Klein aborda la geometría en forma analítica y general. Emplea coordenadas rectangulares para los puntos de un espacio de dos, tres, ..., o \(n\) dimensiones. Empezará con el plano y luego seguirá con el espacio tridimensional, pero aplicando un principio general atribuido a Grassmann . Se trata de emplear expresiones analíticas, basadas en las coordenadas de puntos, que tengan significado geométrico. La "receta" del principio de Grassmann se ve mejor en el caso más simple, un espacio bidimensional, el plano. Elegido un origen y un sistema rectangular de coordenadas, cada punto viene dado por dos coordenadas. Apliquemos la receta al caso en que elegimos dos puntos (dos como la dimensión del espacio considerado) el punto 1 \( (x_1,y_1) \) y el punto 2 \( (x_2,y_2) \). Se forma una matriz con tantas filas como puntos, y con tantas columnas como las coordenadas de cada punto, más una columna adicional de unos:
\[
\begin{pmatrix}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1
\end{pmatrix}
\]
A partir de esa matriz formamos todos los determinantes que se obtienen al eliminar una de las columnas.
\[
\begin{aligned}
Y & =
\begin{vmatrix}
y_1 & 1_{\ } \\
y_2 & 1_{\ }
\end{vmatrix} = y_1 - y_2
\\
X & =
\begin{vmatrix}
x_1 & 1_{\ } \\
x_2 & 1_{\ }
\end{vmatrix} = x_1 - x_2
\\
N & =
\begin{vmatrix}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1
\end{aligned}
\]
Resulta que estas expresiones analíticas, estos números, \( Y, X, N \) , tienen un significado geométrico que desvela Klein, enfatizando que la existencia de un signo para el valor numérico dota de mayor calado a los elementos geométricos obtenidos que cuando estos se miran desde un punto de vista "clásico", digamos que de geometría a la Griega. La siguiente figura (basada en la figura 31 de EMAS Geometry) visualiza el significado geométrico.
\(X\) e \(Y\)son las proyecciones sobre el eje \(x\) y el eje \(y\) del segmento definido por los puntos \(1\) y \(2\) con la dirección del punto \(2\) al punto \(1\). En la figura \(X\) es negativo e \(Y\) positivo.
\(N\) representa el doble del área del triángulo definido por los puntos \(0, 1, 2\) recorrido en ese orden. En la figura \(N\) es negativo de acuerdo al convenio usual. Los tres valores numéricos \(Y, X, N\) se obtienen partiendo de dos puntos \(1\) y \(2\) , dados por cuatro coordenadas, lo que indica un grado de libertad de más. ¿Cuándo diferentes pares de puntos dan lugar a la misma terna numérica \(X\) , \(Y\) , \(N\) ? Klein lo declara: "Obtenemos la misma terna de valores \(X\) , \(Y\) y \(N\) si, y sólo si, \(1\) es el punto final y \(2\) el punto inicial de un segmento, con longitud y dirección definidas, que es libre de moverse sobre una línea recta definida". Esa terna, que Grassmann denominó Linienteil (segmento de línea dirigido) se denomina ahora comúnmente vector ligado (a una recta). "Vector" sin más suele referirse a "vector libre", si el segmento puede moverse en paralelo a sí mismo. Precisamente las dos cantidades \(X\) e \(Y\) determinan un vector libre. Y las razones \(X:Y:N\) , equivalentes a dos cantidades (por ejemplo \(X:Y\) y \(Y:N\) ), determinan la línea recta, no la longitud de un segmento sobre ella.
En el lenguaje de la mecánica \(X\) e \(Y\) son las componentes de una fuerza, aplicada sobre una línea, y \(N\) es el momento de la fuerza respecto del origen, cambiado de signo.
Klein indaga en las características de estas expresiones analíticas mostrando cómo se transforman ante cuatro tipos de transformaciones de coordenadas:
Traslaciones:
\[
\begin{aligned}
x' & = x + a \\
y' & = y + b
\end{aligned}
\]
Rotaciones en torno al origen de coordenadas:
\[
\begin{aligned}
x' & = x \cos \phi + y \sin \phi \\
y' & = -x \sin \phi + y \cos \phi
\end{aligned}
\]
Reflexión en el eje \(x\):
\[
\begin{aligned}
x' & = x \\
y' & = -y
\end{aligned}
\]
Cambio en la unidad de medida en un factor \( \lambda \)
\[
\begin{aligned}
x' &= \lambda x ;\\
y' &= \lambda y
\end{aligned}
\]
Se adopta un punto de vista "pasivo". Los puntos \(1\) y \(2\) son los mismos, pero se cambian los ejes coordenados (su origen, orientación o escala) para determinar sus nuevas coordenadas \( (x'_1,y'_1) \) y \( (x'_2,y'_2) \). Hay que relacionar entonces los "nuevos" valores \( X', Y', N' \) con los "viejos".
Traslaciones:
\[
\begin{aligned}
X' &= X \\
Y' &= Y \\
N' &= N + b X - a Y
\end{aligned}
\]
Rotaciones en torno al origen de coordenadas:
\[
\begin{aligned}
X' & = X \cos \phi + Y \sin \phi \\
Y' & = -X \sin \phi + Y \cos \phi \\
N' &= N
\end{aligned}
\]
Reflexión en el eje \(x\):
\[
\begin{aligned}
X' &= X \\
Y' &= -Y \\
N' &= -N
\end{aligned}
\]
Cambio en la unidad de medida:
\[
\begin{aligned}
X' &= \lambda X \\
Y' &= \lambda Y \\
N' &= \lambda^2 N
\end{aligned}
\]
Vemos que \(X',Y',N'\) se expresan en todos los casos en función sólo de \(X, Y, N\) , luego esta terna forma una configuración geométrica, que corresponde al vector ligado. También vemos que \(X',Y'\) se expresan sólo en función de \(X,Y\) , por lo que determinan una configuración independiente del sistema de coordenadas, la de vector libre. No cambia en las traslaciones, y en el resto de transformaciones cambia como las coordenadas.
La forma homogénea en que se expresa la terna \(X',Y',N'\) en función de \(X,Y,N\) hace que las razones \(X':Y':N'\) dependan sólo de las razones \(X:Y:N\), con lo que tenemos otra configuración geométrica, la línea recta.
Para el caso específico del par de fuerzas, resulta que para traslaciones y rotaciones \(N'=N\) , para reflexión \(N'=-N\) y para cambio de unidad \(N'=\lambda^2 N\) , lo que puede llamarse un invariante, al no cambiar salvo un factor. En este caso el invariante es relativo, en vez de absoluto, al ser el factor diferente de la unidad. Klein muestra que el área de un triángulo se transforma en los cuatro tipos de transformaciones precisamente como el par de fuerzas, por lo que estas dos magnitudes son geométricamente equivalentes. Si en un sistema de coordenadas relacionamos un par de fuerzas con el área de una figura plana, esta relación se mantiene tras un cambio de coordenadas, pues ambas magnitudes se transforman de la misma manera.
Todo lo anterior es un ejemplo concreto, en el plano, de dos principios generales que enuncia Klein aproximadamente así:
- Las propiedades geométricas de cualesquiera figuras deben ser expresables mediante fórmulas que no se modifican cuando se cambia el sistema de coordenadas. Recíprocamente, cualquier fórmula que, en este sentido, es invariante bajo el grupo de estas transformaciones de coordenadas debe representar una propiedad geométrica.
- Dado un sistema de magnitudes analíticas que emplean las coordenadas de puntos 1, 2, ... , si el sistema de magnitudes formado a partir de las coordenadas "nuevas" de esos puntos se expresa exclusivamente en términos de las expresiones formadas a partir de las coordenadas "viejas", sin que aparezcan explícitamente las coordenadas mismas, entonces decimos que el sistema define una nueva configuración geométrica, es decir, independiente del sistema de coordenadas. De hecho, clasificaremos todas las expresiones analíticas de acuerdo al comportamiento bajo transformaciones de coordenadas, y definiremos como geométricamente equivalentes dos series de expresiones que se transformen de la misma forma.
Estos principios se ejercitan al pasar al espacio tridimensional y hacer Klein un desarrollo similar al del plano, pero más profuso, que tres dimensiones dan más de sí que dos. Usando la "receta" de Grassmann aplicada a conjuntos de dos, de tres y de cuatro puntos (ahora cada uno con 3 coordenadas), Klein define once expresiones analíticas y su comportamiento frente a cambios de coordenadas.
Con dos puntos:
Con tres puntos:
determinando estas cuatro expresiones lo que puede llamarse segmento-de-plano o magnitud-de-plano.
Con cuatro puntos se tiene el "espato", denominación original de Grassmann, seis veces el "volumen" (con signo) del tetraedro formado por los cuatro puntos 1, 2, 3 y 4 en ese orden:
El comportamiento frente a cambios de coordenadas se resume en esta tabla
Un escalar de primera clase, o escalar sin más, es aquella magnitud numérica que no cambia con ninguna de las transformaciones citadas, salvo el cambio de unidad, mientras que el escalar de segunda clase cambia su signo con la inversión.
Llegamos así a un punto de interés histórico, pues Klein presenta otra nomenclatura derivada de los trabajos de Hamilton. Este fue quien introdujo el término "vector" para nuestro "vector libre", pero sin manejar el concepto de vector ligado, ni la distinción entre vector libre y magnitud-de-plano, pues no contempló como transformaciones la inversión ni el cambio de unidad. Más tarde al contemplar el efecto de una inversión se distinguió entre "vector polar", con cambio de signo, y "vector axial", sin cambio de signo tras una inversión. Esta distinción se da también para los escalares, de segunda clase si cambian de signo, de primera si no lo hacen. Diversas combinaciones de las magnitudes sencillas tendrán distintos comportamientos. El producto escalar de dos vectores polares es un escalar de primera clase. Las componentes de tres vectores polares forman un determinante que es un escalar de segunda clase.
Klein da a entender que el desarrollo del álgebra vectorial originado en Hamilton, que caló en la física gracias a Maxwell y sobre todo a Heaviside y J. W. Gibbs, era algo más "pobre" que el manejado por Grassmann, al ignorar diferencias que en este segundo caso eran patentes. Grassmann estudió en su "Lineale Ausdehnungslehre" la teoría de invariantes del grupo de transformaciones afines que dejan el origen fijo. Hamilton se limitó al grupo ortogonal. En ese ámbito son equivalentes vector polar y axial, o magnitud-de-plano. Grassmann en su "Vollständige Ausdehnungslehere" se limitó al grupo ortogonal, y representó la magnitud-de-plano libre mediante un vector, que llamó el complemento de la magnitud-de-plano, y corresponde a lo que en física se llama producto vectorial.
Estas pinceladas de las primeras cincuenta páginas pueden dar una idea del carácter "Elemental" y a la vez "Avanzado" de la obra que nos ocupa. Y eso que ni he mencionado cómo explica Klein la base matemática del funcionamiento del Planímetro Polar de Amsler. Apabullante.
