Arquímedes y el área de la parábola

En una entrada anterior tras las secciones cónicas, decía que el área del segmento de parábola, \(P\) se expresa en términos del área del triángulo inscrito \(T\) simplemente así \(P = \frac{4}{3}T\).
Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área \(T\), dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
\[
P = T + 2 \frac{T}{8} + 4 \frac{T}{64} + ... = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + ...
\]

Me dejé en el tintero electrónico la ilustración de cómo se agota la parábola, algo como esta bonita imagen:

Tenemos el segmento de parábola, delimitado por la propia parábola y la cuerda \(AC\). Su área se aproxima inicialmente por el área del triángulo inscrito \(ABC\), que será el primer término de la "progresión de agotamiento". El punto medio de la cuerda \(AC\) es \(D\). El proceso de agotar el segmento de parábola a base de sucesivos triángulos, más numerosos y más pequeños, presenta una simetría especular izquierda-derecha respecto de la línea \(BD\). Entre el segmento de parábola y el triángulo \(ABC\) hay un par de huecos iguales a ambos lados del punto B.

Cada uno de estos huecos se rellena con sendos triángulos más pequeños, que juntos formarán el segundo término de la progresión de agotamiento.

A la derecha tenemos el \(BHC\), un triángulo con el mismo área que el triángulo \(DFC\). La clave es que \(E\) es el punto medio entre \(D\) y \(C\), por lo que el punto \(H\) sobre la parábola, por ser parábola, es tal que
\[
\frac{BD}{IH} = \frac{DC^2}{DE^2} = 4
\]
Entonces \(HG = GF = FE\), y los triángulos \(BHG\),\(CHG\),\(DFE\) y \(CFE\) tienen áreas iguales. El área de \(BHC\), o de \(DFC\), es un cuarto del área de \(BDC\), un octavo del área de \(ABC\). Pero es que al lado izquierdo tenemos otro octavo, con lo que como segundo término de la progresión de agotamiento obtenemos un área de un cuarto del primer término.

Solo queda repetir el proceso con los huecos que aún dejan \(BHC\) a la derecha y su imagen especular a la izquierda. Por la derecha tenemos dos partes, con dos triángulos, \(BLH\) y \(HRC\), que junto a sus dos especulares amigos contribuyen al tercer término, que debería ser un cuarto del segundo. La verdad es que yo lo veía claro con el \(BLH\) , pues es una versión similar aunque reducida de la situación inicial, pero no tan obvio para el \(HRC\). Tras liarme más de la cuenta, el fantasma de Apolonio me dió una colleja y caí en que una parábola menos una recta es ... otra parábola.

En esta figura restando de la parábola azul la recta \(AC\) también azul, nos queda la versión "derecha" (en su mejor sentido de "erecta"), la parábola roja con la cuerda horizontal como base del segmento. Esto de paso sirve para comprender que el segmento parabólico y el triángulo inscrito pueden no estar derechos, como los azules, y que esa situación más general es reducible a la de segmentos de parábola derechos, como el rojo. El vértice de la parábola roja queda en la vertical del punto \(B\) de tangencia a la parábola azul de la paralela a la cuerda \(AC\). En la parábola azul, esta cuerda \(AC\) y la cuerda infinita que parte de \(B\) y pasa por \(D\) son conjugadas, es decir, \( BD \infty \) corta por el punto medio a todas las cuerdas paralelas a \(AC\), aunque estas cuerdas no hagan en este caso lo recíproco. Siempre la cuerda conjugada infinita es paralela al eje de la parábola.

Y ahora me toca aclarar (es un decir) eso de que Arquímedes "vió" cómo se agota la parábola con triángulos. Arquímedes demostró con total y pleno rigor, equiparable al de un Cauchy o un Weirstrass, el resultado \(P = \frac{4}{3}T\) , usando el método de exhaución, que consiste en aplicar un doble razonamiento por reducción al absurdo, para llegar a sendas contradicciones si se opta por la desigualdad de tales cantidades en uno  \(P < \frac{4}{3}T\)  u otro  \(P > \frac{4}{3}T\)  sentido, por lo que no queda otra que aceptar la igualdad.

La sucesión de triángulos inscritos que hemos visto se usa para uno de los razonamientos por reducción al absurdo. En esta demostración es clave la teoría de Eudoxo de la proporción, que Euclides recoge en el libro V de sus Elementos y concretamente el axioma de Eudoxo-Arquímedes, o de continuidad, definición 4 de ese libro:

Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.

Entonces la menor, por muy pequeña que sea, repetida un número entero de veces suficientemente grande, puede llegar a sobrepasar a la mayor, por grande que se haya tomado. Que esto tan de cajón debe ser axioma, y no palmaria evidencia indiscutible, lo corrobora el que ¡hay cuerpos no arquimedianos! Estos matemáticos...

Junto a este axioma el otro apoyo clave del método de exhaución es la primera proposición del libro X de los Elementos, llamado a veces principio de Eudoxo:

Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se quita una magnitud mayor que su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad, y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor dada.

En el caso de la parábola, Arquímedes demuestra que cada término sucesivo de suma de áreas de triángulos para agotar la parábola, supone más de la mitad de la diferencia entre el área de la parábola y lo ya "agotado" hasta entonces. Es contradictorio pues, un absurdo, suponer que \(P < \frac{4}{3}T\), ya que con un número finito de términos, suficientemente grande, puedo cubrir con triángulos por el interior del segmento parabólico un área que se aproxime a  \( \frac{4}{3}T\)  tanto como se quiera, superando el presunto área \(P\).

Bueno, bueno, estoy "agotado". Pero puedo recomendar como libro de gran interés para todo lo relacionado con Arquímedes, la obra de Pedro Miguel González Urbaneja "Arquímedes y los origenes del cálculo integral", volumen 24 de la colección ciencia abierta de, como no, la editorial nivola. Cuenta con los siguientes capítulos:
1 Antecedentes infinitesimales prearquimedianos
2. Arquímedes en la historia de la cultura
3. La obra matemática arquimediana
4. El Método Mecánico del descubrimiento arquimediano
5. El método de demostración por exhaución
6. el tratado Sobre la medida del círculo
7. La influencia de Arquímedes en la génesis del cálculo integral
Epílogo: Los métodos de Arquímedes y los orígenes del cálculo integral

recordando a Richard Feynman

Hoy 15 de febrero hace 25 años de la muerte de Richard Phillips Feynman, de modo que es buena ocasión para recordarle. Hay bastantes biografías de Feynman. Hace tiempo leí "Los caminos cuánticos. Feynman", de Jesús Navarro Faus, editorial Nivola. Recientemente se ha publicado "Descubrir a Richard Feynman. Biografía científica", de Lawrence M. Krauss, editorial RBA, muy interesante y accesible.

Pero de la mano (o la voz transcrita) del propio Feynman, es imprescindible la reseñada en este blog, QED The Strange Theory of Light and Matter" , disponible también en castellano como "Electrodinámica cuántica La extraña teoría de la luz y la materia". Para los estudiantes de física (actuales, pretéritos o futuros) nunca está de más aventurarse en cualquiera de los tres tomos de las FLOPs, "Feynman Lectures On Physics". Aunque se conozca la materia es casi seguro encontrarse con un enfoque original, distinto, esclarecedor.

Y para disfrutar sin límites del lado humano, dos obras imprescindibles.

Una es "¿Esta usted de broma, Sr. Feynman" subtitulado "Aventuras de un curioso personaje tal como le fueron referidas a Ralph Leighton". La vida de Feynman en sus propias palabras. Uno de los episodios que más me gustó en su momento es el titulado "!Yooooooo!", página 77 en la edición de Alianza Editorial de 1987. La acción transcurre en el College de Princeton, donde se dan charlas y conferencias de lo más variado, a las que se acudía algunas veces con la intención de poner en apuros al conferenciante. Un día el Dr. Eisenhart, gran matemático, anuncia una próxima conferencia de un profesor de psicología sobre la hipnosis, con una parte práctica, para la que se requieren algunos voluntarios a ser hipnotizados.

Me puse hecho un flan. ¡Yo tenía que averiguar qué era de verdad eso de la hipnosis! ¡Iba a ser tremendo!
...
Estaba yo temiendo que Eisenhart no alcanzara a verme, por lo muy apartado que me encontraba. ¡Yo tenía que intervenir en la exhibición, fuera como fuera!
Por fin Eisenhart dijo:"Y por todo esto, me gustaría preguntarles si va a haber algún voluntario..."
Alcé la mano y salté de mi asiento, gritando con todas mis fuerzas para asegurarme de que me oyera: "¡YOOOOOOOO!"
Desde luego que me oyó, y perfectamente, porque no hubo un alma más que se ofreciera. Mi voz reverberó por todo el salón. Fue muy embarazoso. La inmediata reacción de Eisenhart fue: "Pues claro, señor Feynman. Ya contaba con que usted se presentaría; pero me estaba preguntando si además de usted habría alguien más"

Puro  Feynman. Una semana antes de la conferencia el psicólogo evalúa la idoneidad de los candidatos para ser hipnotizados, y resulta que Feynman era muy adecuado. Es interesante cómo relata la evaluación Feynman:

Empezó a trabajar conmigo y pronto me encontré en una situación en la que me dijo."No puede usted abrir los ojos".
Yo dije para mis adentros: "Apuesto a que si quisiera podría abrir los ojos, pero no quiero crear dificultades. Veamos hasta dónde llega esto."
La situación era interesante. Se siente uno como un poco obnubilado, y aunque se pierde un poco el control, uno está bien seguro de poder abrir los ojos. Pero, claro, no va a abrirlos, por lo que en cierto sentido es como si no pudiera.

Y llega el gran día de la exhibición, los voluntarios son hipnotizados, subidos al estrado, ante todo el College de Princeton.

Esta vez el efecto fue más intenso; quizá yo había aprendido a ser hipnotizado. El hipnotizador realizó diversos experimentos, y me hizo hacer  cosas que normalmente yo no hubiera hecho, y al final me dijo que cuando saliera de la hipnosis, no me encaminara directamente a mi asiento, como sería lo más natural, sino que diera la vuelta a toda la sala, y me dirigiera  a mi localidad desde el fondo.
A lo largo de toda la exhibición, yo tenía una vaga conciencia de lo que estaba sucediendo, y cooperando con lo que decía el hipnotizador; pero esta vez me dije:"¡Maldita sea, ya esta bien! Voy a ir derecho a mi asiento."
Cuando llegó el momento de levantarme y abandonar el estrado eché a andar directamente hacia mi puesto. Pero entonces me asaltó una sensación desazonante; tan molesta y fastidiosa, que no pude seguir avanzando. Tuve que dar la vuelta a toda la sala.

Más tarde, en otra ocasión, Feynman volvió a ser hipnotizado, sin sentir dolor por la proximidad de una vela. Pensó que había trampa, pero le salió una ampollita. Concluye el episodio con la valoración de Feynman

Así que la hipnosis me pareció una experiencia muy interesante. Uno se pasa todo el tiempo diciendosé: "Yo podría hacer tal cosa, si quisiera, pero no quiero", lo cual no es sino otra forma de decir no puedo.

Otra obra entrañable es "What do you care what other people think? Further adventures of a curious character", o ¿Qué te importa lo que piensen los demás? . La segunda parte describe la intervención de Feynman en la investigación sobre la destrucción del Challenger, con su demostración del efecto de las bajas temperaturas sobre una junta de goma. Pero más emotiva es la primera parte, en especial en lo relativo a la muy especial y única relación entre Feynman y la que sería su primera esposa, Arlene, que en su juventud le prestó más atención después de que Feynman le ayudase con sus clases de filosofía con ... la banda de Möbius.

De este libro, un fragmento en boca de Feynman

Arlene y yo empezamos a moldear cada uno la personalidad del otro. Ella vivía en una familia muy educada, y era muy sensible a los sentimientos de los demás. Me enseñó a ser más considerado con ese tipo de cosas. Por otro lado, su familia pensaba que las "mentiras piadosas" estaban  bien.
Yo pensaba que se debería tener la actitud de "¿por qué preocuparse de lo que piensen los demás?" Yo decía "Debemos escuchar las opiniones de los demás y tenerlas en cuenta. Pero si no tienen sentido y creemos que están equivocadas, allá ellos."
Arlene captó enseguida la idea. Fue fácil convencerla de que en nuestra relación debíamos ser muy honestos uno con el otro y decirlo todo a las claras, con absoluta franqueza. Funcionó muy bien  y nos enamoramos del todo, con un amor como ninguno que haya conocido.

Y para acabar el homenaje, este último libro concluye con un epílogo, El Valor de la Ciencia, en el que se incluye este pensar poético de Feynman, de pie, sólo, a la orilla del mar

There are the rushing waves
mountains of molecules
each stupidly minding its own business
trillions apart
yet forming white surf in unison.

Ages on ages
before any eyes could see
year after year
thunderously pounding the shore as now.
For whom, for what?
On a dead planet
with no life to entertain.

Never at rest
tortured by energy
wasted prodigiously by the sun
poured into space.
A mite makes the sea roar.

Deep in the sea
all molecules repeat
the patterns of one another
till complex new ones are formed.
They make others like themselves
and a new dance starts.

Growing in size and complexity
living things
masses of atoms
DNA, protein
dancing a pattern ever more intricate.

Out of the cradle
onto dry land
here it is
standing:
atoms with consciousness;
matter with curiosity.

Stands at the sea, wonders at wondering: I
a universe of atoms
an atom in the universe.

¡Vaya con la valla baya!

Ya ponen los episodios de la quinta temporada de El Mentalista en la Sexta. El segundo episodio tiene su hueco en esa web , de donde tomé esta instantánea

Vaya con la "Devil's Cherry" del original, que parece referirse a la belladona, ¿un Lost in Translation ha convertido la baya en valla? Es para dar una vaya.

significados cónicos

Otra curiosidad encontrada en "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, es la explicación de los términos parábola, elipse e hipérbola, dados a las secciones cónicas. Tanto tiempo cortando conos de todos los modos posibles y mira por dónde.

Dice el DRAE que una parábola es una narración que emplea la comparación o semejanza. En su origen griego este término indica comparación, yuxtaposición, analogía.

Pues resulta que en una parábola con directriz vertical y foco a la derecha de la directriz, midiendo las coordenadas \( x,y \) desde su vértice, los puntos de la parábola verifican la ecuación
\[
y^2 = x \cdot 2 p
\]
siendo \(2p\) el latus rectum, la longitud de la cuerda paralela a la directriz y que pasa por el foco. Esa ecuación compara como iguales, como análogos en área, el cuadrado de lado \( y \) y el rectángulo de lados \(x\) y \( 2p \).

Dice el DRAE lo que significa elipse, cuya raíz es la misma que elipsis, que significa omitir, suprimir.

En el caso de la elipse, de nuevo con la directriz vertical, los focos hacia la derecha, midiendo las coordenadas desde el vértice izquierdo, los puntos de la elipse verifican la ecuación
\[
y^2 = x \cdot 2 p - (1-e^2) x^2
\]
siendo \(e\) la excentricidad. Ahora al rectángulo de lados \(x \) y \( 2p\) hay que quitarle algo para conseguir el cuadrado de lado \(y\). Esta falta u omisión es la que llevó a Apolonio a llamar a esta curva elipse.


Dice el DRAE qué es una hipérbola, que comparte origen con hipérbole, exagerar, aumentar.

En el caso de la hipérbola con sus dos ramas, en coordenadas medidas con criterios análogos a los empleados para parábola y elipse la fórmula aplicable es
\[
y^2 = x \cdot 2 p + (e^2-1) x^2
\]
El cuadrado de lado \(y\) tiene ahora un exceso respecto del área del rectángulo de lados \(x\) y \(2p\).

Qué excesos.

Para rematar el asunto, Ostermann y Wanner presentan el cálculo del área de una parábola debido a otro de los gigantes griegos, Arquímedes. El área de la parábola, \(P\) se expresa en términos del área del triángulo inscrito \(T\) simplemente así
\(
P = \frac{4}{3}T
\)
Arquímedes llegó a este resultado "viendo" geométricamente que el área de la parábola puede descomponerse en (o "agotarse" con) una suma infinita de triángulos: además del inscrito de área \(T\), dos de un octavo de ese área, cuatro de un sesentaycuatroavo, ...
Es decir
\[
P = T + 2 \frac{T}{8} + 4 \frac{T}{64} + ... = T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + ...
\]
Esta suma infinita es \(\frac{4}{3}T\) como demuestra Arquímedes gráficamente. Tomamos un cuadrado de área \(P\), le dividimos en cuatro partes iguales, juntamos tres de las cuatro partes, y a ese área le llamamos \(T\); y con el otro cuarto (de área \(T/3\) ) repetimos la operación de hacer cuatro cuartos y unir tres, esos tres tienen un área de \(\frac{3}{4} \frac{T}{3}=\frac{T}{4}\); y con el otro cuarto (de área \(T/12\) ) repetimos la operación de hacer cuatro cuartos y unir tres, esos tres tienen un área de \(\frac{3}{4} \frac{T}{12}=\frac{T}{16}\); y ...

proyectivo, lineal, afín

La figura final de la anterior entrada

era un compendio de la equivalencia fundamental entre "punto de la recta proyectiva" y "recta que pasa por el origen de coordenadas", o "subespacio vectorial de dimensión \(1\) en espacio vectorial de dimensión \(2\)". Dejemos de lado los pares de puntos sobre la circunferencia b, o el punto sobre la circunferencia c. El punto P de la recta proyectiva con coordenada \( x \) tiene, en su inmersión en el plano bidimensional ordinario, coordenadas \( (x,1) \). Pero podemos usar como representante suyo cualquier punto ( como el C o cualquiera de los B ) de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por P, con las coordenadas homogéneas \( (x_1,x_2) \), es decir, tenemos \( x = x_1 / x_2 \).

¿Y de dónde viene la equivalencia? Realmente lo que da carta de naturaleza, lo que imprime carácter a la recta proyectiva, es el grupo de transformaciones descrito por la transformación de Möbius (siendo \(a d -b c \neq 0 \) )
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Esta transformación puede reescribirse en coordenadas homogéneas, usando \( x = x_1 / x_2 \) y \( x' = x_1' / x_2' \) como
\[
\frac{x_1'}{x_2'} = \frac{a x_1+b x_2}{c x_1+d x_2}
\]
Pero entonces resulta que las aplicaciones lineales no singulares del espacio vectorial bidimensional, que podemos expresar matricialmente por
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \end{array} \right] = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]
\]
con la condición \( a d - b c \neq 0 \), se corresponden con las transformaciones proyectivas de la recta. Toda aplicación lineal, en dimensión \(2\), se plasma en una transformación proyectiva, en dimensión \(1\). Puede haber distintas aplicaciones líneales que lleven a la misma transformación proyectiva. Por ejemplo todas en las que \( b=c=0 \ ; \ a = d = k \neq 0\) , que cambian un vector por otro múltiplo, dejan invariante cada subespacio vectorial monodimensional, y corresponden por tanto a la transformación proyectiva identidad. Hay un homomorfismo, que no isomorfismo, entre el grupo de aplicaciones lineales en dimensión \(2\) y el grupo de transformaciones de Möbius en dimensión \(1\). Ahí radica la equivalencia citada.

Otra relación interesante es la que hay entre la recta proyectiva y la recta afín. Esta última viene a ser lo que queda de la primera cuando restringimos las posibles transformaciones proyectivas entre puntos de la recta a únicamente aquellas que dejan fijo el punto ideal, del infinito, aquellas en que \( x=\infty \mapsto x'=\infty \). Esta restricción, vista en el ámbito del espacio vectorial de dimensión 2, implica quedarnos con aquellas aplicaciones lineales que dejan invariante la recta \( x_2=0 \), el eje de abcisas en la figura anterior.
Para imponer esta restricción a \( {x'}_2 = c x_1 + d x_2 \) debe ser \( c=0 \) , lo que nos lleva a quedarnos con las transformaciones de Möbius del tipo

\[
x \mapsto x' = \frac{a}{d} x + \frac{b}{d}
\]
que es justamente la expresión de una transformación afín en dimensión \(1\). En una dimensión tan reducida la aplicación afín más general consiste en combinar una traslación con una homotecia. Estas dos operaciones, trasladar y multiplicar la distancia a un punto dado por una constante, dejan el infinito en el infinito.

Al final vamos a parar a la concepción del Erlangen Program de Felix Klein, de que una geometría se determina por unos elementos junto con el grupo de transformaciones de los mismos. Si el grupo es muy grande, muy general, las propiedades invariantes por todo el grupo serán pocas, pero esenciales. Si restringimos nuestro interés a un subgrupo más pequeño de transformaciones, pueden aparecer más propiedades que resultan invariantes, y más específicas.

Las propiedades proyectivas en dimensión \(1\) son escasas. La razón doble es una propiedad proyectiva, pero no la razón simple. Al poner restricciones, por ejemplo al limitarnos a las transformaciones afines, surgen nuevas propiedades. En la recta afín la razón simple sí es un invariante. Si restringimos aún más, a sólo aquellas transformaciones que preserven la distancia entre puntos, tendremos la recta euclídea.

En el plano afín se estudiarán como relacionadas, como afines, susceptibles de ponerse en el mismo saco, figuras que no compararíamos ni relacionaríamos desde un punto de vista euclídeo. En la geometría euclídea ponemos en el mismo saco sólo las figuras congruentes, que pueden hacerse coincidir mediante un movimiento "rígido", o a lo sumo semejantes, que difieran sólo en la escala, pero no en la forma. El grupo de transformaciones admisibles es bastante reducido. Sin embargo afines pueden ser figuras no semejantes, deformadas una respecto a la otra por dilataciones o compresiones diferentes respecto de dos ejes distintos. Se amplía el grupo de transformaciones a considerar. Por cierto, el término afín se debe, como tantos otros, a Leonard Euler, y deriva del latín affinitas, relación por matrimonio. Euler quería transmitir que aunque una figura y su imagen afín no eran similares, no obstante estaban relacionadas (como cuenta I. M. Yaglom en la nota 63, p. 152, del muy recomendable "Geometries, Groups and Algebras in the Nineteenth Cebntury - A History").

En fin, todo está relacionado, euclídeo, proyectivo, lineal, afín, aunque saltando de dimensión. De una proyección central en un plano euclídeo (dimensión 2) se sacó la expresión analítica de las transformaciones proyectivas de la recta (dimensión \(1\) ), que pueden relacionarse con las transformaciones lineales del plano (dimensión \(2\) ).

Subiendo una dimensión, pasando de la recta al plano proyectivo, de dimensión \( 2 \), la cosa podría empezar con las aplicaciones lineales de un espacio vectorial de dimensión \( 3 \)
\[
\left[ \begin{array}{c} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{array} \right] =
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right]
\]
Esta es la expresión, en términos de coordenadas homogéneas, con
\[
x= \frac{x_1}{x_3} \ \ \ ; \ \ \ y= \frac{x_2}{x_3}
\]
de las transformaciones del espacio proyectivo de dimensión \( 2 \)
\[
(x,y) \mapsto (x', y') = \left( \frac{a_{11} x +a_{12} y +a_{13}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} , \frac{a_{21} x +a_{22} y +a_{23}}{a_{31} x +a_{32} y +a_{33}} \right)
\]
Cada punto del plano proyectivo, plano que casi podemos "pintar" en el espacio tridimensional coincidiendo con el plano de ecuación \( x_3=1 \), viene representando de nuevo por una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Cada recta que pasa por el origen y está contenida en el plano \( x_3=0 \) equivale a un punto del plano proyectivo en el infinito, y todas ellas en conjunto forman la recta del infinito. Esta figura está basada en la figura 64 del magnífico "Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint. Geometry" de Felix Klein, Dover. En junio de 2006 salió en Nivola, en la colección ciencia abierta nº 15, el primer volumen "Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética, Álgebra, Análisis", pero parece que la traducción del segundo volumen, de Geometría, se hace de rogar, y hay que recurrir a Dover Publications Inc., Mineola, New York. Salvo que se domine el alemán como para mirar el manuscrito del autor.

Restringirnos a transformaciones proyectivas que apliquen esa recta del infinito sobre sí misma implica pedir que \( x_3 = 0 \mapsto {x'}_3=0 \), y para ello es necesario que \( a_{31}= 0 = a_{32} \), con lo que llegamos a las aplicaciones afines del plano
\[
\left[ \begin{array}{c} x' \\ y' \end{array} \right] = \frac{1}{a_{33}} \left(
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \times
\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{c} a_{13} \\ a_{23} \end{array} \right] \right)
\]

Otro día Kleineo un poco.

la recta proyectiva

Tanto punto alineado armónicamente en las últimas entradas de la transitoria bitácora proyecta una alargada sospecha, la de estar influido por el peculiar mundo de la geometría proyectiva. A veces me he perdido un tanto en el plano proyectivo, a ver si tratando sólo con la recta proyectiva me va mejor.

La recta proyectiva puede presentarse de diferentes formas, y cuantas más perspectivas se tengan del asunto, tanto mejor. La base más geométrica del asunto tiene que ver precisamente con la proyección central. Sigamos la página 330 de "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner. En el plano euclídeo de toda la vida trazamos dos rectas cualesquiera r y r'. Tomamos un punto C no perteneciente a ninguna de dichas rectas. Este es el centro de una proyección central, por la que a cualquier punto P de r se le hace corresponder otro punto P' de r'. Los puntos P y P' que se corresponden entre sí son los situados sobre la misma recta "proyectante" que pasa por C.

Esta es una descripción netamente geométrica de la correspondencia entre r y r'. A partir de ella se obtiene una relación analítica entre las coordenadas x de P (respecto a un punto O origen de la recta r) y x' de P' (respecto de un punto O' origen de la recta r'). Mientras que la misma letra en P y P' sirve para recordar que son puntos correspondientes por la proyección de centro C, O y O' son puntos elegidos arbitrariamente como origen de las rectas r y r', pero O no se corresponde con O'.

Empleando el teorema de Tales se obtiene la relación incluida en la figura (g abarca desde J hasta O, e desde K hasta O, f desde K hasta O' ), que puede reescribirse (con \(a/c=h-f; b/c=he-gf; d/c=g\) ) bajo la siguiente forma general
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]

Una expresión analítica con esta forma tiene una gran variedad de nombres. Es una transformación proyectiva, y se conoce como transformación de Möbius, o como transformación lineal fraccional, o como transformación bilineal.

Esta es una notación muy extendida. Los números a, b, c y d determinan una transformación salvo por un factor común. Una posible normalización es elegir que \(a d -b c = 1\). Pero lo importante es exigir que
\[
a d - b c \neq 0
\]
pues de esa forma se garantiza una correspondencia biunívoca, y se habla de transformación no singular. Es lo que ocurre cuando el centro de proyección C está fuera de las rectas r y r'. En ese caso, a cualquier P sobre r le corresponde un único P' sobre r', y viceversa, siempre que incluyamos de alguna forma "el infinito". El punto J de r correspondería al "punto del infinito" de r'; y el "punto del infinito" de r se correspondería en r' con el punto en que r' corta la paralela a r que pasa por C. En términos analíticos, cuando x se hace infinito, \(x' = h - f\), o equivalentemente \( x' = a/c \). Y cuando \(x = -g\), o equivalentemente \( x= -d/c\), entonces \(x'=\pm \infty\).

Por contra un ejemplo de "caso raro", de transformación singular, en el que \(a d - b c = 0\), lo tenemos si llevamos el centro de proyección C a colocarse sobre r'. Entonces todos los puntos de r se proyectan sobre uno solo de r', el propio C. El único punto de r que podemos, en tal caso, asociar a otro punto de r', a cualquiera en realidad, es K. Analíticamente, de \(ad -bc=0\), y considerando \(c \neq 0\), entonces \(b = a d / c \) y
\[
x' = \frac{a(cx+d)}{c(cx+d)} = \frac{a}{c} = h - f
\]
Da igual el valor de x, se obtiene el mismo valor de x'.

Volviendo a los casos "normales", cumpliendo que \(a d - b c \neq 0\), se distinguen las proyecciones ortogonales, en las que el centro de proyección C se aleja al infinito del plano euclídeo en una dirección transversal a r y r'. Corresponden a \(c=0\) pero \(a \neq 0 \neq d\) e implican una homotecia entre r y r', pues \( x' = (ax + b)/d\).

El caso es que en estas aplicaciones proyectivas de una recta en otra introducimos el "punto del infinito" como uno más, que entra en el juego de las correspondencias en pie de igualdad con el resto de "puntos finitos". Lo que no deja de serme chocante. Al mirar la recta real, tan recta, tan extensa, sin límite, alejándose al infinito positivo por la derecha, al negativo por la izquierda, los muy negativos cada vez más apartados de los muy positivos... Hasta puedo imaginar un drama romántico de amor imposible entre don \( - \infty\) y doña \( + \infty \). Quizá sea así en la recta real ampliada, pero no aquí. En este juego proyectivo resulta que esos dos lados de la recta aparentemente ajenos el uno al otro, al alejarse al infinito llegan a ¡juntarse! en un punto ideal, un único punto ideal del infinito (y más allá). Con ese puntazo, la abierta recta real deviene la cerrada recta proyectiva, en la que se juega el juego de transformaciones entre sus puntos, regido por la relación analítica
\[
x \mapsto x' = \frac{ax+b}{cx+d}
\]
Y este es un juego de grupo, que es lo que forman las transformaciones (no singulares) de Möbius.

Empezamos en el plano euclídeo proyectando con un centro rectas en rectas y obteniendo una relación analítica. Pero podemos pasar a unir en una ambas rectas, contando con nuestro punto ideal del infinito, y pensar sólo en ese grupo de transfomaciones de esa recta en sí misma. Todo lo que sea preservado por esas transformaciones lo podremos elevar a la categoría de enunciado de la geometría de la recta proyectiva.

La recta proyectiva real, aunque unidimensional, se entiende mejor en su inmersión bidimensional, pues resume ciertas características generales que se dan en el plano. Hay varias interpetaciones de la recta proyectiva, y de su punto ideal, en términos de elementos bidimensionales. Siguiendo a "Geometry by Its History", tres de ellas son las siguientes:
a) El conjunto de las rectas del plano que pasan por el origen. Cada una de esas rectas del plano euclídeo es como un punto de la recta proyectiva. El punto ideal corresponde a la recta horizontal que pasa por el origen. Aunque estamos en el plano, solo nos interesan las rectas que pasan por el origen, los subespacios vectoriales de dimensión uno.
b) La circunferencia de radio unidad centrada en el origen de coordenadas, cuando se identifican como uno sólo los puntos antipodales. Qué bonito. Cada punto del plano proyectivo se asimila a cada par de puntos simétricos respecto al origen. De nuevo el punto ideal corresponde a una de tales parejas, una tan normal como el resto.
c) La circunferencia de diámetro unidad centrada en (0, 1/2), empleada en la proyección estereográfica desde el origen de coordenadas. Cada punto de dicha circunferencia se asimila a uno de la recta proyectiva, y el punto ideal de esta correspnde con el origen de coordenadas, que en cuanto a punto de esa circunferencia es uno como cualquier otro.

En la siguiente figura pintamos la recta proyectiva como la de ecuación y=1, y se muestra la relación de cada punto de la misma con los elementos indicados. Las distintas rectas que pasan por el origen del plano determinan el punto P sobre la recta proyectiva, el par de puntos B (en rojo y azul) sobre la circunferencia b, y el punto C sobre la circunferencia c (en verde). Cada punto de la recta proyectiva se puede especificar mediante sus coordenadas homogéneas, el par de abcisa y ordenada del punto P, o de cualquier otro punto sobre la recta que une P con el origen del plano euclideo, como pueden ser precisamente los puntos B o el C. Queda excluido el origen. Las coordenadas homogéneas del punto ideal son de la forma \( (k,0) \) con \(k \neq 0\).

Apolonio y el ángulo bisector

Tras la anterior entrada me surgió la duda sobre la demostración de que los puntos de la circunferencia de Apolonio que tiene por diámetro P y Q distan de A y B en una misma razón cuando P y Q son armónicos respecto de A y B. La demostración en la wikipedia se basa en el teorema de la bisectriz que resulta ser Euclides VI.3, que Euclides demuestra en el libro VI haciendo uso a su vez del teorema de Tales.

Así funcionan las cosas. No es para una prisa.

El caso es que en el profusamente ilustrado "Geometry by Its History", de Alexander Ostermann y Gerhard Wanner, hay una demostración alternativa del teorema del ángulo bisector, empleando la muy elemental propiedad de que el área de un triangulo es la mitad del producto de la base por la altura, junto con una preciosa habilidad para dar con las bases y las alturas adecuadas. Tanto me gustó esa demostración, que la transcribo aquí, junto con una figura adaptada de cara a su empleo posterior, figura obtenida a partir de geogebra, aunque en esta entrada no hay applet.

Partimos de un triángulo cualquiera ABC, trazamos la bisectriz interior del ángulo ACB, \(b_{int}\) que corta al lado AB en el punto P; y la correspondiente bisectriz exterior \(b_{ext}\) , que corta en el punto Q a la recta sobre la que está el lado AB. Ambas bisectrices son perpendiculares. Entonces debe deducirse que

\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]

Empezando por la bisectriz interior, se demuestra \( \overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) en dos pasos.

1.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AP}\)  es a \( \overline{PB}\) , pues AP es base del triángulo APC y PB es base del triángulo PBC compartiendo la misma altura, la trazada desde C en vertical, no mostrada en la figura.

Pero es que empleando esos mismos triángulos podemos ver otra combinación de base y altura, usando como alturas los segmentos mostrados (a punto y raya) desde P a los lados AC y BC. Estas alturas son iguales, pues P está sobre la bisectriz del ángulo ACB. Por tanto:

2.- El área del triángulo APC es al área del triángulo PBC como \( \overline{AC}\)  es a \( \overline{BC}\) , pues AC es base del triángulo APC y BC es base del triángulo PBC con alturas de igual medida.

Con la razón de áreas como intermediaria, obtenemos la razón de distancias buscada. Qué elegancia.

Para la bisectriz externa los dos triángulos a los que aplicar el mismo método de dos pasos son el triángulo más grande, AQC , y el triángulo BQC. En el primer paso la altura común es la trazada desde C, y las bases   respectivas son AQ y BQ. En el segundo paso las alturas de igual longitud son las trazadas desde Q, que está sobre la bisectriz externa, y la respectivas bases son AC y BC. De nuevo con la razón entre áreas como intermediaria, se llega a que \( \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ} \).

En cuanto a la recíproca, si hubiese un punto X entre A y B cumpliendo que \( \overline{AX} : \overline{XB} = \overline{AC} : \overline{BC} \) , procediendo con la construcción  indicada usando la bisectriz obtendríamos P con la misma "propiedad" de dividir el segmento AB en la misma proporción que lo hace X, lo que es imposible salvo que X y P coincidan.

Qué bonito.

Para remate, si fijamos A, P, B y Q, olvidándonos del punto C (que usamos para a partir de A y B obtener P y Q) , tracemos por P cualquier recta \(b_1\), y luego la recta \(b_2\) perpendicular a la anterior que pase por Q. Estas dos rectas se cortan en un punto D, que determina con P y Q un triángulo rectángulo. Al girar  \(b_1\) por todas las posibles direcciones alrededor de P, el punto D, obtenido como antes, va recorriendo... la circunferencia de Apolonio.

Y para ese D genérico situado sobre la circunferencia de Apolonio, ¿cual es la razón \( \overline{AD} : \overline{BD}  \)? Bueno, reagrupando la triple igualdad
\[
\overline{AP} : \overline{PB} = \overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AQ} : \overline{BQ}
\]
podemos ver que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PB} : \overline{BQ} = \overline{AC} : \overline{BC}
\]
Con el punto D podemos emplear una construcción en que a partir del ángulo ADP forzamos que DP sea la bisectriz del ángulo ADX , para algún X adecuado sobre el segmento AQ. Eso sí, como por construcción P está en la bisectriz interna de ADX , Q está en la bisectriz externa, y por el ya famoso teorema se cumple que
\[
\overline{AP} : \overline{AQ} = \overline{PX} : \overline{XQ} = \overline{AD} : \overline{XD}
\]
De aquí deducimos primero que
\[
\overline{PB} : \overline{BQ}  = \overline{PX} : \overline{XQ}
\]

X y B dividen PQ en la misma proporción, lo que impone que realmente X coincide con B. Y entonces resulta que 

\[
\overline{AC} : \overline{BC} = \overline{AD} : \overline{BD}
\]

Todos los puntos de la circunferencia de Apolonio con diámetro PQ distan de A y B en una misma razón. ¡Qué armonía!