resulta que el tiempo solar verdadero va retrasado 4 minutos horarios respecto al tiempo solar medio. A las 12h de nuestro reloj el Sol culmina en el meridiano cuyo tiempo solar medio local es 12h y 4 minutos (ECUA ya culminó sobre ese meridiano que está 1º al Este del nuestro). Por tanto EDT = -4 minutos.

Esta pesada discusión es la base para el factor de conversión a usar en nuestros cálculos para llegar de cantidades angulares a tiempos expresados en minutos sobre el eje vertical de nuestra gráfica de EDT: 360º o 2π radianes corresponden a 1440 minutos de tiempo solar medio, o a 86400 segundos como el definido en el Sistema Internacional de unidades. También nos indica el curioso e importante hecho de que un adelanto posicional (y angular) del Sol respecto a ECUA, implica un retraso temporal del tiempo solar verdadero respecto al tiempo solar medio.

Dos problemas

Para calcular EDT debemos saber, en función del día del año, donde está ECUA y dónde el Sol, establecer su diferencia angular medida sobre el ecuador, y expresar la misma en términos de minutos de tiempo.

ECUA se mueve uniformente sobre el ecuador, pero no así Sol2, la proyección del Sol sobre el ecuador celeste. Hay dos problemas matemáticos a resolver:

PM1- Mediante la geometría esférica, dado un punto sobre la eclíptica, obtener su proyección sobre el ecuador.

PM2- Mediante las leyes de la mecánica determinar cómo se mueve la Tierra alrededor del Sol, y saber así dónde, sobre la esfera celeste, está el Sol visto desde la Tierra.

Resolución de PM1

La resolución de PM1 es "fácil" y además es la única influencia para determinar la ecuación de la inclinación de la eclíptica, EIE.

En la Figura 2 tenemos un triangulo esférico determinado por 3 puntos A, B y C.

• A es nuestro origen de medida de arcos en el sistema equinoccial, el punto de Aries.
• AB es un arco sobre la eclíptica, cuya magnitud λ da la longitud eclíptica del punto B.
• AC es un arco sobre el ecuador, cuya magnitud α da la ascensión recta del punto B, igual a la del punto C, que es la proyección de B sobre el ecuador, dado que el arco BC es parte de un meridiano celeste.
• Los lados AB y AC forman un ángulo ε igual a la inclinación (u oblicuidad) de la eclíptica.

Los tres arcos, AB, AC y BC son parte de sendos círculos máximos de la esfera celeste. El punto D sobre el ecuador es tal que determina un arco AD igual en magnitud al arco AB: la ascensión recta de D es igual a la longitud eclíptica de B. En el caso de la Figura 2 se ve claramente que D está a la derecha de C pues AC es menor que AB.

La trigonometría esférica proporciona la siguiente relación entre λ y α para un ε dado:


o esta otra equivalente pero sin la problemática tangente y sus visitas al infinito:


Esta relación se usa tanto en el cálculo directo de EDT, como en el cálculo desglosado de EIE por un lado y EEX por otro.

La Gráfica 2 muestra la diferencia entre λ y α como función de λ:



La periodicidad y el signo de la curva en cada parte de la Gráfica 2 se pueden "seguir" directamente observando la Figura 2. En A es donde más rápidamente se separa la eclíptica del ecuador. Cerca de A el punto B se mueve en parte según el ecuador, y en parte hacia arriba, mientras D sobre el ecuador cubre el mismo arco, AD = AB . La proyección de B sobre el ecuador, el punto C, se retrasa rápidamente: AB = λ > α = AC , es decir, λ-α es positiva y crece.

Pero a 90º desde A la eclíptica llega a su máxima incursión hacia el norte, allí es justamente paralela al ecuador. Alrededor de esa zona un arco dado sobre la eclíptica, al proyectarse sobre el ecuador, se "abre" hasta un arco mayor. Por eso el retraso inicial de C respecto a D va disminuyendo según D (y B) avanzan. Cuando D y B llegan a los 90º desde A, C coincide con D, la diferencia se anula. Tanto sobre la eclíptica como sobre el ecuador se ha completado un cuarto de círculo máximo, λ=α=90º. Se ha completado el primer lóbulo de los cuatro que tiene la Gráfica 2.

Al seguir avanzando dentro aún de la zona de "paralelismo eclíptica-ecuador", C adelanta a D. Pero cuando se va llegando al otro punto de cruce entre eclíptica y ecuador la tendencia vuelve a invertirse, D reduce su distancia a C y le alcanza en el punto opuesto a A, al cubrirse el primer semicírculo, λ=α=180º, y completarse un periodo de la curva mostrada en la Gráfica 2.

Resolución de PM2

En cuanto al otro problema, PM2, tiene una parte física y otra puramente matemática. Su resolución se expresa adecuadamente desde un punto de vista heliocéntrico en un sistema de referencia inercial, que llamaremos sistema orbital, en el que aplicamos las leyes de la mecánica de Newton, con simplificaciones adecuadas. La más drástica, considerar únicamente un sistema de dos cuerpos, el Sol y la Tierra. Entre las consecuencias de tales leyes está que la órbita de la Tierra alrededor del Sol tiene la forma de una elipse (con el Sol en uno de los focos, 1ª ley de Kepler), recorrida con momento angular (y velocidad areolar) constante (2ª ley de Kepler). Esto implica una mayor velocidad lineal cerca del Sol, y menor lejos. La Figura 3 muestra los elementos de la solución del problema, aunque de una forma no realista, pues la excentricidad de la elipse mostrada es mucho mayor que la real de la órbita terrestre.



El Sol es el origen de los ejes del sistema orbital, con el eje de abcisas dirigido hacia el perihelio, que va a ser el origen de medida de ángulos, y con el eje de ordenadas a 90º en el sentido del movimiento de la Tierra. El paso del tiempo va asociado a la posición de un punto M que se mueve uniformemente sobre el círculo rojo, que tiene como diámetro el eje mayor de la elipse. Por tanto el ángulo PCM, llamado anomalía media, M, crece proporcionalmente al tiempo, y completa una vuelta en un año sidéreo, el mismo tiempo en que la Tierra completa su vuelta al Sol visto desde nuestro sistema orbital.

La aplicación de las leyes de la mecánica, además de deducir la forma elíptica de la órbita, conduce a una relación entre la anomalía media M y la llamada anomalía excéntrica E, el ángulo PCE determinado por el punto E de la Figura 3, el centro C de la elipse, y el perihelio P. Resulta que, siendo e la excentricidad de la elipse:


Esta ecuación implícita en E no es resoluble analíticamente, hay que recurrir a aproximaciones o a métodos numéricos para obtener el valor de E para cada M.

¿Y que tiene el punto E de especial? En la Figura 3 se aprecia que la posición del punto E sobre la circunferencia roja está en la misma vertical que pasa por el punto T (la Tierra) sobre la elipse. Hay una relación, deducible de la geometría de la elipse, entre la anomalía excéntrica E, y la llamada anomalía verdadera ν, que es el ángulo PST. Esa relación es :


Por tanto a partir del tiempo t desde el paso por el perihelio se calcula M, a partir de M se calcula E, y a partir de E se calcula ν lo que nos permite saber dónde está la Tierra en ese momento.

La Gráfica 3 muestra la diferencia entre M y ν a lo largo de una órbita completa.



Mientras que M se mueve a velocidad constante sobre el círculo rojo de la Figura 3, la Tierra va más rápida cerca del perihelio y más lenta cerca del afelio. M y T arrancan a la vez al paso por el perihelio, nuestro origen de tiempo y de ángulos, pero enseguida el punto T se "adelanta" al punto M (M < ν). Luego, según se acerca al afelio, T va cada vez más despacio, M a su ritmo constante le va cogiendo y le pilla justo al llegar al afelio (M=180º), y luego le pasa, quedando T rezagado (M > ν). Pero de nuevo al acercarse el perihelio T aumenta su velocidad, va acortando las distancias con M, hasta coincidir de nuevo en el perihelio. Y vuelta a empezar.

Ensamblado de las soluciones

Para obtener EDT solo nos falta un "pequeño detalle", ensamblar el resultado de PM2, obtenido en el sistema de referencia orbital (con origen de ángulos en el perihelio y carácter heliocéntrico), con nuestro sistema equinoccial en el que realizamos la resolución de PM1 (con origen de ángulos en el punto de Aries y carácter geocéntrico). Para ello es esencial conocer la distancia angular entre ambos origenes.

Podemos usar los parámetros de la Tierra calculables desde el formulario web disponible en http://aom.giss.nasa.gov/srorbpar.html. Los valores entre 2000 y 2010 son

Parámetros orbitales para la Tierra

Long. del
Año Excentri Oblicuidad Perihelio
(D.C.) cidad (grados) (grados)
------ -------- --------- --------
2000 .016704 23.4398 282.895
2001 .016703 23.4396 282.913
2002 .016703 23.4395 282.930
2003 .016702 23.4394 282.947
2004 .016702 23.4392 282.964
2005 .016702 23.4391 282.981
2006 .016701 23.4390 282.998
2007 .016701 23.4389 283.015
2008 .016700 23.4387 283.033
2009 .016700 23.4386 283.050
2010 .016700 23.4385 283.067

En la tabla proporcionada en el sitio web mencionado se llama longitud del perihelio lo que en otras referencias se denomina argumento del perihelio, ω que, adoptando el punto de vista heliocéntrico, es el ángulo desde el nodo ascendente hasta el perihelio, medido en el sentido de la traslación terrestre. El nodo ascendente corresponde a la dirección del punto de Libra, por el que pasa la Tierra el día del equinoccio de marzo, ver la Figura 4. El resto de "vuelta" hasta los 360º, desde el perihelio hasta el punto de Libra, es igual a la anomalía verdadera de la Tierra el día del equinoccio de marzo. Para 2009 ν_e=360-283.05=76.95º. Si se ven las cosas desde el punto de vista geocéntrico ese mismo ángulo es el que se mide el día del equinoccio de marzo entre la posición que tuvo el Sol en el perihelio y el punto de Aries, que es donde está el Sol en ese momento, y corresponde por tanto al valor absoluto de la longitud eclíptica del Sol en el perihelio, que es negativa.


La distancia angular entre perihelio y equinoccio de marzo nos da el desfase entre los dos sistemas empleados, el orbital y el equinoccial. Sólo nos hace falta fijar el tiempo exacto en que se da un evento concreto, por ejemplo el paso del Sol por el equinoccio de marzo. De acuerdo a http://aa.usno.navy.mil/data/docs/EarthSeasons.php en 2009 el equinoccio de marzo es el 20 de marzo a las 11h 44 minutos UT.

Puede calcularse el intervalo temporal entre perihelio y equinoccio de marzo en base a los datos de la anterior página. Pero el momento del perihelio allí reflejado es muy sensible a la interacción Luna-Tierra, y es un poco más adecuado tomar sólo el día del equinoccio como referencia puntual, y usar para la diferencia temporal entre perihelio y equinoccio un tiempo obtenido a partir de la anomalía verdadera en el equinoccio de marzo, deduciendo así la fecha y hora de paso por el perihelio.

Sabiendo de una forma u otra los valores del paso por perihelio y equinoccio de marzo en nuestras unidades de dias del año 2009, se puede calcular EDT directamente.

Para calcular sus componentes, EIE y EEX, además del ya introducido Sol Ecuatorial Medio, ECUA, que se mueve a ritmo constante sobre el ecuador celeste, debemos introducir otro punto ficticio: el Sol Eclíptico Medio, en adelante ECLI.

Visto desde el sistema orbital, ECLI es equivalente al punto M de la anomalía media, se desplaza a ritmo constante (sobre el círculo rojo de la Figura 3), a la velocidad media del Sol, coincidiendo con este en el afelio y en el perihelio, y completando una vuelta en un año sidéreo. Visto desde el sistema equinoccial, ECLI marcha al mismo ritmo constante sobre la eclíptica con que ECUA marcha sobre el ecuador, coincide con ECUA en los dos equinoccios, y completa una vuelta en un año trópico. Al igual que ECUA va asociado al tiempo solar medio, a ECLI se le puede asociar un tiempo solar eclíptico, y poner

EDT = tiempo solar verdadero - tiempo solar medio =
= tiempo solar verdadero - tiempo solar medio + tiempo solar eclíptico - tiempo solar eclíptico =
= (tiempo solar eclíptico - tiempo solar medio ) + ( tiempo solar verdadero - tiempo solar eclíptico) =
= EIE + EEX

Si el Sol tuviese una órbita circular, de excentricidad nula, el Sol coincidiría con ECLI. Por eso la diferencia entre el Sol y ECLI, vista desde el geocéntrico sistema equinoccial, es lo que denominamos ecuación de excentricidad o del centro, EEX. Se debe en efecto a la excentricidad de la órbita, y se anularía si la órbita fuese circular, pero no obstante en el valor y forma de EEX influye también la inclinación de la eclíptica, y el "desfase" entre el paso por el perihelio y por el equinoccio de marzo.

La ecuación de la inclinación de la eclíptica, EIE, corresponde a la diferencia entre las posiciones de ECLI y ECUA. Sería la única a considerar si la órbita fuese circular pues entonces ECLI coincidiría con el Sol.

Los ángulos recorridos por ECUA y ECLI son proporcionales al tiempo, con frecuencias angulares conocidas. En el sistema equinoccial el ángulo de ECUA varía con una frecuencia angular ligada a la duración del año trópico. En el sistema orbital el ángulo de ECLI (la anomalía media) varía con una frecuencia angular ligada a la duración del año sidéreo. E incluso es posible tener en cuenta la lenta precesión de los equinoccios para el paso de las anomalías (media para ECLI, o verdadera para el Sol) en el sistema orbital a las longitudes eclípticas (de ECLI y el Sol) en el sistema equinoccial, paso previo a la obtención de las ascensiones rectas.

En el momento del equinoccio de marzo el Sol pasa por el punto de Aries antes de que lleguen a coincidir allí ECUA y ECLI. Va por delante de ECUA, y EDT es negativa. Además, como se aprecia en la Gráfica 1, EIE aún no se anula, pues tanto ECLI como ECUA aún no han llegado al punto de Aries, donde coincidirán (haciendo EIE=0) un poco después.

En la Figura 5 se recoge gráficamente (de una forma no realista del todo) la situación de todos nuestros puntos de interes unos días después del equinoccio de marzo. EEX es proporcional al ángulo desde Sol2 hasta ECLI2, EIE es proporcional al ángulo desde ECLI2 hasta ECUA, y EDT es proporcional al ángulo desde Sol2 hasta ECUA (suma de los dos anteriores). Los ángulos y sus tiempos son positivos si van en el sentido de giro terrestre y traslación de ECUA, es decir, si los puntos "desde" van posicionalmente por detrás de los puntos "hasta".


El Sol (su proyección Sol2) aún va por delante de ECUA, sigue siendo negativa EDT. También va por delante de ECLI ( Sol2 delante de ECLI2), luego EEX también es negativa (más negativa que EDT). Sin embargo ECLI (ECLI2) va por detrás de ECUA, retrasandose cada vez más en ese primer tramo tras pasar el punto de Aries, lo que implica que EIE es positiva y creciendo. La variación de las curvas de la Gráfica 1 se pueden relacionar así con el movimiento del Sol, ECUA y ECLI, ilustrado en la Figura 5.

Herramientas

Para confeccionar esta "pequeña" entrada del blog me he servido de varias herramientas a las que deseo presentar mis agradecimientos:
♦ Octave como herramienta para calcular y presentar las Gráficas
♦ Winplot como herramienta de construcción de las Figuras
♦ Lightscreen como capturador de pantalla para obtener los ficheros png de gráficas y figuras
♦ innumerables sitios web, como wikipedia Es, wikipedia En, giss.nasa, usno, jpl.nasa, DRAE, editor online de ecuaciones latex, ...
♦ el magnífico Curso de Astronomía General, editorial Mir, de P.I. Bakulin, E. V. Kononóvich y V.I. Moroz, traducido del ruso por Virgilio Llanos Mas, donde se describen nuestros imaginarios soles (ecuatorial y eclíptico) medios, aunque el convenio para la ecuación del tiempo tiene el signo cambiado respecto al elegido aquí.

En este enlace pueden encontrarse con la extensión .txt los ficheros de Octave para generar las Gráficas, que hacen uso de ecuTiempo.txt, con las funciones Octave que implementan la solución de los dos problemas, así como imagenes .png de las Gráficas y Figuras. No hay ninguna garantía de que algo de todo esto sea correcto y exento de errores (Disclaimer total :-), pero me ha entretenido lo suyo.

Ágora

Una de las virtudes del cine es que nos enseña de una forma especialmente evidente el abismo entre una pretendida realidad de "la cosa" en sí, y la aprehensión personal de "la cosa". En el caso del cine "la cosa" es una película. No es raro que tras ver una misma película, a la vez, en butacas contiguas, un grupo de amigos al salir del cine expresen opiniones tan dispares que alguien pueda pensar que han acudido a distintas salas de proyección.

Y en efecto, así es, esa misma pantalla blanca ha estado proyectando sus claros y oscuros a través de nuestros ojos en nuestra personal sala, de modo que esas formas y sonidos dan lugar a reacciones tan idiosincrásicas (ah, como dejar pasar la oportunidad de emplear la palabrita) que bien se explica la disparidad de opiniones.

El caso es que el Ágora que se proyectó el otro día en mi cabeza es de las películas que más me han gustado últimamente, entre otras cosas por el sostenido pulso narrativo de lo que sustancialmente se cuenta, la dinámica de partículas -humanas- sometidas a la acción de una fuerza, el fanatismo. Aquí el fanatismo es religioso, y la religión es la cristiana.

Este detalle es un tanto irrelevante, pues cualquier religión está sometida a la fragilidad del fanatismo desde el momento en que se recurre a la invocación de elementos absolutos, irrebatibles y definitivos: Dios, "su" palabra expresada en las escrituras, y los abnegados adalides que saben interpretarlas infaliblemente y hacerlas cumplir inexorablemente. Entonces el Demonio del Ego humano se da un festín disfrazado con el ropaje de la rectitud.

El caso es que desde el principio, con el enfrentamiento entre los paganos y los cristianos, iniciado por cierto por los paganos, se mantiene la tensión de esa dinámica imparable que irá llegando a los judíos, a los propios cristianos y a la protagonista, Hipatia.

Las escenas espectaculares, de movimiento de masas, están muy logradas, pero más interesantes son las evoluciones personales de los distintos personajes del entorno de Hipatia, sometidas al auge del fundamentalismo y a la búsqueda de conservar el propio pellejo. Las fuerzas doctrinales de la sociedad pueden con la libertad personal, que en efecto es mucho más reducida de lo estamos dispuestos a admitir. Al final, nos arrodillamos.

Y como trasfondo de la historia está esa Escuela que enseña conocimientos que pueden ser puestos en cuestión sin miedo a levantar la cólera de la naturaleza. La protagonista plasma el ansia de conocer, la indagación, el cuestionamiento, y la hermandad del conocimiento.

¿Y es fiel la película a lo que pudo haber sabido Hipatia? Sobre la verosimilitud científica, primero hay que saber que al leer una novela histórica o al ver una película de época, se está ante obras de ficción, y no ante estudios historiográficos.

Pero en este caso hay que agradecer ciertos detalles. En una escena de la película Hipatia lleva a cabo, a bordo de un barco que marcha a toda vela, el experimento de dejar caer un saco desde lo alto del mástil, viendo que cae al pie del mástil. Vaya, el principio de relatividad de Galileo, como si hubiese escuchado a Simplicio y a Salviati en el "Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo ptolemaico y copernicano", que Galileo Galilei publicó en 1630. Licencia que podemos conceder, que es un película. Al final de la cual, la noche antes de su muerte, Hipatia "descubre", junto a su sirviente como único testigo, que los planetas pudieran seguir órbitas elípticas. Bueno, ¿demasiada licencia? La película acaba con unos títulos que hacen perdonar cualquier exceso cometido, y honran al realizador. Se deja claro que no queda obra original alguna de la tal Hipatia, y que al movimiento elíptico de los planetas se llegó con Kepler, muchos, muchos, muchos años después de Hipatia.

En la película hay momentos de violencia y agitación, en el ágora, en Alejandría. Y en unas pocas ocasiones la cámara se eleva sobre la faz de la Tierra, mientras los gritos y el tumulto va apagándose sin extinguirse del todo, y se contempla, brevemente, el ilimitado Cielo estrellado ...

Lo cual me devuelve a constatar los millones de Ágoras que habrá a estas alturas, cuando en una opinión encontrada en la web, tan significativa como la mía propia, leo que "la historia se narra de forma desordenada, compaginando sin ton ni son planos de la tierra tomados desde un satélite con la propia vida cotidiana en Alejandría para volver sin motivo alguno a dar planos del espacio sideral".

Partículas, de polvo, de estrellas. Tan iguales. Tan diversas.

burradas

Ya hubo una entrada "animal" aquí, y ayer saltó otra "Un grupo de jóvenes mata una burra a patadas y puñetazos y la cuelga de una soga".

El mundo y los medios están llenos de noticias terribles, de trágicos hechos. No será ese acto violento contra un animal lo peor que haya ocurrido, pero ilustra estremecedoramente lo peor que alberga el ser humano, la infamia individual y colectiva, la indignidad atroz.

A veces una noticia nos golpea especialmente, a pesar del blindaje imprescindible que se necesita para sobrevivir al sesgo informativo de "todo lo malo es noticia". Entonces lo peor ajeno suscita nuestras respuestas impulsivas cargadas de lo peor propio. De modo que en los comentarios de algunos internautas a la noticia, se reflejan insultos hacia los autores de la salvajada y no muy buenos deseos, como fiel reflejo del tumulto visceral que yo mismo sufrí.

Cuando el tumulto, más bien cargado de ira, pasa, llega la pena desolada por la abyección humana, particularizada y explicitada en esos jovenes sin rostro.

Tras cierto reposo, la más dura pena que cabe desear para los culpables es que les penetre sin remedio la conciencia clara de la vileza cometida, una cadena perpetua de vergüenza interior, y un perpetuo empeño de emplear el resto de su vida en beneficio de toda forma de vida sobre el planeta Tierra.

La Palma

Tras una semana de vacaciones en La Palma, puedo certificar que tiene bien ganado el nombre de Isla Bonita. Casi de casualidad me alojé en Puerto Naos, lo que fue un acierto total. Allí está posiblemente la mejor playa, por supuesto de arena negra, y normalmente soleada aunque detrás las nubes cuelguen de las formidables laderas del oeste de la isla.



En la foto aparece al fondo el hotel Sol La Palma, que cuenta también con apartamentos, opción que yo encuentro preferible. En el mismo Puerto Naos se puede practicar parapente, individual o en modo Taxi para los que, como yo, no tengan experiencia alguna al respecto. Desde luego que es muy recomendable y las vistas desde lo alto, especialmente al atardecer con el Sol multireflejado en el mar, son i-n-d-e-s-c-r-i-p-t-i-b-l-e-s. Además si uno se lanza desde Los Campanarios la subida en 4x4 también merece la pena. Y al final se descubre el porqué del requisito de llevar calzado deportivo, hay que subir un trecho a patita con el fardo a cuestas (y nunca mejor dicho, por cuestas).

También en Puerto Naos se puede disfrutar del buceo, pudiendo iniciarse en el mismo con diferentes cursos, aunque para una primera visita y primera experiencia lo mejor tal vez sea limitarse al "bautizo en el mar" para probar, antes de meterse en un curso de varios días, y además lo primero es conocer la isla en superficie antes de disfrutar más extensamente de la fauna submarina.

Para visitar la isla es casi imprescindible alquilar un coche, a ser posible bueno. Yo tuve un Golf que se portó de maravilla, con su tercera y a veces su segunda y cuarta. La isla está llena de tres tipos de señales: la cuadrada azul con un 40 dentro, la triangular con un par de curvas y la triangular con una montañita desprendida, y en todos los casos debajo de ellas una plaquita con dos flechas a los lados y en medio "5 km". Otro detalle a tener en cuenta es que si uno encuentra la señal de curva a la derecha o a la izquierda eso quiere decir que esa es una curva especialmente CURVA. Como en muchos casos las curvas van acompañadas de desnivel y suelen ser bastante ciegas, lo mejor es relajarse, tomarselo con calma y seguir la recomendación de no pasar de 40 km/h. El conductor quizá se canse algo de tanta curva, o disfrute si le gusta mover el volante al máximo, pero es mejor ir conduciendo que de acompañante, en cuyo caso puede ser bueno tener la biodramina a mano.

Con el tema del coche aprendí una regla básica. Al alquilarlo, cerciorarse de que se sabe como conectar las luces, y en general cualquier otra cosa como limpiaparabrisas, aire acondicionado, etc. Nunca había conducido un Golf, y resulta que las luces de posición y la corta se ponen con una ruleta a la izquierda cerca de la puerta, no con el mando acoplado al volante como en otros coches que había conducido. Aunque era de día, al pasar desde el este, donde está el aeropuerto, hasta el oeste, se atraviesa un túnel bastante largo y allí en marcha no es el mejor momento de averiguar cómo se dan las luces.

En cuanto a qué ver en La Palma, se podría decir que TODO, pero ahí va una selección de lo que más he disfrutado. En el sur, la visita al volcán San Antonio y al Teneguía, y despues al faro de Fuencaliente



La joya de la isla, la impresionante Caldera de Taburiente, con unas vistas espectaculares subiendo a la Cumbrecita en coche, con una pequeña ruta muy asequible hasta el mirador del Lomo de las Chozas y desde este al de los Roques. Yendo pronto se puede ver la Caldera despejada, y luego la procesión de nubes que entran desde el oeste por el barranco de las Angustias y van llenando la Caldera. Para tomarselo con tiempo, calma, y disfrutar. Fue el único sitio al que lleve prismáticos, pero mereció la pena.




Y, cómo no, el techo de la isla, el Roque de los Muchachos, desde el que al sur se contempla la Caldera cubierta de nubes, el Bejenado, y más allá el Birigollo en Cumbre Vieja. Y sí, ese pequeño trozo de tierra lejana arriba hacia el centro, envuelto en mar y nubes, es El Hierro.




Mirando al noroeste desde El Roque de los Muchachos se ven los diversos observatorios y el mar de nubes



Como la isla está repleta de senderos bien señalizados, y de todos los tipos, grandes, medianos y autoguiados, se pueden gastar todas las botas de trekking que se quiera, por la soleada ruta de los volcanes desde el refugio del Pilar, o en la umbría y espesa zona del Bosque de los Tiles cerca de la laguna de Barlovento, y muchos muchos más.

En el aspecto educativo me ha gustado el centro de visitantes del volcán San Antonio en los Canarios donde uno descubre el punto caliente de las Canarias (no me pude sustraer a esta terminología tan sexy) y se explica la teoría más actual del volcanismo canario. Allí me compré el libro (bilingüe castellano e inglés) de Juan Carlos Carracedo "Los Volcanes de las Islas Canarias. IV La Palma, La Gomera, y El Hierro", muy interesante y ampliamente ilustrado en color. He encontrado en la red una información similar. En el libro se detalla la formación de la Caldera de Taburiente, que no tiene un origen de resto de volcan que estalló, sino que es resultado complejo de sucesivos volcanes, de varios derrumbes gravitatorios, y de la erosión.

Y para acabar, una de las sorpresas agradables que recordaré es la de subir hacia el pico de la Nieve, mirar a la izquierda y encontrar el imponente Teide emergiendo del nuboso mar. Luego ya pude ver a la vez Tenerife y La Gomera.



Pero la última sorpresa, de vuelta a casa, fue encontrar en una foto juntas La Gomera a la izquierda a unos 90km, El Hierro a la derecha a unos 110 km, y en el centro un tipo que parece estar :-) en la cima del mundo.



Mucho mejor que verlo en Google Earth.

entra el otoño

De acuerdo al Instituto Geográfico Nacional de España, el otoño de 2009 llega este 22 de septiembre a las 23h 19m hora oficial peninsular.

Como estamos en el horario de verano, que va adelantado dos horas respecto a la "hora del sol", eso equivale a lo que encontramos en una de las páginas de la Armada Española, el otoño comienza el 22 de septiembre a las 21:19 horas de Tiempo Universal.

La existencia de las cuatro estaciones, primavera, verano, otoño e invierno, depende del hecho de que la Tierra se traslada alrededor del Sol en un plano, el plano de la eclíptica, y gira respecto a un eje que no es perpendicular a dicho plano.

Mientras la Tierra se traslada anualmente alrededor del Sol describiendo muy aproximadamente una elipse, el eje de rotación del giro diurno se mantiene esencialmente paralelo a sí mismo.

En la siguiente figura se muestra el Sol, la órbita elíptica de la Tierra a su alrededor, y la posición de la Tierra el día de inicio de cada estación (nombradas con el mes correspondiente). La esferita que representa a la Tierra en cada uno de esos cuatro instantes tiene una flecha verde, que representa el eje de rotación. Las flechas verdes en cada una de las posiciones son paralelas.



Hay 3 ejes, orientados a derechas, elegidos de acuerdo a la elipse que describe la Tierra alrededor del Sol: x según el eje mayor, y según el eje menor y z perpendicular al plano que contiene la órbita, dirigido para que esa órbita se recorra en sentido antihorario vista desde "arriba" (valores positivos de z), como se presenta la figura. La rotación diurna de la Tierra alrededor de su eje se produce en el mismo sentido antihorario.

El Sol está en uno de los focos de la elipse, cuya excentricidad se ha exagerado sobremanera para mostrar que el Sol no está en el centro de la elipse. Se ven las posiciones del perihelio y del afelio, sobre el eje x.

Los dos equinoccios correponden a los dos puntos sobre la elipse en que el eje de rotación terrestre es perpendicular al vector Tierra-Sol: los rayos de Sol inciden sobre una mitad de la superficie terrestre que incluye a la vez ambos polos Norte y Sur. A lo largo de las 24h en el equinoccio, cualquier punto de la Tierra esta 12h "al sol" y 12h "a la sombra". En el ecuador terrestre el Sol culmina en el cenit.

La línea de los equinoccios está por tanto determinada por la orientación del eje terrestre respecto al plano de la eclíptica.

La línea que une los dos solsticios es perpendicular a la que une los equinoccios. El ángulo entre el vector Tierra-Sol y el eje de rotación alcanza sus valores extremos precisamente en los solsticios, el mayor ángulo en el solsticio de diciembre y el menor en el de junio. La duración de los días y noches alcanza sus valores extremos (más largos los días y cortas las noches en un hemisferio, al revés en el otro). En el solsticio de diciembre, sobre el trópico de capricornio el sol culmina en el cenit; en el solsticio de junio culmina en el cenit sobre el trópico de cáncer.

En la posición de la Tierra en el inicio de la primavera se muestra un detalle adicional. La flecha verde se prolonga con una línea que llega hasta un círculo rojo. Lo que pretende representar ese círculo es el cambio en la orientación del eje terrestre, y por tanto de la línea de los equinoccios, lo que se llama precesión de los equinoccios. Pero ese cambio es muy, muy, muy lento: se daría una vuelta a todo el círculo rojo en unos 26000 años. Aun siendo lento, es importante observar el sentido de la precesión, marcado por la flecha sobre el círculo rojo, un sentido horario, por tanto contrario a los sentidos de la traslación anual y la rotación diurna. Ello hace que el primer punto de Aries (la posición aparente del Sol visto desde la Tierra el día del equinoccio de marzo) avance al encuentro de la Tierra, y que el año trópico sea menor que el año sidéreo (en este momento es más fiable la wikipedia inglesa en lo que se refiere al año trópico).

Otro detalle crucial mostrado en la figura es que la línea de los solsticios no coincide con el eje mayor de la elipse. Como la figura es una vista "de lado", para apreciar mejor ese detalle podemos mirar desde arriba, perpendicularmente al plano x-y.



Aunque la figura no es realista respecto a la excentricidad de la órbita (para mostrar el Sol apartado del origen), sí es fiel en mostrar el ángulo entre el eje mayor de la elipse y la línea de los equinoccios. El ángulo desde el vector Sol-punto de Aries hasta el vector Sol-perihelio, o distancia angular, es ahora de aproximadamente 103,07º y se va incrementando por la precesión de los equinoccios. Ahora la Tierra llega al perihelio 13,07º después de pasar por el solsticio de diciembre. Esto es bastante relevante para la ecuación de tiempo, pero eso lo dejaremos para otro día.

Hoy me interesa dejar una referencia a otro sitio más del gobierno estadounidense, magnífico, el del Jet Propulsion Laboratory, con una página web para calcular efemérides de los cuerpos del sistema solar. Seleccionando en la interfaz web como cuerpo de observación la Tierra, y cuerpo observado el Sol, podemos obtener las coordenadas astrométricas del Sol Ascensión Recta y Declinación respecto a un sistema de referencia ecuatorial referido al equinoccio en la época J2000 (aproximadamente las 12h del 1 de enero del año 2000).




Si buscamos el momento concreto (al nivel de minuto horario) en que la declinación del Sol pasa de ser positiva a ser negativa, y la ascensión recta pasa por las 12h, encontramos



que la entrada del otoño es el 23 de septiembre a las 00h 36minutos de Tiempo Universal, unas 3h y 17 minutos después de lo que dice la Armada Española. Pero claro, nuestra Armada no se equivoca. Esas coordenadas marcan el paso del Sol por el ecuador celeste de la época J2000, no el actual que es lo que importa. En estos 9 años y pico, más concretamente 3552 días desde esa época J2000 de referencia hasta hoy 22 de septiembre de 2009, el punto de Aries se ha adelantado por la precesión de los equinoccios el ángulo justo correspondiente a esa diferencia horaria, hasta una posición a la que el Sol llega 197 minutos horarios antes de llegar a la que tenía en J2000.

Y el poder de internet nos permite comprobarlo si no nos fiamos. Hay un estupendo y gratuito software para cálculos astronómicos, SOFA Standards of Fundamental Astronomy, con rutinas en C o Fortran para, entre otras cosas, calcular la matriz de precesión. Y todo gratis, con documentación, una maravilla, viva la IAU. Lo único es ... entenderlo, y hacer el programita, compilar, ejecutar ... y mejor en C, que el Fortran me recuerda tarjetas perforadas.

Como antes de esto estaba en otras cosas aprendiendo a manejar rudimentariamente Octave, un programa de cálculo numérico semenjante a Matlab pero GRATIS TOTAL, he visto que es viable mirar las rutinas C necesarias, rehacerlas en Octave, con el poder matricial de su lenguaje, y llegar a un resultado que dentro del margen de dos minutos coincide de pleno con lo que nos dicen las autoridades. En este caso las autoridades tienen ese sentido de referencia fiable a la que recurrir para comprobar que un cálculo propio es correcto, como mirar la solución al final del libro.

Además de todo ese software gratuito no puedo olvidarme de otro hallazgo estupendo con el que hice las dos primeras figuras: se trata de winplot, otra joya que agradecer a los generosos donantes que comparten sus programas, en este caso con nombre y apellidos.

Y para recibir al otoño terrestre, en el JPL hay un video Equinox at Saturn muy a cuenta del día, para recordar que no sólo hay equinoccios en la Tierra, también en Saturno, aunque las estaciones son "un poco" más largas.

sorpresas del diccionario

En la temática relativa a la astronomía hay una gran cantidad de términos especializados que resultan tan curiosos y raros como los de la anterior entrada. Por ejemplo en las zonas polares en que habitan los periscios se da el fenómeno de los días y las noches polares. Durante ciertos meses el sol no se pone, y es por tanto un astro inocciduo, pues el término occiduo se refiere al ocaso. En otros meses la noche es permanente, el sol no llega a salir, y es entonces un astro inortivo, pues ortivo se refiere al orto. En el resto de latitudes fuera de las polares el sol sale y se pone cada día, y es por tanto un astro ortivo y occiduo. La salida y la puesta del astro, su orto y su ocaso.

Además de palabras raras, hay palabras más comunes pero sobrecargadas de significado. Meridiano es una palabra bastante común, quién no ha oído hablar del meridiano de Greenwich. Pero estudiando la entrada del DRAE vemos una amplia variedad de significados. En geografía el meridiano puede ser o un círculo o un semicírculo. Esta última opción es la más común, pues asocia a cada meridiano, como semicírculo, una longitud única entre -180º y +180º. Precisamente el de Greenwich se usa normalmente como primer meridiano, es decir, como origen de medida de la longitud geográfica.

En astronomía pasamos de la esfera terrestre a la celeste, y el meridiano del lugar en que nos encontremos es un

círculo máximo de la esfera celeste, que pasa por los polos del mundo y por el cenit y el nadir

de ese lugar. Ese meridiano astronómico puede dividirse en dos semicírculos, el meridiano inferior por debajo de nuestro horizonte, y el meridiano superior por encima.

Es pura poesía el ritmo cósmico de palabras tales, "círculo máximo", "esfera celeste", "polos del mundo", "cenit y nadir". El DRAE está lleno de entradas "poéticas", de asombrosa belleza, más allá de que se entienda o no qué se trata de definir.

Y junto a la poesía y la ampliación técnica de conocimientos hay sorpresas como enterarse de que además, aunque sea poco usada, meridiano tiene la acepción de "Siesta que se hace después de comer". De modo que podremos decir jocosamente "voy a echarme el meridiano", ¿o será "voy a hacer el meridiano"?

Interesante también es la referencia de meridiano a mediodía. Es justo al mediodía cuando el sol atraviesa el meridiano local, cuando culmina alcanzando su máxima altura sobre el horizonte, siendo más claro y luminoso. En las tierras del hemisferio norte que alumbraron los significados de las palabras, a la hora del mediodía el sol marca el Sur, y meridional indica referencia al sur.

La palabra "opuesta", bien conocida, que hace referencia al norte, es septentrional, que me ha dado otra sorpresa etimológica. Pues septentrional hace referencia al norte y a septentrión, término este que procede del latín septem, siete, y de trio, -onis, buey de labor. En mi DRAE de papel, de la vigésima primera edición, la primera acepción de septentrión es ... Osa Mayor. ¡Vaya! Y vaya chasco, que esa acepción no aparece en la consulta en línea del buscón, edición vigésima segunda.

A posteriori he encontrado en la wikipedia esa misma etimología, indicando más claramente que los siete bueyes son las siete estrellas del carro. Curiosamente ese asterismo concreto se llama en inglés "big dipper", el gran cazo, y en efecto es más fácil ver el cazo que el carro, pues al carro hay que quitarle las ruedas. Según la wikipedia en inglés, "big dipper" se usa en USA y Canada, mientras que en el Reino Unido e Irlanda se usa el término "the Plough", el Arado. Es lo que tienen las estrellas.

Sobre las diferentes ediciones del DRAE, no solo desaparecen acepciones como la de Osa Mayor para septentrión, sino que hay cambios en la redacción. Una de las palabras curiosas encontradas al azar en mi DRAE de papel es serosidad, "líquido que ciertas membranas segregan en el estado normal, y que en el morboso forma las hidropesías". Ahora al parecer se ha perdido el estado morboso en beneficio de una acumulación patológica. Quizá esté más claro, pero hay expresiones que tienen su morbo. Y continuas candidatas a expresiones ofensivas, "amorfa hidropesía inoccidua", o de desprecio, "insignificante asterismo inortivo" :-)

sorpresas de internet

Ay, lagrimones de risa brotan irreprimibles de mis pupilas que no dan crédito a qué se puede encontrar uno buscando algo en internet. El caso es que estaba mirando temas relacionados con la astronomía, que para eso es su año internacional. Estoy disfrutando una de esas joyas impagables, ejemplo de gran autoría y esmerada edición: "The history and practice of ancient astronomy", de James Evans.

Uno de los problemas al leer un libro en lengua extranjera es que es fácil encontrar términos técnicos de difícil o incierta traducción. Muchas veces el término adecuado se encuentra en el DRAE, y uno llega a curiosas palabras de nuestro idioma cuya existencia nunca hubiese sospechado.

Un ejemplo, al tratar la división del globo terráqueo en diferentes zonas de acuerdo al comportamiento del Sol a lo largo del año por la inclinación del eje terrestre respecto a la eclíptica. James Evans se refiere al Almagesto de Ptolomeo y cómo éste llama a la región entre los trópicos (de cáncer y capricornio) amphiskian, palabra compuesta del griego amphi, ambos lados, y de skia, sombra; pues en esa zona la sombra del sol al mediodía en el curso de un año puede estar tanto al norte como al sur del gnomon. Las dos zonas entre cada trópico y el correspondiente círculo polar son heteroskian (heteros = a un lado) pues la sombra del sol a mediodía siempre cae en la misma dirección durante todo el año. Las dos zonas entre el circulo polar y el correspondiente polo son periskian (peri = alrededor de) pues en ellas durante algunos días del año el sol no se pone, y su sombra hace un recorrido de 360º alrededor del gnomon.

No pensaba que existirían términos semejantes en el DRAE, tonto de mí cuando se trata de palabras de origen griego, pero aquí están los respectivos términos castellanos: anfiscio, heteroscio y periscio. Además de ser hermosas e inusuales palabras, podrían funcionar bien como improperio.

Otras palabras usadas para describir antiguos instrumentos en astronomía son, en inglés dioptra y cross-staff. Precisamente en castellano también existe dioptra como término un tanto general en su origen etimológico (instrumento para hacer mediciones a distancia). El DRAE remite a otras dos palabras, pínula y alidada. La descripción de una de las imagenes del libro de Evans muestra una "simple dioptra consisting of a stick with two sigths". Con la definición del diccionario más la búsqueda de imágenes en Google bajo uno y otro término, puedo llegar a traducir stick como alidada, y "two sigths" como dos pínulas, y el conjunto sería una alidada de pínulas. En cuanto a cross-staff, se refiere a la ballestilla o cayado de Jacob o cruz de palos.

Bueno, el caso es que cuando estaba viendo imágenes encontradas con Google para alidada, me encontré con ... esta alidada, que me reveló la existencia de este universo particular. Esto si que es fomentar el conocimiento astronómico, al menos entre el género masculino. Contemplen los planetas de nuestro sistema solar y elijan su favorito. Ay, espero que la Union Astronómica Internacional premie de alguna forma la labor divulgadora de D. Juan Aznar, que al parecer es el responsable de este original sitio.