Felix Klein EMAS Geometry

Andando últimamente a vueltas con la geometría, al fin he concluido la impresionante obra de Felix Klein "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" en edición de Dover. Es un segundo volumen tras el "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Arithmetic Algebra Analysis".

Estas versiones inglesas derivan de la tercera edición de las "Elementarmathematik vom höheren Standpuntke aus" de Felix Klein, publicada en tres volúmenes por J. Springer entre 1924 y 1928. En el archivo de internet pueden encontrarse versiones en alemán con el original de puño y letra del propio Klein.

En español hay una traducción de estos dos volúmenes en la década de 1930, y en época más reciente,
junio de 2006, la editorial Nivola publicó el primer volumen, "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética. Álgebra. Análisis"  en el volumen nº 15 de la colección Ciencia Abierta. El nº 16 de esa colección está asignado al volumen sobre Geometría, pero a principios de 2013 aún no se había publicado.
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ACTUALIZACIÓN IMPORTANTE.
Tras varios días de publicar esta entrada, y de  lanzar unas cuantas entradas más sobre esta obra, buscando información sobre un tal Polhke, lo que son las cosas y los buscadores, he llegado a... que están disponibles en la red los dos volúmenes en castellano de MATEMÁTICA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, de Felix Klein, editados en la BIBLIOTECA MATEMÁTICA dirigida por J. REY PASTOR. ¡Albricias! Aquí están en el Centro de Información y Documentación Científica , el de Aritmética - Álgebra - Análisis traducido por Roberto Araujo, y el de Geometría traducido por R. Fontanilla. Parece que estas traducciones son de una versión del original alemán de 1908, luego tendrán algunas diferencias respecto a las ediciones indicadas antes.
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Por tanto, como no entiendo bien la letra de Klein y no tengo ni idea de alemán, he empleado la versión inglesa de Dover, editorial a la que no se podrá elogiar nunca lo suficiente por la extensa oferta de excelentes obras a precios muy asequibles, y con ediciones muy dignas en cuanto a calidad de la encuadernación,  tipografía e ilustraciones. Dover, I really love you.


Felix Klein siempre tuvo un interés en la pedagogía de las matemáticas, y esta obra iba dirigida a maestros de escuelas de bachillerato. Era una audiencia bien formada, a la que no se pretendía enseñar los temas tratados, sino dar una visión amplia de la matemática, que pudiese beneficiar a su propia docencia. En el primer volumen está más presente la orientación pedagógica en aspectos concretos. En el segundo prevalece ante todo el ideal enciclopédico, ofrecer una visión global de la geometría, mostrando las interrelaciones entre sus partes y el desarrollo histórico "reciente", en el siglo XIX.

El "punto de vista superior (o avanzado)" del título hay que tomarlo completamente en serio. Indica que, no siendo un libro de texto, tampoco es divulgativo, ni fácil; es denso en contenido y su "digestión" requiere ciertos conocimientos previos, tiempo y esfuerzo. Y muy posiblemente descansos, e idas y venidas, pues al final las distintas partes están completamente relacionadas, y hay que alternar el acercamiento de cada parte por separado, con la distancia de ver la obra en su conjunto, lo que solo se consigue al alcanzar el tramo final.

En la introducción Felix Klein aboga por una presentación de la geometría en fusión con la aritmética, en su acepción más amplia e inclusiva del álgebra y el análisis. También aboga por superar la forma tradicional de enseñar por un lado la geometría del plano y por otro la del espacio, de forma un tanto independiente. Precisamente una de las aportaciones de la aritmética a la geometría es la generalización dimensional de la geometría, conjugar en un edificio único la geometría de una, dos, tres... y de un número arbitrario de n dimensiones, terreno éste en el que la intuición visual pierde pie.

El volumen sobre Geometría se divide en tres partes:

1. Las Variedades Geométricas más Simples.

• Segmento de Línea, Área, Volumen como Magnitudes Relativas
• El Principio del Determinante de Grassmann para el Plano
• El Principio de Grassmann para el Espacio
• Clasificación de las Configuraciones Elementales del Espacio de acuerdo a su Comportamiento bajo Transformaciones de Coordenadas Rectangulares
• Variedades Derivadas

2. Transformaciones Geométricas.

• Transformaciones Afines
• Transformaciones Proyectivas
• Transformaciones Puntuales Superiores
• Transformaciones con Cambio del Elemento Espacial
• Teoría de lo Imaginario

3. Discusión Sistemática de la Geometría y sus Fundamentos.

• Discusión Sistemática
• Repaso a la Estructura de la Geometría
• Digresión sobre la Teoría de Invariantes de Sustituciones Lineales
• Aplicación de la Teoría de Invariantes a la Geometría
• Sistematización de las Geometrías Afín y Métrica en Base al Principio de Cayley
• Fundamentos de la Geometría
• Desarrollo de la Geometría Plana con Énfasis en los Movimientos
• Otro Desarrollo de la Geometría Métrica - el Rol del Axioma de las Paralelas 
• Los Elementos de Euclides

Rasgos principales del tratamiento de Klein en esta obra son:

• Usa plenamente el aparato analítico para desarrollar la geometría, pero sin olvidar nunca la interpretación geométrica ("visual") de las expresiones analíticas. 
• Emplea la idea de transformaciones para definir como elementos geométricos aquellos expresados mediante combinaciones analíticas que se transforman entre sí.
• Generalidad respecto al número de dimensiones, usando la senda trazada por Grassmann.
• Relaciona entre si los distintos tipos de transformaciones, afines, proyectivas, por radios inversos, dualísticas (polo-polar), de contacto. 
• Realza el lugar preferente de la geometría proyectiva; la importancia de la dualidad, de considerar como conceptos igual de "elementales" el punto y la recta en el plano, o el punto y el plano en el espacio; la relación polo-polar; el papel especial de las curvas cónicas. 
• Expone la importancia y significado de los "elementos infinitamente distantes".
• Usa y explica el papel de las coordenadas homogéneas.
• Aborda la "teoría de lo imaginario", cómo emplear en la maquinaria analítica los números complejos, y dar significado geométrico al resultado.  
• Valiosos aportes de carácter histórico en cuanto a los protagonistas del  desarrollo de la geometría en el siglo XIX.
• Aborda la teoría de invariantes de sustituciones lineales, y su aplicación a la geometría en el marco del principio de Cayley, para llegar a comprender qué significan las palabras de éste "la geometría proyectiva es toda la geometría", y sistematizar en ese marco conceptual las geometrías afín y métrica. 
• Repasa modos alternativos de plantear el desarrollo fundacional de la geometría.
• Discute el significado del postulado de las paralelas y de las geometrías no euclideas.
• Y acaba Klein con un repaso crítico de la primera obra, los Elementos de Euclides.

En fin, una obra impresionante, única, de autor. Según la preparación de cada uno resultará más o menos ardua, pero preparación y ganas se necesitan. Yo fui más o menos bien en la primera parte y casi toda la segunda parte, pero al llegar a la teoría de lo imaginario me tomé unas vacaciones. Y en la tercera y última parte hay que ir especialmente con cuidado, repasando lo que hemos dejado atrás, releyendo, dando vueltas a qué nos quiere decir don Felix. Pero puede llegarse a apreciar el principio de Cayley, que Klein expresa así

la geometría afín, o la geometría métrica, surgen de la geometría proyectiva cuando adjuntamos a la variedad dada el plano en el infinito \( \tau=0 \), o este plano junto con el círculo esférico imaginario \( \tau=0, \xi^2+\eta^2+\zeta^2=0 \), respectivamente.

Pero aún pareciendo que esta subida se hace larga, y crece el agotamiento, y falta el aire, también se vislumbran paisajes espléndidos, caminos confluyentes, aromas únicos, susurros de gigantes desde tiempos legendarios.

significados cónicos 2

Tras la "revelación" del significado de parábola, elipse e hipérbola, rondando el tema de las matemáticas de la Antigua Grecia, encuentro en el primer tomo de "El pensamiento matemático desde la antigüedad a nuestros días", de Morris Kline, Alianza Editorial, que antes de aplicarse tales términos en el contexto de las cónicas, se emplean en ... los "Elementos" de Euclides. Uno de los significados de parábola es "aplicar" (poner lado a lado), y en la proposición 44 del libro I se indica cómo, dado un triángulo cualquiera y un ángulo rectilíneo dado, construir (aplicar) un paralelogramo sobre ese ángulo y con el mismo área que el triángulo. Para los griegos las áreas manejables y claramente equivalentes son las de figuras delimitadas por segmentos rectos. Las áreas de figuras delimitadas por lineas curvas son harina de otro costal, de ahí el interés de cuadrar el círculo, y la emoción del éxito de Hipócrates de Quíos al cuadrar sus lúnulas. Para llegar a que el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro hay que recurrir al método de exhaución agotando por dentro y por fuera al pobre círculo mediante tantos polígonos como haga falta. La relación entre el área de dos círculos de diferentes diámetros se ve forzada a depender del cuadrado de la relación entre sus diámetros "por culpa" de que esa es la relación bien probada que cumplen los simples polígonos que pueden agotar a cada uno de los círculos por fuera y por dentro.

El caso es que en el libro VI de los Elementos en las proposiciones 28 y 29 se construye sobre un segmento dado un paralelógramo de área igual a una dada, pero con un lado menor (Elleipsis) o mayor (Hyperbolè) que el segmento dado. Estas proposiciones expresan geométricamente cómo obtener una de las dos raíces de una ecuación cuadrática. Las notas de la versión greco-inglesa editada por Richard Fitzpatrick indican que en el primer caso se "resuelve" \( x^2-\alpha x+\beta \) con \( \beta < \alpha^2 / 4 \), y en el segundo se "resuelve" \( x^2+\alpha x+\beta \).

Todo esto antes de que Apolonio metiera el corte al cono.

http://archive.org/details/treatiseonconics00apolrich

Cuando llegó la geometría analítica en todo su esplendor, las curvas cónicas resultaron expresarse siempre mediante una ecuación cuadrática. Salvo "casos degenerados", una curva con ecuación
\[
A x^2 + B x y + C y^2 + F x + G y + H =0
\]
se clasifica según el valor
\( K =  4 A C - B^2 \) así:
si \( K < 0 \), es una hipérbola;
si \( K = 0 \), es una parábola;
si \( K > 0 \), es una elipse.

Vemos que \(F,G,H\) no deciden nada en cuanto al tipo de cónica.

Y cuando llegaron las ecuaciones en derivadas parciales, las de segundo orden en dos variables, tan queridas de la física-matemática, se clasifican en ...
\[
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2 \phi}{\partial y^2}=f(x,y) \  \ \text{(hiperbólica)}
\]
\[
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}-\kappa \frac{\partial \phi}{\partial y}=f(x,y) \  \ \text{(parabólica)}
\]
\[
\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}=f(x,y) \  \ \text{(elíptica)}
\]

Aquí tenemos algo similar a la ecuación analítica de una cónica, solo que ahora la \(x\) e \(y\), coordenadas de la cónica, se sustituyen por sendos operadores derivada parcial respecto de \(x\), y respecto de \(y\). La primera ecuación se reconoce mejor como la ecuación de ondas si en vez de \(y\) ponemos \(t\), y con idéntico cambio la segunda se parece más a la forma habitual de la ecuación del calor de Fourier. 

El caso "general"  

\[
A(x,y) \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x^2}+B(x,y) \frac{\partial ^2 \phi}{\partial x \partial y}+C(x,y) \frac{\partial ^2 \phi}{\partial y^2} + F(x,y) \frac{\partial \phi}{\partial x} +G(x,y) \frac{\partial \phi}{\partial y} + H(x,y) =0
\]

se clasifica como hiperbólico, parabólico o elíptico, en un punto \( (x_0,y_0)\) , con el mismo criterio que el empleado antes, mirando el valor de

\[
4 A(x_0,y_0) C(x_0,y_0) - {B(x_0,y_0)}^2
\]
Cuando los coeficientes son constantes tenemos que la clasificación en un tipo u otro es la misma para todos los puntos.
Es curioso que las ecuaciones parabólicas describan procesos de difusión, o el flujo de calor, y las hiperbólicas describan sistemas vibrantes y movimiento ondulatorio. Pero las elípticas son más "cerradas", describen fenómenos estacionarios, como en las ecuaciones de Laplace y Poisson, donde cobran especial importancia las condiciones de contorno.


Esta tríada cónica también aparece en el ámbito mismo de la geometría, pero no ligada a algo tan concreto como cortes a un cono, sino a un nivel más "trascendental": la falta de hegemonía de la mismísima geometría por excelencia, la única, la Geometría Euclídea. Uno de los hilos más largos y preciosos de la historia de las matemáticas es el devenir del quinto postulado de Euclides

Que si una recta incide sobre otras dos formando del mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, al prolongarlas indefinidamente se encontrarán por el lado en que los ángulos sean menores que dos rectos.

Con este enunciado no es de extrañar que se buscara "prescindir" del quinto, que debería deducirse de los cuatro anteriores, estos bien sencillos y obvios. Siglos y siglos pasaron, falsos éxitos se dieron, pero en el sigo XVIII, con las luces, se dio un progresivo acercamiento a la "solución", que al final obtuvo para sus adentros el gigante Gauss, y para pasar a la posteridad Nikolái Lobachevski por un lado y  János Bolyai por  el otro. La solución es sencilla, el quinto no se puede deducir de los otros cuatro, y puede negarse sin por ello dar lugar a contradicción. Más bien se da entonces lugar a ... una geometría no euclidea, la geometría hiperbólica. Es curioso que la aparición de esta es todo un acontecimiento cataclísmico, mientras que otra geometría no euclidiana, la geometría elíptica, había tenido un "familiar" bien estudiado y provechoso, la geometría esférica sobre la superficie de una esfera tridimensional.

Tenemos tres opciones, correspondientes a cada miembro del triunvirato. Aunque es poco común oir hablar de "geometría parabólica", esta podría ser la denominación de la geometría euclidea. Según la wikipedia inglesa,

Klein es responsable de los términos "hiperbólico" y "elíptico" (en su sistema llamó "parabólica" a la geometría euclídea, un término que no ha sobrevivido el paso del tiempo)

En esta otra parte de la wikipedia inglesa se recoge la disconformidad de H. S. M. Coxeter, uno de los grandes geómetras del siglo XX, con el término "elíptico":

El nombre elíptico es tal vez equívoco. No implica ninguna conexión directa con la curva llamada elipse, sino solo una analogía algo traída por los pelos. Una cónica central se llama elipse o hipérbola según no tenga asíntota o bien tenga dos. Analogamente un plano no euclídeo se llama elíptico o hiperbólico según que cada una de sus líneas o bien no tenga punto alguno en el infinito o bien tenga dos.

A mí la analogía no me parece tan extravagante, más bien esclarecedora, por la similitud de "tres casos" con el intermedio (parábola) como límite separador entre los otros dos. Además las tres geometrías se "unifican" bajo el regazo de la geometría proyectiva, que para Arthur Cayley era "toda la geometría", y es en ese regazo en el que los tres tipos de cónicas también se mezclan y transforman entre sí, pues el cono doble es el heraldo mismo de la proyección.

El caso es que tendríamos algo así:

Geometría elíptica: por un punto exterior a una recta no pasa ninguna recta paralela, una forma drástica de negar el quinto postulado euclídeo; la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que dos rectos; curvatura positiva, constante en el caso de la geometría esférica.

Geometría "parabólica", o euclídea: por un punto exterior a una recta pasa una y solo una recta paralela, una de las formulaciones equivalentes del quinto postulado; la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos; curvatura constante nula.

Geometría hiperbólica: por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela (¡infinitas!), otra forma de negar el quinto de Euclides;  la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos; curvatura negativa, constante en el caso del plano hiperbólico.

Tanto el caso elíptico como el hiperbólico pueden, localmente, aproximarse tanto como se quiera al "parabólico". Para triángulos suficientemente pequeños en las tres geometrías la suma de los ángulos es de casi dos rectos, con un casi proporcional al área del triángulo, por exceso en el caso elíptico, por defecto en el hiperbólico, y con un casi plenamente nulo en el caso parabólico.

Pero es globalmente donde las tres geometrías muestran sus diferencias. Ahí, globalmente, es donde la geometría esférica resulta ser sólo un "pariente" pero no un modelo de la geometría elíptica. Para conseguir tal modelo hay que recurrir a identificar los puntos antipodales sobre la esfera. Y ello para que sea válido uno de los postulados euclideos básicos, que por todo par de puntos distintos pasa una y solo una línea recta. En la esfera, considerando que las "rectas" son los círculos máximos, por los polos Norte y Sur (o cualquier otro par de puntos antipodales) pasan infinitas rectas. Al identificarlos, asunto arreglado, tenemos entonces un modelo genuino de geometría elíptica plana, pero con una estructura topológica global completamente diferente a la esférica: la esfera es una superficie de dos caras, el plano elíptico es una superficie de una sola cara, ¡que contiene una cinta de Möbius!

Arquímedes y el área de la parábola

En una entrada anterior tras las secciones cónicas, decía que el área del segmento de parábola, \(P\) se expresa en términos del área del triángulo inscrito \(T\) simplemente así \(P = \frac{4}{3}T\).
Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área \(T\), dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
\[
P = T + 2 \frac{T}{8} + 4 \frac{T}{64} + ... = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + ...
\]

Me dejé en el tintero electrónico la ilustración de cómo se agota la parábola, algo como esta bonita imagen:

Tenemos el segmento de parábola, delimitado por la propia parábola y la cuerda \(AC\). Su área se aproxima inicialmente por el área del triángulo inscrito \(ABC\), que será el primer término de la "progresión de agotamiento". El punto medio de la cuerda \(AC\) es \(D\). El proceso de agotar el segmento de parábola a base de sucesivos triángulos, más numerosos y más pequeños, presenta una simetría especular izquierda-derecha respecto de la línea \(BD\). Entre el segmento de parábola y el triángulo \(ABC\) hay un par de huecos iguales a ambos lados del punto B.

Cada uno de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que juntos formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.

A la derecha tenemos el \(BHC\), un triángulo con el mismo área que el triángulo \(DFC\). La clave es que \(E\) es el punto medio entre \(D\) y \(C\), por lo que el punto \(H\) sobre la parábola, por ser parábola, es tal que
\[
\frac{BD}{IH} = \frac{DC^2}{DE^2} = 4
\]
Entonces \(HG = GF = FE\), y los triángulos \(BHG\),\(CHG\),\(DFE\) y \(CFE\) tienen áreas iguales. El área de \(BHC\), o de \(DFC\), es un cuarto del área de \(BDC\), un octavo del área de \(ABC\). Pero es que al lado izquierdo tenemos otro octavo, con lo que como segundo término de la progresión de agotamiento obtenemos un área de un cuarto del primer término.

Solo queda repetir el proceso con los huecos que aún dejan \(BHC\) a la derecha y su imagen especular a la izquierda. Por la derecha tenemos dos partes, con dos triángulos, \(BLH\) y \(HRC\), que junto a sus dos especulares amigos contribuyen al tercer término, que debería ser un cuarto del segundo. La verdad es que yo lo veía claro con el \(BLH\) , pues es una versión similar aunque reducida de la situación inicial, pero no tan obvio para el \(HRC\). Tras liarme más de la cuenta, el fantasma de Apolonio me dió una colleja y caí en que una parábola menos una recta es ... otra parábola.

En esta figura restando de la parábola azul la recta \(AC\) también azul, nos queda la versión "derecha" (en su mejor sentido de "erecta"), la parábola roja con la cuerda horizontal como base del segmento. Esto de paso sirve para comprender que el segmento parabólico y el triángulo inscrito pueden no estar derechos, como los azules, y que esa situación más general es reducible a la de segmentos de parábola derechos, como el rojo. El vértice de la parábola roja queda en la vertical del punto \(B\) de tangencia a la parábola azul de la paralela a la cuerda \(AC\). En la parábola azul, esta cuerda \(AC\) y la cuerda infinita que parte de \(B\) y pasa por \(D\) son conjugadas, es decir, \( BD \infty \) corta por el punto medio a todas las cuerdas paralelas a \(AC\), aunque estas cuerdas no hagan en este caso lo recíproco. Siempre la cuerda conjugada infinita es paralela al eje de la parábola.

Y ahora me toca aclarar (es un decir) eso de que Arquímedes "vió" cómo se agota la parábola con triángulos. Arquímedes demostró con total y pleno rigor, equiparable al de un Cauchy o un Weirstrass, el resultado \(P = \frac{4}{3}T\) , usando el método de exhaución, que consiste en aplicar un doble razonamiento por reducción al absurdo, para llegar a sendas contradicciones si se opta por la desigualdad de tales cantidades en uno  \(P < \frac{4}{3}T\)  u otro  \(P > \frac{4}{3}T\)  sentido, por lo que no queda otra que aceptar la igualdad.

La sucesión de triángulos inscritos que hemos visto se usa para uno de los razonamientos por reducción al absurdo. En esta demostración es clave la teoría de Eudoxo de la proporción, que Euclides recoge en el libro V de sus Elementos y concretamente el axioma de Eudoxo-Arquímedes, o de continuidad, definición 4 de ese libro:

Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.

Entonces la menor, por muy pequeña que sea, repetida un número entero de veces suficientemente grande, puede llegar a sobrepasar a la mayor, por grande que se haya tomado. Que esto tan de cajón debe ser axioma, y no palmaria evidencia indiscutible, lo corrobora el que ¡hay cuerpos no arquimedianos! Estos matemáticos...

Junto a este axioma el otro apoyo clave del método de exhaución es la primera proposición del libro X de los Elementos, llamado a veces principio de Eudoxo:

Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

En el caso de la parábola, Arquímedes demuestra que cada término sucesivo de suma de áreas de triángulos para agotar la parábola, supone más de la mitad de la diferencia entre el área de la parábola y lo ya "agotado" hasta entonces. Es contradictorio pues, un absurdo, suponer que \(P < \frac{4}{3}T\), ya que con un número finito de términos, suficientemente grande, puedo cubrir con triángulos por el interior del segmento parabólico un área que se aproxime a  \( \frac{4}{3}T\)  tanto como se quiera, superando el presunto área \(P\).

Bueno, bueno, estoy "agotado". Pero puedo recomendar como libro de gran interés para todo lo relacionado con Arquímedes, la obra de Pedro Miguel González Urbaneja "Arquímedes y los origenes del cálculo integral", volumen 24 de la colección ciencia abierta de, como no, la editorial nivola. Cuenta con los siguientes capítulos:
1 Antecedentes infinitesimales prearquimedianos
2. Arquímedes en la historia de la cultura
3. La obra matemática arquimediana
4. El Método Mecánico del descubrimiento arquimediano
5. El método de demostración por exhaución
6. el tratado Sobre la medida del círculo
7. La influencia de Arquímedes en la génesis del cálculo integral
Epílogo: Los métodos de Arquímedes y los orígenes del cálculo integral

recordando a Richard Feynman

Hoy 15 de febrero hace 25 años de la muerte de Richard Phillips Feynman, de modo que es buena ocasión para recordarle. Hay bastantes biografías de Feynman. Hace tiempo leí "Los caminos cuánticos. Feynman", de Jesús Navarro Faus, editorial Nivola. Recientemente se ha publicado "Descubrir a Richard Feynman. Biografía científica", de Lawrence M. Krauss, editorial RBA, muy interesante y accesible.

Pero de la mano (o la voz transcrita) del propio Feynman, es imprescindible la reseñada en este blog, QED The Strange Theory of Light and Matter" , disponible también en castellano como "Electrodinámica cuántica La extraña teoría de la luz y la materia". Para los estudiantes de física (actuales, pretéritos o futuros) nunca está de más aventurarse en cualquiera de los tres tomos de las FLOPs, "Feynman Lectures On Physics". Aunque se conozca la materia es casi seguro encontrarse con un enfoque original, distinto, esclarecedor.

Y para disfrutar sin límites del lado humano, dos obras imprescindibles.

Una es "¿Esta usted de broma, Sr. Feynman" subtitulado "Aventuras de un curioso personaje tal como le fueron referidas a Ralph Leighton". La vida de Feynman en sus propias palabras. Uno de los episodios que más me gustó en su momento es el titulado "!Yooooooo!", página 77 en la edición de Alianza Editorial de 1987. La acción transcurre en el College de Princeton, donde se dan charlas y conferencias de lo más variado, a las que se acudía algunas veces con la intención de poner en apuros al conferenciante. Un día el Dr. Eisenhart, gran matemático, anuncia una próxima conferencia de un profesor de psicología sobre la hipnosis, con una parte práctica, para la que se requieren algunos voluntarios a ser hipnotizados.

Me puse hecho un flan. ¡Yo tenía que averiguar qué era de verdad eso de la hipnosis! ¡Iba a ser tremendo!
...
Estaba yo temiendo que Eisenhart no alcanzara a verme, por lo muy apartado que me encontraba. ¡Yo tenía que intervenir en la exhibición, fuera como fuera!
Por fin Eisenhart dijo:"Y por todo esto, me gustaría preguntarles si va a haber algún voluntario..."
Alcé la mano y salté de mi asiento, gritando con todas mis fuerzas para asegurarme de que me oyera: "¡YOOOOOOOO!"
Desde luego que me oyó, y perfectamente, porque no hubo un alma más que se ofreciera. Mi voz reverberó por todo el salón. Fue muy embarazoso. La inmediata reacción de Eisenhart fue: "Pues claro, señor Feynman. Ya contaba con que usted se presentaría; pero me estaba preguntando si además de usted habría alguien más"

Puro  Feynman. Una semana antes de la conferencia el psicólogo evalúa la idoneidad de los candidatos para ser hipnotizados, y resulta que Feynman era muy adecuado. Es interesante cómo relata la evaluación Feynman:

Empezó a trabajar conmigo y pronto me encontré en una situación en la que me dijo."No puede usted abrir los ojos".
Yo dije para mis adentros: "Apuesto a que si quisiera podría abrir los ojos, pero no quiero crear dificultades. Veamos hasta dónde llega esto."
La situación era interesante. Se siente uno como un poco obnubilado, y aunque se pierde un poco el control, uno está bien seguro de poder abrir los ojos. Pero, claro, no va a abrirlos, por lo que en cierto sentido es como si no pudiera.

Y llega el gran día de la exhibición, los voluntarios son hipnotizados, subidos al estrado, ante todo el College de Princeton.

Esta vez el efecto fue más intenso; quizá yo había aprendido a ser hipnotizado. El hipnotizador realizó diversos experimentos, y me hizo hacer  cosas que normalmente yo no hubiera hecho, y al final me dijo que cuando saliera de la hipnosis, no me encaminara directamente a mi asiento, como sería lo más natural, sino que diera la vuelta a toda la sala, y me dirigiera  a mi localidad desde el fondo.
A lo largo de toda la exhibición, yo tenía una vaga conciencia de lo que estaba sucediendo, y cooperando con lo que decía el hipnotizador; pero esta vez me dije:"¡Maldita sea, ya esta bien! Voy a ir derecho a mi asiento."
Cuando llegó el momento de levantarme y abandonar el estrado eché a andar directamente hacia mi puesto. Pero entonces me asaltó una sensación desazonante; tan molesta y fastidiosa, que no pude seguir avanzando. Tuve que dar la vuelta a toda la sala.

Más tarde, en otra ocasión, Feynman volvió a ser hipnotizado, sin sentir dolor por la proximidad de una vela. Pensó que había trampa, pero le salió una ampollita. Concluye el episodio con la valoración de Feynman

Así que la hipnosis me pareció una experiencia muy interesante. Uno se pasa todo el tiempo diciendosé: "Yo podría hacer tal cosa, si quisiera, pero no quiero", lo cual no es sino otra forma de decir no puedo.

Otra obra entrañable es "What do you care what other people think? Further adventures of a curious character", o ¿Qué te importa lo que piensen los demás? . La segunda parte describe la intervención de Feynman en la investigación sobre la destrucción del Challenger, con su demostración del efecto de las bajas temperaturas sobre una junta de goma. Pero más emotiva es la primera parte, en especial en lo relativo a la muy especial y única relación entre Feynman y la que sería su primera esposa, Arlene, que en su juventud le prestó más atención después de que Feynman le ayudase con sus clases de filosofía con ... la banda de Möbius.

De este libro, un fragmento en boca de Feynman

Arlene y yo empezamos a moldear cada uno la personalidad del otro. Ella vivía en una familia muy educada, y era muy sensible a los sentimientos de los demás. Me enseñó a ser más considerado con ese tipo de cosas. Por otro lado, su familia pensaba que las "mentiras piadosas" estaban  bien.
Yo pensaba que se debería tener la actitud de "¿por qué preocuparse de lo que piensen los demás?" Yo decía "Debemos escuchar las opiniones de los demás y tenerlas en cuenta. Pero si no tienen sentido y creemos que están equivocadas, allá ellos."
Arlene captó enseguida la idea. Fue fácil convencerla de que en nuestra relación debíamos ser muy honestos uno con el otro y decirlo todo a las claras, con absoluta franqueza. Funcionó muy bien  y nos enamoramos del todo, con un amor como ninguno que haya conocido.

Y para acabar el homenaje, este último libro concluye con un epílogo, El Valor de la Ciencia, en el que se incluye este pensar poético de Feynman, de pie, sólo, a la orilla del mar

There are the rushing waves
mountains of molecules
each stupidly minding its own business
trillions apart
yet forming white surf in unison.

Ages on ages
before any eyes could see
year after year
thunderously pounding the shore as now.
For whom, for what?
On a dead planet
with no life to entertain.

Never at rest
tortured by energy
wasted prodigiously by the sun
poured into space.
A mite makes the sea roar.

Deep in the sea
all molecules repeat
the patterns of one another
till complex new ones are formed.
They make others like themselves
and a new dance starts.

Growing in size and complexity
living things
masses of atoms
DNA, protein
dancing a pattern ever more intricate.

Out of the cradle
onto dry land
here it is
standing:
atoms with consciousness;
matter with curiosity.

Stands at the sea, wonders at wondering: I
a universe of atoms
an atom in the universe.

¡Vaya con la valla baya!

Ya ponen los episodios de la quinta temporada de El Mentalista en la Sexta. El segundo episodio tiene su hueco en esa web , de donde tomé esta instantánea

Vaya con la "Devil's Cherry" del original, que parece referirse a la belladona, ¿un Lost in Translation ha convertido la baya en valla? Es para dar una vaya.

significados cónicos

Otra curiosidad encontrada en "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, es la explicación de los términos parábola, elipse e hipérbola, dados a las secciones cónicas. Tanto tiempo cortando conos de todos los modos posibles y mira por dónde.

Dice el DRAE que una parábola es una narración que emplea la comparación o semejanza. En su origen griego este término indica comparación, yuxtaposición, analogía.

Pues resulta que en una parábola con directriz vertical y foco a la derecha de la directriz, midiendo las coordenadas \( x,y \) desde su vértice, los puntos de la parábola verifican la ecuación
\[
y^2 = x \cdot 2 p
\]
siendo \(2p\) el latus rectum, la longitud de la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco. Esa ecuación compara como iguales, como análogos en área, el cuadrado de lado \( y \) y el rectángulo de lados \(x\) y \( 2p \).

Dice el DRAE lo que significa elipse, cuya raíz es la misma que elipsis, que significa omitir, suprimir.

En el caso de la elipse, de nuevo con la directriz vertical, los focos hacia la derecha, midiendo las coordenadas desde el vértice izquierdo, los puntos de la elipse verifican la ecuación
\[
y^2 = x \cdot 2 p - (1-e^2) x^2
\]
siendo \(e\) la excentricidad. Ahora al rectángulo de lados \(x \) y \( 2p\) hay que quitarle algo para conseguir el cuadrado de lado \(y\). Esta falta u omisión es la que llevó a Apolonio a llamar a esta curva elipse.


Dice el DRAE qué es una hipérbola, que comparte origen con hipérbole, exagerar, aumentar.

En el caso de la hipérbola con sus dos ramas, en coordenadas medidas con criterios análogos a los empleados para parábola y elipse la fórmula aplicable es
\[
y^2 = x \cdot 2 p + (e^2-1) x^2
\]
El cuadrado de lado \(y\) tiene ahora un exceso respecto del área del rectángulo de lados \(x\) y \(2p\).

Qué excesos.

Para rematar el asunto, Ostermann y Wanner presentan el cálculo del área de una parábola debido a otro de los gigantes griegos, Arquímedes. El área de la parábola, \(P\) se expresa en términos del área del triángulo inscrito \(T\) simplemente así
\(
P = \frac{4}{3}T
\)
Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área \(T\), dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
\[
P = T + 2 \frac{T}{8} + 4 \frac{T}{64} + ... = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + ...
\]
Esta suma infinita es \(\frac{4}{3}T\) como demuestra Arquímedes gráficamente. Tomamos un cuadrado de área \(P\), le dividimos en cuatro partes iguales, juntamos tres de las cuatro partes, y a ese área le llamamos \(T\); y con el otro cuarto (de área \(T/3\) ) repetimos la operación de hacer cuatro cuartos y unir tres, esos tres tienen un área de \(\frac{3}{4} \frac{T}{3}=\frac{T}{4}\); y con el otro cuarto (de área \(T/12\) ) repetimos la operación de hacer cuatro cuartos y unir tres, esos tres tienen un área de \(\frac{3}{4} \frac{T}{12}=\frac{T}{16}\); y ...

proyectivo, lineal, afín

La figura final de la anterior entrada

era un compendio de la equivalencia fundamental entre "punto de la recta proyectiva" y "recta que pasa por el origen de coordenadas", o "subespacio vectorial de dimensión \(1\) en espacio vectorial de dimensión \(2\)". Dejemos de lado los pares de puntos sobre la circunferencia b, o el punto sobre la circunferencia c. El punto P de la recta proyectiva con coordenada \( x \) tiene, en su inmersión en el plano bidimensional ordinario, coordenadas \( (x,1) \). Pero podemos usar como representante suyo cualquier punto ( como el C o cualquiera de los B ) de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por P, con las coordenadas homogéneas \( (x_1,x_2) \), es decir, tenemos \( x = x_1 / x_2 \).

¿Y de dónde viene la equivalencia? Realmente lo que da carta de naturaleza, lo que imprime carácter a la recta proyectiva, es el grupo de transformaciones descrito por la transformación de Möbius (siendo \(a d -b c \neq 0 \) )
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Esta transformación puede reescribirse en coordenadas homogéneas, usando \( x = x_1 / x_2 \) y \( x' = x_1' / x_2' \) como
\[
\frac{x_1'}{x_2'} = \frac{a x_1+b x_2}{c x_1+d x_2}
\]
Pero entonces resulta que las aplicaciones lineales no singulares del espacio vectorial bidimensional, que podemos expresar matricialmente por
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \end{array} \right] = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]
\]
con la condición \( a d - b c \neq 0 \), se corresponden con las transformaciones proyectivas de la recta. Toda aplicación lineal, en dimensión \(2\), se plasma en una transformación proyectiva, en dimensión \(1\). Puede haber distintas aplicaciones líneales que lleven a la misma transformación proyectiva. Por ejemplo todas en las que \( b=c=0 \ ; \ a = d = k \neq 0\) , que cambian un vector por otro múltiplo, dejan invariante cada subespacio vectorial monodimensional, y corresponden por tanto a la transformación proyectiva identidad. Hay un homomorfismo, que no isomorfismo, entre el grupo de aplicaciones lineales en dimensión \(2\) y el grupo de transformaciones de Möbius en dimensión \(1\). Ahí radica la equivalencia citada.

Otra relación interesante es la que hay entre la recta proyectiva y la recta afín. Esta última viene a ser lo que queda de la primera cuando restringimos las posibles transformaciones proyectivas entre puntos de la recta a únicamente aquellas que dejan fijo el punto ideal, del infinito, aquellas en que \( x=\infty \mapsto x'=\infty \). Esta restricción, vista en el ámbito del espacio vectorial de dimensión 2, implica quedarnos con aquellas aplicaciones lineales que dejan invariante la recta \( x_2=0 \), el eje de abcisas en la figura anterior.
Para imponer esta restricción a \( {x'}_2 = c x_1 + d x_2 \) debe ser \( c=0 \) , lo que nos lleva a quedarnos con las transformaciones de Möbius del tipo

\[
x \mapsto x' = \frac{a}{d} x + \frac{b}{d}
\]
que es justamente la expresión de una transformación afín en dimensión \(1\). En una dimensión tan reducida la aplicación afín más general consiste en combinar una traslación con una homotecia. Estas dos operaciones, trasladar y multiplicar la distancia a un punto dado por una constante, dejan el infinito en el infinito.

Al final vamos a parar a la concepción del Erlangen Program de Felix Klein, de que una geometría se determina por unos elementos junto con el grupo de transformaciones de los mismos. Si el grupo es muy grande, muy general, las propiedades invariantes por todo el grupo serán pocas, pero esenciales. Si restringimos nuestro interés a un subgrupo más pequeño de transformaciones, pueden aparecer más propiedades que resultan invariantes, y más específicas.

Las propiedades proyectivas en dimensión \(1\) son escasas. La razón doble es una propiedad proyectiva, pero no la razón simple. Al poner restricciones, por ejemplo al limitarnos a las transformaciones afines, surgen nuevas propiedades. En la recta afín la razón simple sí es un invariante. Si restringimos aún más, a sólo aquellas transformaciones que preserven la distancia entre puntos, tendremos la recta euclídea.

En el plano afín se estudiarán como relacionadas, como afines, susceptibles de ponerse en el mismo saco, figuras que no compararíamos ni relacionaríamos desde un punto de vista euclídeo. En la geometría euclídea ponemos en el mismo saco sólo las figuras congruentes, que pueden hacerse coincidir mediante un movimiento "rígido", o a lo sumo semejantes, que difieran sólo en la escala, pero no en la forma. El grupo de transformaciones admisibles es bastante reducido. Sin embargo afines pueden ser figuras no semejantes, deformadas una respecto a la otra por dilataciones o compresiones diferentes respecto de dos ejes distintos. Se amplía el grupo de transformaciones a considerar. Por cierto, el término afín se debe, como tantos otros, a Leonard Euler, y deriva del latín affinitas, relación por matrimonio. Euler quería transmitir que aunque una figura y su imagen afín no eran similares, no obstante estaban relacionadas (como cuenta I. M. Yaglom en la nota 63, p. 152, del muy recomendable "Geometries, Groups and Algebras in the Nineteenth Cebntury - A History").

En fin, todo está relacionado, euclídeo, proyectivo, lineal, afín, aunque saltando de dimensión. De una proyección central en un plano euclídeo (dimensión 2) se sacó la expresión analítica de las transformaciones proyectivas de la recta (dimensión \(1\) ), que pueden relacionarse con las transformaciones lineales del plano (dimensión \(2\) ).

Subiendo una dimensión, pasando de la recta al plano proyectivo, de dimensión \( 2 \), la cosa podría empezar con las aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión \( 3 \)
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{array} \right] =
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]
\]
Esta es la expresión, en términos de coordenadas homogéneas, con
\[
x= \frac{x_1}{x_3} \ \ \ ; \ \ \ y= \frac{x_2}{x_3}
\]
de las transformaciones del espacio proyectivo de dimensión \( 2 \)
\[
(x,y) \mapsto (x', y') = \left( \frac{a_{11} x +a_{12} y +a_{13}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} , \frac{a_{21} x +a_{22} y +a_{23}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} \right)
\]
Cada punto del plano proyectivo, plano que casi podemos "pintar" en el espacio tridimensional coincidiendo con el plano de ecuación \( x_3=1 \), viene representando de nuevo por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Cada recta que pasa por el origen y está contenida en el plano \( x_3=0 \) equivale a un punto del plano proyectivo en el infinito, y todas ellas en conjunto forman la recta del infinito. Esta figura está basada en la figura 64 del magnífico "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" de Felix Klein, Dover. En junio de 2006 salió en Nivola, en la colección ciencia abierta nº 15, el primer volumen "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética, Álgebra, Análisis", pero parece que la traducción del segundo volumen, de Geometría, se hace de rogar, y hay que recurrir a Dover Publications Inc., Mineola, New York. Salvo que se domine el alemán como para mirar el manuscrito del autor.

Restringirnos a transformaciones proyectivas que apliquen esa recta del infinito sobre sí misma implica pedir que \( x_3 = 0 \mapsto {x'}_3=0 \), y para ello es necesario que \( a_{31}= 0 = a_{32} \), con lo que llegamos a las aplicaciones afines del plano
\[
\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] = \frac{1}{a_{33}} \left(
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \right)
\]

Otro día Kleineo un poco.